HOTS Zone : Barisan dan Deret Aritmetika
Table of Contents
Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Barisan dan Deret Aritmetika. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.
Tipe:
No.
Diketahui barisan a1, a2, a3, ..., a20 merupakan barisan aritmatika dengan a10 = 182. Apabila a2 + a4 + a6 + ⋯ + a20 = 2000, tentukan a6.ALTERNATIF PENYELESAIAN
\begin{aligned}
a_{10}&=182\\
a+9b&=182
\end{aligned}
\begin{aligned}
a_2+a_4+a_6+\cdots+a_{20}&=2000\\
a+b+a+3b+a+5b+\cdots+a+19b&=2000\\
10a+(1+3+5+\cdots+19)b&=2000\\
10a+100b&=2000\\
a+10b&=200
\end{aligned}
\begin{aligned}
a+10b&=200\\
a+9b&=182&\ -\\\hline
b&=18
\end{aligned}
\begin{aligned}
a+9b&=182\\
a+9(18)&=182\\
a+162&=182\\
a&=20
\end{aligned}
\begin{aligned}
a_6&=a+5b\\
&=20+5(18)\\
&=110
\end{aligned}
Jadi, a6 = 110.
No.
Jika 1 + 3 + 5 + ⋯ + 99 = 2500, maka berapakah hasil dari 3 + 5 + 7 + ⋯ + 101?ALTERNATIF PENYELESAIAN
\begin{aligned}
3+5+7+\cdots+101&=1+3+5+\cdots+99+100\\
&=2500+100\\
&=\boxed{\boxed{2600}}
\end{aligned}
Jadi, 3 + 5 + 7 + ⋯ + 101 = 2600.
No.
JikaALTERNATIF PENYELESAIAN
\begin{aligned}
x_{k+1}&= x_k + \dfrac12\\[4pt]
x_{k+1}-x_k&=\dfrac12\\[4pt]
b&=\dfrac12
\end{aligned}
\begin{aligned}
x_1 + x_2 +\cdots+ x_{400}&=S_{400}\\
&=\dfrac{n}2\left(2a+(n-1)b\right)\\[4pt]
&=\dfrac{400}2\left(2(1)+(400-1)\dfrac12\right)\\[4pt]
&=200\left(2+\dfrac{399}2\right)\\[4pt]
&=400+39900\\
&=\boxed{\boxed{40300}}
\end{aligned}
Jadi, x1 + x2 + ⋯ + x400 = 40300.
No.
Misalkan suku pertama dari suatu barisan aritmetika adalah 50, selisih antar kedua suku berurutan di barisan ini adalah bilangan bulat. JIka diketahui suku kesebelas barisan ini adalah bilangan positif yang tak lebih dari 200, berapakah jumlah dari semua suku kesebelas yang mungkin?ALTERNATIF PENYELESAIAN
a = 50
\begin{array}{rcccl}
1&\leq&U_{11}&\leq&200\\
1&\leq&a+10b&\leq&200\\
1&\leq&50+10b&\leq&200\\
-49&\leq&10b&\leq&150\\
-4{,}9&\leq&b&\leq&15\\
-4&\leq&b&\leq&15
\end{array}
Jumlah semua suku kesebelas yang mungkin adalah
\begin{aligned}
20\cdot50+10(-4+(-3)+(-2)+\cdots+15)&=50+10\left(\dfrac{20}2(-4+15)\right)\\[3.5pt]
&=1000+10\left(10(11)\right)\\
&=\boxed{\boxed{2100}}
\end{aligned}
Jadi,jumlah dari semua suku kesebelas yang mungkin adalah 1150.
No.
Diberikan suatu barisan aritmatika u1, u2, u3, ..., un, dengan suku pertamanya 1 dan memiliki beda 3. Tentukan nilai dari :\[\dfrac{2023}{\sqrt{u_1}+\sqrt{u_2}}+\dfrac{2023}{\sqrt{u_2}+\sqrt{u_3}}+\dfrac{2023}{\sqrt{u_3}+\sqrt{u_4}}+\cdots+\dfrac{2023}{\sqrt{u_{120}}+\sqrt{u_{121}}}\]
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned} \dfrac{2023}{\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n+1}}}&=\dfrac{2023}{\sqrt{u_{n+1}}+\sqrt{u_n}}{\color{red}\cdot\dfrac{\sqrt{u_{n+1}}-\sqrt{u_n}}{\sqrt{u_{n+1}}-\sqrt{u_n}}}\\[3.8pt] &=\dfrac{2023\left(\sqrt{u_{n+1}}-\sqrt{u_n}\right)}{u_{n+1}-u_n}\\[3.8pt] &=\dfrac{2023\left(\sqrt{u_{n+1}}-\sqrt{u_n}\right)}3\\[3.8pt] &=\dfrac{2023}3\left(\sqrt{u_{n+1}}-\sqrt{u_n}\right) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \dfrac{2023}{\sqrt{u_1}+\sqrt{u_2}}+\dfrac{2023}{\sqrt{u_2}+\sqrt{u_3}}+\dfrac{2023}{\sqrt{u_3}+\sqrt{u_4}}+\cdots+\dfrac{2023}{\sqrt{u_{120}}+\sqrt{u_{121}}}&=\dfrac{2023}3\left(\sqrt{u_2}-\sqrt{u_1}+\sqrt{u_3}-\sqrt{u_2}+\sqrt{u_4}-\sqrt{u_3}+\cdots+\sqrt{u_{121}}-\sqrt{u_{120}}\right)\\[3.8pt] &=\dfrac{2023}3\left(-\sqrt{u_1}+\sqrt{u_{121}}\right)\\[3.8pt] &=\dfrac{2023}3\left(-\sqrt{1}+\sqrt{361}\right)\\[3.8pt] &=\dfrac{2023}3\left(-1+19\right)\\ &=\boxed{\boxed{12138}} \end{aligned}\)
Jadi, \(\dfrac{2023}{\sqrt{u_1}+\sqrt{u_2}}+\dfrac{2023}{\sqrt{u_2}+\sqrt{u_3}}+\dfrac{2023}{\sqrt{u_3}+\sqrt{u_4}}+\cdots+\dfrac{2023}{\sqrt{u_{120}}+\sqrt{u_{121}}}=12138\).
No.
Suatu barisan aritmatika memiliki suku ke-3 sebesar jumlah rakaat seluruh sholat fardhu dan beda sebesar banyak rakaat sholat shubuh. Jika setiap suku pada barisan tersebut ditambahkan sebesar banyak rakaat sholat maghrib. Jumlah suku ke 20 dan 21 dari barisan baru adalah ....- 98
- 104
- 105
- 110
- 117
ALTERNATIF PENYELESAIAN
b = 2
Suku ke-3 pada barisan baru,
\(\begin{aligned} U_3&=17+3\\ a+2b&=20\\ a+2(2)&=20\\ a&=16 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} U_{20}+U_{21}&=16+19\cdot2+16+20\cdot2\\ &=\boxed{\boxed{110}} \end{aligned}\)
Suku ke-3 pada barisan baru,
\(\begin{aligned} U_3&=17+3\\ a+2b&=20\\ a+2(2)&=20\\ a&=16 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} U_{20}+U_{21}&=16+19\cdot2+16+20\cdot2\\ &=\boxed{\boxed{110}} \end{aligned}\)
Jadi, jumlah suku ke 20 dan 21 dari barisan baru adalah 110.
JAWAB: D
JAWAB: D
No.
Masing-masing bilangan dari sekumpulan- 44.505
- 42.705
- 37.855
- 35.555
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
10\times21+10\times22+\cdots+10\times30+11\times21+\cdots+11\times30+\cdots+20\times30&=10\times(21+22+\cdots+30)+11\times(21+22+\cdots+30)+\cdots+20\times(21+22+\cdots+30)\\
&=(10+11+\cdots+20)\times(21+22+\cdots+30)\\
&=\left(\dfrac{11(10+20)}2\right)\times\left(\dfrac{10(21+30)}2\right)\\[4pt]
&=165\times255\\
&=\boxed{\boxed{42075}}
\end{aligned}\)
Jadi, jumlah semua hasil kalinya adalah 42.705.
JAWAB: B
JAWAB: B
No.
a1, a2, a3, ... adalah barisan aritmetika sedemikian sehinggaALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
a_3&=10\\
a+2b&=10\\
a&=10-2b
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \left(a_2\right)^2&=a_{16}\\ \left(a+b\right)^2&=a+15b\\ \left(10-2b+b\right)^2&=10-2b+15b\\ \left(10-b\right)^2&=10+13b\\ 100-20b+b^2&=10+13b\\ b^2-33b+90&=0\\ (b-30)(b-3)&=0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \left(a_2\right)^2&=a_{16}\\ \left(a+b\right)^2&=a+15b\\ \left(10-2b+b\right)^2&=10-2b+15b\\ \left(10-b\right)^2&=10+13b\\ 100-20b+b^2&=10+13b\\ b^2-33b+90&=0\\ (b-30)(b-3)&=0 \end{aligned}\)
a = −50b = 30
Kita lihat bahwa setiap sukunya kelipatan 10 sehingga tidak mungkin ada suku yang bernilai 2023.
a = 4b = 3
\(\begin{aligned} a_k&=2023\\ a+(k-1)b&=2023\\ 4+(k-1)3&=2023\\ 3k+1&=2023\\ k&=\boxed{\boxed{674}} \end{aligned}\)
Jadi, k = 674.
No.
Barisan aritmetika a, b, c, d, e diketahuiALTERNATIF PENYELESAIAN
2c = b + d
\(\begin{aligned} ac&=2d+3\\ a(2c)&=4d+6\\ a(b+d)&=4d+6\\ ab+ad&=4d+6\\ d+6+ad&=4d+6\\ ad&=3d\\ a&=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}3}} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} ac&=2d+3\\ a(2c)&=4d+6\\ a(b+d)&=4d+6\\ ab+ad&=4d+6\\ d+6+ad&=4d+6\\ ad&=3d\\ a&=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}3}} \end{aligned}\)
Jadi, a = 3.
No.
Misalkan a, b bilangan bulat positif yang tidak memiliki faktor persekutuan positif selain 1. Jika berlaku $\dfrac{1+2+3+\cdots+104}{3+4+5+\cdots+106}=\dfrac{a}b$, maka nilaiALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
\dfrac{1+2+3+\cdots+104}{3+4+5+\cdots+106}&=\dfrac{\dfrac12(104)(1+104)}{\dfrac12(104)(3+106)}\\[4pt]
&=\dfrac{105}{109}
\end{aligned}\)
105 + 109 =214
105 + 109 =
Jadi, a + b = 214 .
Post a Comment