Exercise Zone : Barisan dan Deret Aritmetika
Table of Contents
Tipe:
No.
Jika (a + 10), (a2 − 1), (3a + 18) merupakan 3 suku pertama barisan aritmetika naik, tentukan suku ke-10. (Hint: nilai suku semakin besar)ALTERNATIF PENYELESAIAN
\begin{aligned}
2\left(a^2-1\right)&=a+10+3a+18\\
2a^2-2&=4a+28\\
2a^2-4a-30&=0\\
a^2-2a-15&=0\\
(a+3)(a-5)&=0
\end{aligned}
a = −3 atau a = 5
Jika a = −3, barisannya menjadi:
7, 8, 9
a = 7 (suku pertama, bukan nilai a yang di atas)
b = 1
Jika a = −3, barisannya menjadi:
7, 8, 9
a = 7 (suku pertama, bukan nilai a yang di atas)
b = 1
\begin{aligned}
U_n&=a+(n-1)b\\
U_{10}&=7+(10-1)1\\
&=7+9\\
&=16
\end{aligned}
Jika a = 5, barisannya menjadi:
15, 24, 33
a = 15
b = 9 \begin{aligned} U_n&=a+(n-1)b\\ U_{10}&=15+(10-1)9\\ &=15+81\\ &=96 \end{aligned}
15, 24, 33
a = 15
b = 9 \begin{aligned} U_n&=a+(n-1)b\\ U_{10}&=15+(10-1)9\\ &=15+81\\ &=96 \end{aligned}
Jadi, suku ke-10 adalah 16 atau 96.
No.
Suku ke-10 dari aritmetika p − 1, 2p, 2p + 6 adalah ....- 51
- 52
- 55
- 57
- 58
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\begin{aligned}
2(2p)&=p-1+2p+6\\
4p&=3p+5\\
p&=5
\end{aligned}
Barisannya menjadi
4, 10, 16
4, 10, 16
a = 4
b = 6 \begin{aligned} U_n&=a+(n-1)b\\ U_{10}&=4+(10-1)6\\ &=4+54\\ &=58 \end{aligned}
b = 6 \begin{aligned} U_n&=a+(n-1)b\\ U_{10}&=4+(10-1)6\\ &=4+54\\ &=58 \end{aligned}
Jadi, suku ke-10 nya adalah 58.
JAWAB: E
JAWAB: E
No.
Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-5 dan suku ke-8 berturut-turut adalah 4 dan 10. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah- 50
- 55
- 60
- 65
- 70
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Un = a + (n − 1)b
\begin{aligned}
U_5&=4\\
a+4b&=4
\end{aligned}
\begin{aligned}
U_8&=10\\
a+7b&=10
\end{aligned}
\begin{aligned}
a+7b&=10\\
a+4b&=4&\quad-\\\hline
3b&=6\\
b&=2
\end{aligned}
\begin{aligned}
a+4b&=4\\
a+4(2)&=4\\
a+8&=4\\
a&=-4
\end{aligned}
\begin{aligned}
S_n&=\dfrac{n}2\left[2a+(n-1)b\right]\\
S_{10}&=\dfrac{10}2\left[2(-4)+(10-1)2\right]\\
&=5\left[-8+18\right]\\
&=5\left[10\right]\\
&=50
\end{aligned}
Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 50.
JAWAB: A
JAWAB: A
No.
Suku tengah suatu deret aritmetika adalah 23. Jika suku terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13, maka banyak suku deret tersebut adalah....- 5
- 7
- 9
- 11
- 13
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Ut = 23,
Un = 43,
U3 = 13 \begin{aligned} a+U_n&=2U_t\\ a+43&=2(23)\\ a+43&=46\\ a&=3 \end{aligned} \begin{aligned} U_3&=13\\ a+2b&=13\\ 3+2b&=13\\ 2b&=10\\ b&=5 \end{aligned}
Un = 43,
U3 = 13 \begin{aligned} a+U_n&=2U_t\\ a+43&=2(23)\\ a+43&=46\\ a&=3 \end{aligned} \begin{aligned} U_3&=13\\ a+2b&=13\\ 3+2b&=13\\ 2b&=10\\ b&=5 \end{aligned}
\begin{aligned}
U_n&=43\\
a+(n-1)b&=43\\
3+(n-1)5&=43\\
3+5n-5&=43\\
5n-2&=43\\
5n&=45\\
n&=\boxed{\boxed{9}}
\end{aligned}
Jadi, banyak suku deret tersebut adalah 9.
JAWAB: C
JAWAB: C
No.
Seutas pita dibagi menjadi 10 bagian dengan panjang membentuk deret aritmetika. Jika pita yang terpendek 20 cm dan yang terpanjang 155 cm, maka panjang pita semula adalah ....- 800 cm
- 825 cm
- 850 cm
- 875 cm
- 900 cm
ALTERNATIF PENYELESAIAN
n = 10,
a = 20,
Un = 155
a = 20,
Un = 155
\begin{aligned}
S_n&=\dfrac{n}2\left(a+U_n\right)\\
S_{10}&=\dfrac{10}2\left(20+155\right)\\
&=5(175)\\
&=\boxed{\boxed{875}}
\end{aligned}
Jadi, panjang pita semula adalah 875 cm.
JAWAB: D
JAWAB: D
No.
Dari barisan aritmetika diketahui U3 = 18 dan U7 = 38. Jumlah 24 suku pertama adalah ....ALTERNATIF PENYELESAIAN
\begin{align*}
U_3&=18\\
a+2b&=18\tag{1}
\end{align*}
\begin{align*}
U_7&=38\\
a+6b&=38\tag{2}
\end{align*}
\begin{aligned}
a+6b&=38\\
a+2b&=18\qquad&-\\\hline
4b&=20\\
b&=5
\end{aligned}
\begin{aligned}
a+2b&=18\\
a+2(5)&=18\\
a+10&=18\\
a&=8
\end{aligned}
\begin{aligned}
S_n&=\dfrac{n}2\left[2a+(n-1)b\right]\\
S_{24}&=\dfrac{24}2\left[2(8)+(24-1)5\right]\\
&=12\left[16+(23)5\right]\\
&=12\left[16+115\right]\\
&=12\left[131\right]\\
&=\boxed{\boxed{1572}}
\end{aligned}
Jadi, jumlah 24 suku pertama adalah 1572.
No.
Tiga bilangan membentuk deret aritmetika, jumlahnya 12 dan hasil kalinya 48. Tentukan jumlah 10 suku pertama deret tersebut.ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal bilangannya adalah p − b, p, p + b
\begin{aligned}
p-b+p+p+b&=12\\
3p&=12\\
p&=4
\end{aligned}
\begin{aligned}
(4-b)(4)(4+b)&=48\\
16-b^2&=12\\
b^2&=4\\
b&=2
\end{aligned}
Barisan bilangannya,
4 - 2, 4, 4 + 2
2, 4, 6
a = 2, b = 2 \begin{aligned} S_n&=\dfrac{n}2\left[2a+(n-1)b\right]\\ S_{10}&=\dfrac{10}2\left[2(2)+(10-1)(2)\right]\\ &=5\left[4+(9)(2)\right]\\ &=5\left[4+18\right]\\ &=5\left[22\right]\\ &=\boxed{\boxed{110}} \end{aligned}
4 - 2, 4, 4 + 2
2, 4, 6
a = 2, b = 2 \begin{aligned} S_n&=\dfrac{n}2\left[2a+(n-1)b\right]\\ S_{10}&=\dfrac{10}2\left[2(2)+(10-1)(2)\right]\\ &=5\left[4+(9)(2)\right]\\ &=5\left[4+18\right]\\ &=5\left[22\right]\\ &=\boxed{\boxed{110}} \end{aligned}
Jadi, jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah 110.
No.
Jika p − 2, p + 4, 1 − 2p, ⋯ adalah barisan aritmetika berurutan, maka tentukanlah p, beda, dan suku ke-7!ALTERNATIF PENYELESAIAN
\begin{aligned}
2(p+4)&=p-2+1-2p\\
2p+8&=-p-1\\
3p&=-9\\
p&=\boxed{\boxed{-3}}
\end{aligned}
Barisan bilangannya menjadi,
-3 - 2, -3 + 4, 1 - 2(-3)
-5, 1, 7
-3 - 2, -3 + 4, 1 - 2(-3)
-5, 1, 7
b = 1 - (-5) = 6
\begin{aligned}
U_n&=a+(n-1)b\\
U_7&=-5+(7-1)6\\
&=-5+(6)6\\
&=-5+36\\
&=\boxed{\boxed{31}}
\end{aligned}
Jadi, p = 3, b = 6, U7 = 31.
No.
Diketahui deret aritmetika dengan suku ke-3 adalah 10 dan suku ke-8 adalah 25. Nilai suku ke-10 sama dengan- 28
- 31
- 34
- 37
- 40
ALTERNATIF PENYELESAIAN
CARA BIASA
\begin{aligned} U_3&=10\\ a+2b&=10 \end{aligned} \begin{aligned} U_8&=25\\ a+7b&=25 \end{aligned} \begin{aligned} a+7b&=25\\ a+2b&=10\qquad&-\\\hline 5b&=15\\ b&=3 \end{aligned} \begin{aligned} a+2b=10\\ a+2(3)&=10\\ a+6&=10\\ a&=4 \end{aligned} \begin{aligned} U_{10}&=a+9b\\ &=4+9(3)\\ &=4+27\\ &=\boxed{\boxed{31}} \end{aligned}CARA CEPAT
\begin{aligned} U_8&=U_3+5b\\ 25&=10+5b\\ 15&=5b\\ b&=3 \end{aligned} \begin{aligned} U_{10}&=U_8+2b\\ &=25+2(3)\\ &=25+6\\ &=\boxed{\boxed{31}} \end{aligned}Jadi, nilai suku ke-10 sama dengan 31.
JAWAB: B
JAWAB: B
No.
Jika 3k2 + k + 1, 2k2 + k, 4k2 − 6k + 1 merupakan tiga suku pertama barisan aritmetika, maka jumlah 10 suku pertama yang mungkin barisan tersebut adalah- 105
- 85
- 75
- −85
- −75
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\begin{aligned}
2\left(2k^2+k\right)&=3k^2+k+1+4k^2-6k+1\\
4k^2+2k&=7k^2-5k+2\\
-3k^2+7k-2&=0\\
3k^2-7k+2&=0\\
(3k-1)(k-2)&=0
\end{aligned}
k = \dfrac13 atau k = 2
- Untuk k =
\dfrac13 \begin{aligned} a&=3k^2+k+1\\ &=3\left(\dfrac13\right)^2+\dfrac13+1\\ &=3\left(\dfrac19\right)+\dfrac13+1\\ &=\dfrac13+\dfrac13+1\\ &=\dfrac53 \end{aligned} \begin{aligned} U_2&=2\left(\dfrac13\right)^2+\dfrac13\\ &=2\left(\dfrac19\right)+\dfrac13\\ &=\dfrac29+\dfrac13\\ &=\dfrac59 \end{aligned} \begin{aligned} b&=U_2-a\\ &=\dfrac59-\dfrac53\\ &=-\dfrac{10}3 \end{aligned} \begin{aligned} S_n&=\dfrac{n}2\left[2a+(n-1)b\right]\\ S_{10}&=\dfrac{10}2\left[2\left(\dfrac53\right)+(10-1)\left(-\dfrac{10}3\right)\right]\\ &=5\left[\dfrac{10}3-\dfrac{90}3\right]\\ &=5\left[-\dfrac{80}3\right]\\ &=\boxed{\boxed{-\dfrac{400}3}} \end{aligned} - Untuk k = 2 \begin{aligned} a&=3k^2+k+1\\ &=3(2)^2+2+1\\ &=12+2+1\\ &=15 \end{aligned} \begin{aligned} U_2&=2\left(2\right)^2+2\\ &=2\left(4\right)+2\\ &=8+2\\ &=10 \end{aligned} \begin{aligned} b&=U_2-a\\ &=10-15\\ &=-5 \end{aligned} \begin{aligned} S_n&=\dfrac{n}2\left[2a+(n-1)b\right]\\ S_{10}&=\dfrac{10}2\left[2\left(15\right)+(10-1)\left(-5\right)\right]\\ &=5\left[30-45\right]\\ &=5\left[-15\right]\\ &=\boxed{\boxed{-75}} \end{aligned}
Jadi, jumlah 10 suku pertama yang mungkin barisan tersebut adalah −75.
JAWAB: E
JAWAB: E
Post a Comment