HOTS Zone : Bilangan Asli (Bilangan Bulat Positif)

Table of Contents

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Bilangan Asli (Bilangan Bulat Positif). Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

StandarSBMPTNHOTS

123

No. 1

Bilangan asli n dikatakan menarik jika terdapat suku banyak (polinom) dengan koefisien bulat P(x) sehingga P(7) = 2021 dan P(n) = 2045. Banyaknya bilangan prima menarik adalah . . .

Latihan OSK 2024 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Lemma. Jika P(x) adalah polinom dengan koefisien bulat, maka a − b | P(a) − P(b) untuk setiap bilangan bulat a, b.

BUKTI

Misalkan P(x) = a_nxⁿ + a_{n − 1}x^{n − 1} + ⋯ + a₀. Maka
P(a) − P(b) = a_n(aⁿ − bⁿ) + a_{n − 1}(a^{n − 1} − b^{n − 1}) + ⋯ + a₁(a − b).
Karena a − b | aⁿ − bⁿ untuk setiap n, maka jelas a − b | P(a) − P(b)

---

Dengan menggunakan lemma tersebut, maka n − 7 | P(n) − P(7) = 2045 − 2021 = 24.
Sehingga, semua bilangan menarik yang memenuhi adalah 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 19, 31.
Maka, bilangan prima menarik adalah 3, 5, 11, 13, 19, 31.

Jadi, banyaknya bilangan prima menarik adalah 6.

---

No. 2

Jika bilangan 2014 dinyatakan sebagai jumlah dari bilangan-bilangan asli berurutan, maka bilangan asli terbesar yang mungkin adalah ....

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}a+(a+1)+(a+2)+\cdots +(a+n-1)& =2014\\ {\displaystyle \frac{n}{2}}(2a+n-1)& =2014\end{array}$$ Jika n bilangan genap, misal n = 2k $$\begin{array}{rl}k(2a+2k-1)& =2014\\ k(2(a+k)-1)& =2014\end{array}$$ 2014 = 1·2014 = 2·1007 = 19·106 = 38·53
Pilih nilai k yang bukan ganjil.
Jika k = 106, maka 2(a + k) − 1 = 19 atau a = −96 (tidak mungkin).
Jika k = 38, maka 2(a + k) − 1 = 53 atau a = −11 (tidak mungkin).
Jika k = 2, maka 2(a + k) − 1 = 1007 atau a = 502. n = 4. Bilangan terbesarnya 502 + 4 − 1 = 505.

Jika n bilangan ganjil, misal n = 2k − 1 $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{2k-1}{2}}(2a+2k-1-1)& =2014\\ (2k-1)(a+k-1)& =2014\end{array}$$
Jika 2k − 1 = 1007 atau k = 504, maka a + k − 1 = 2 atau a = −501 (tidak mungkin).
Jika 2k − 1 = 19 atau k = 10, maka a + k − 1 = 106 atau a = 97. n = 20. Bilangan terbesarnya 97 + 20 − 1 = 116.
Jika 2k − 1 = 53 atau k = 27, maka a + k − 1 = 38 atau a = 12. n = 54. Bilangan terbesarnya 12 + 54 − 1 = 65.

Jadi, bilangan asli terbesar yang mungkin adalah 505.

---

No. 3

Diberikan bilangan bulat positif dua digit. Jika bilangan tersebut dibalik urutannya, maka diperoleh bilangan lain yang nilainya 7 kali dari jumlah digit penyusun bilangan awal. Diketahui bahwa selisih antar bilangan awal dan bilangan setelah dibalik adalah 18. Bilangan yang dimaksud adalah ....

1. 12
2. 24
3. 36

4. 48
5. 50

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal bilangan bulatnya adalah ab yang artinya 10a + b. Jika dibalik menjadi 10b + a. $$\begin{array}{rl}10b+a& =7(a+b)\\ 10b+a& =7a+7b\\ 3b& =6a\\ b& =2a\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}10b+a-(10a+b)& =18\\ 10b+a-10a-b& =18\\ 9b-9a& =18\\ b-a& =2\\ 2a-a& =2\\ a& =2\to b=4\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}10a+b& =10(2)+4\\ & =20+4\\ & =24\end{array}$$

Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 24.
JAWAB: B

---

No. 4

Jika bilangan 2019 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari n bilangan asli berurutan, maka nilai n terbesar yang mungkin adalah

1. 3
2. 6
3. 9

4. 12
5. 15

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal bilangan terkecilnya adalah a $$\begin{array}{rl}a+a+1+a+2+\cdots +a+n-1& =2019\\ {\displaystyle \frac{n}{2}}(a+a+n-1)& =2019\\ {\displaystyle \frac{n}{2}}(2a+n-1)& =2019\\ n(2a+n-1)& =4038=2\cdot 3\cdot 673\end{array}$$ Kita tahu bahwa 2a + n − 1 > n. Jika n genap maka 2a + n − 1 ganjil. n genap terbesar adalah 2·3 = 6.
Jika n ganjil maka 2a + n − 1 genap. n ganjil terbesar adalah 3.

Jadi, nilai n terbesar yang mungkin adalah 6.
JAWAB: B

---

No. 5

3 orang A, B, dan C pinjam-meminjam kelereng. Pada awalnya ketiga orang tersebut memiliki sejumlah kelereng tertentu dan selama pinjam meminjam mereka tidak melakukan penambahan kelereng selain melalui pinjam meminjam di antara ketiga orang tersebut. Pada suatu hari, A meminjami sejumlah kelereng kepada B dan C sehingga jumlah kelereng B dan C masing-masing menjadi 2 kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari berikutnya B meminjami sejumlah kelereng A dan C sehingga jumlah kelereng A dan C masing-masing menjadi 2 kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari terakhir C meminjami sejumlah kelereng kepada A dan B sehingga jumlah kelereng A dan B masing-masing menjadi 2 kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Setelah dihitung akhirnya masing-masing memiliki 16 kelereng. Banyak kelereng A mula-mula adalah

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Pada hari terakhir, C meminjami sejumlah kelereng kepada A dan B sehingga jumlah kelereng A dan B masing-masing menjadi 2 kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Jadi, sebelum C memberi pinjaman, A dan B mempunyai kelereng sebanyak:
\dfrac{16}2=8
dan C mempunyai kelereng sebanyak:
16 + 8 + 8 = 32

Pada hari kedua, B meminjami sejumlah kelereng A dan C sehingga jumlah kelereng A dan C masing-masing menjadi 2 kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Sebelum B memberi pinjaman, A mempunyai kelereng sebanyak:
\dfrac82=4
C mempunyai kelereng sebanyak:
\dfrac{32}2=16
dan B mempunyai kelereng sebanyak:
8 + 4 + 16 = 28

Pada hari pertama, A meminjami sejumlah kelereng kepada B dan C sehingga jumlah kelereng B dan C masing-masing menjadi 2 kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Sebelum A memberi pinjaman, B mempunyai kelereng sebanyak:
\dfrac{28}2=14
C mempunyai kelereng sebanyak:
\dfrac{16}2=8
dan A mempunyai kelereng sebanyak:
4 + 14 + 8 = 26

Jadi, banyak kelereng A mula-mula adalah 26 buah.

---

No. 6

Diberikan dua bilangan asli m dan n sehingga mn + 2m habis membagi mn + m + n + 1. Tentukan jumlah semua kemungkinan nilai dari |m − n|.

KTOM Agustus 2020

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}(mn+2m)& |(mn+m+n+1)\\ m(n+2)& |(m+1)(n+1)\end{array}$$ m∤ (m + 1) sehingga m∣(n + 1), atau n + 1 = mk

(n + 2)∤ (n + 1) sehingga (n + 2)∣(m + 1) $$\begin{array}{rl}(n+2)& \mid (m+1)\\ (mk+1)& \mid (m+1)\end{array}$$ Nilai k yang memenuhi hanya k = 1. $$\begin{array}{rl}n+1& =m\\ m-n& =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 1}}}}\end{array}$$

Jadi, jumlah semua kemungkinan nilai dari |m − n| adalah 1.

---

No. 7

Tentukan bilangan asli terkecil n > 1 sehingga berlaku sifat berikut: Pada papan persegi berukuran n×n, kita dapat menaruh n buah ratu yang tidak saling menyerang satu sama lain.

ALTERNATIF PENYELESAIAN

n = 5

Jadi, n = 5.

---

No. 8

Sebuah bilangan asli n terdiri dari 7 digit berbeda dan habis dibagi oleh masing-masing digitnya. Tentukan ketiga digit yang tidak termasuk ke dalam digit dari n.

Grup Telegram

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Kita ambil 6 digit pertama: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Related: loading

Semua bilangan habis dibagi 1.

Agar bisa dibagi 2, maka digit ke-7 adalah genap, kita pilih 2.

Jika n habis dibagi 5, maka digit terakhinya adalah 5 dan bukan bilangan genap. Jadi tidak ada digit 5 di n

Agar bisa dibagi 4, maka digit ke-6 adalah 1.

Agar bisa dibagi 3, maka jumlah digitnya bisa dibagi 3.
1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 = 24

Agar bisa dibagi 8, maka 3 digit terakhir harus bisa dibagi 8, misalnya 312.

Maka satu digit lagi harus habis dibagi 3, yaitu 9.

Tiga digit yang tidak termasuk adalah 0, 5, dan 7.

Jadi, ketiga digit yang tidak termasih ke dalam digit dari n adalah 0, 5, dan 7.

---

No. 9

Diberikan tiga bilangan bulat positif sedemikian sehingga selisih dari setiap bilangan tidak lebih dari 6. Jika perkalian ketiga bilangan tersebut adalah 2808 maka bilangan terkecil dari ketiga bilangan tersebut adalah ....

1. 9
2. 10
3. 11

4. 12
5. 13

C S C POSI 2021

ALTERNATIF PENYELESAIAN

2808 = 2³·3³·13

Kita cari 3 faktor dari 2808 yang selisihnya tidak lebih dari 6.
k(k + a)(k + b) = 2808
dimana a ≤ 6 dan a ≤ 6 $$\begin{array}{rl}k(k+a)(k+b)& \le k(k+6)(k+6)\\ 2808& \le k(k+6{)}^2\\ k(k+6{)}^2& \ge 2808\end{array}$$ Jika k = 10, 10(10 + 6)² = 2560
Jika k = 11, 11(11 + 6)² = 3179
Kita ambil k yang lebih dari 11 dan faktor dari 2808, yaitu 12. Sehingga didapat 3 bilangan tersebut adalah 12, 13, dan 18.

Jadi, bilangan terkecil dori ketiga bilangan tersebut adalah 12.
JAWAB: D

---

No. 10

Diberikan bilangan bulat positif empat angka A dan B sedemikian sehingga A×B = 16⁵ + 2¹⁰. Hasil dari A + B = ....

1. 2045
2. 2046
3. 2047

4. 2048
5. 2049

C S C POSI 2021

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}A\times B& ={16}^5+2^{10}\\ & ={\left(2^4\right)}^5+2^{10}\\ & =2^{20}+2^{10}\\ & =2^{10}(2^{10}+1)\\ & =1024(1025)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}A+B& =1024+1025\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 2049}}}}\end{array}$$

Jadi, A + B = 2049.
JAWAB: E

---

123