HOTS Zone : Bilangan Bulat
Table of Contents
Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Bilangan Bulat. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.
Tipe:
No.
Berapakah bilangan bulat positif terbesar yang membagi semua bilangan 15 − 1, 25 − 2, ⋯, n5 − n?ALTERNATIF PENYELESAIAN
15 − 1 = 0
25 − 2 = 30
Untuk n > 2 maka n5 − n > 30
n5 − n = (n − 1)n(n + 1)(n2 + 1)
(n − 1)n(n + 1) habis dibagi 6.
Kita periksa apakah n5 − n habis dibagi 5.
25 − 2 = 30
Untuk n > 2 maka n5 − n > 30
n5 − n = (n − 1)n(n + 1)(n2 + 1)
(n − 1)n(n + 1) habis dibagi 6.
Kita periksa apakah n5 − n habis dibagi 5.
- Untuk n = 2 (mod 5) \begin{aligned} n^5-n&=(n-1)n(n+1)\left(n^2+1\right)\\ &=(1)(2)(3)(5)\pmod5\\ &=0\pmod5 \end{aligned}
- Untuk n = 3 (mod 5) \begin{aligned} n^5-n&=(n-1)n(n+1)\left(n^2+1\right)\\ &=(2)(3)(4)(10)\pmod5\\ &=0\pmod5 \end{aligned}
Jadi, bilangan bulat positif terbesar yang membagi semua bilangan 15 − 1, 25 − 2, ⋯, n5 − n adalah 30.
No.
Boruto menulis bilangan dari 998 sampai 1001. lalu ia menjumlahkan seluruh angka pada bilangan tersebut, sehingga didapat 9 + 9 + 8 + 9 + 9 + 9 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 = 56. Jika Boruto menuliskan bilangan dari 1 sampai 2017, maka tentukan jumlah dari seluruh angka pada bilangan yang Boruto tulis.- 25732
- 28117
- 30125
- 41739
ALTERNATIF PENYELESAIAN
| Angka | Semua (0-9) | 2 (posisi ribuan) | Semua (0-9) (posisi satuan) | 1 (posisi puluhan) | 0-7 (posisi satuan) |
| Pada Bilangan | 1-1999 | 2000-2017 | 2000-2009 | 2010-2017 | 2010-2017 |
| Jumlah Angka | 2⋅45⋅3⋅103 − 1 + 1000 = 28000 | 2⋅18 = 36 | 45 | 8 | 28 |
Jadi, jumlah dari seluruh angka pada bilangan yang Boruto tulis adalah 28117.
JAWAB: B
JAWAB: B
No.
Hitunglah (723 + 5)2 − (7232 + 52)- 723
- 1446
- 3615
- 7230
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\begin{aligned}
(723+5)^2-\left(723^2+5^2\right)&=\cancel{723^2}+2\cdot723\cdot5+\cancel{5^2}-\cancel{723^2}-\cancel{5^2}\\
&=\boxed{\boxed{7230}}
\end{aligned}
Jadi, (723 + 5)2 − (7232 + 52) = 7230.
JAWAB: D
JAWAB: D
No.
Jika m bilangan bulat positif, tentukan nilai m yang menyebabkan 2002 : (m2 − 2) juga merupakan bilangan bulat positif!ALTERNATIF PENYELESAIAN
Karena 2002 = 2⋅7⋅11⋅13, maka m2 − 2 harus sama dengan nilai salah satu faktor atau hasil kali sebagian atau seluruh faktor tersebut.
Dan yang memenuhi m sebagai bilangan bulat positif adalah :
m2 − 2 = 2, dengan m = 2
m2 − 2 = 7, dengan m = 3
m2 − 2 = 14, dengan m = 4
Dan yang memenuhi m sebagai bilangan bulat positif adalah :
m2 − 2 = 2, dengan m = 2
m2 − 2 = 7, dengan m = 3
m2 − 2 = 14, dengan m = 4
Jadi, m = 2, 3, atau 4.
No.
Nomor polisi mobil di sebuah negara selalu berupa bilangan 4 angka. Selain itu, jumlah keempat angka pada setiap nomor juga harus habis dibagi 5. Nomor polisi terbesar yang diperbolehkan negara itu adalah ....- 9999
- 9998
- 9995
- 9990
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal bilangannya adalah 999A, sehingga jumlah keempat angkanya adalah 27 + A. nilai A terbesar agar 27 + A habis dibagi 5 adalah 8.
Jadi, nomor polisi terbesar yang diperbolehkan negara itu adalah 9998.
JAWAB: B
JAWAB: B
No.
Enam bilangan berurutan ditulis pada papan tulis. Ketika satu dari enam bilangan tersebut dihapus, maka jumlah dari lima bilangan tersisa adalah 2019. Berapakah jumlah dari digit-digit yang dihapus?- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Bilangan-bilangannya adalah a, a + 1, a + 2, a + 3, a + 4, dan a + 5.
Misal bilangan yang dihapus adalah a + k, dengan k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}. \begin{aligned} a+a+1+a+2+a+3+a+4+a+5-(a+k)&=2019\\ 5a+15-k&=2019\\ a&=\dfrac{2004+k}5 \end{aligned} Cari nilai k sehingga 2004 + k habis dibagi 5. Didapatk = 1 ⟶ a = 401 .
Bilangan yang dihapus adalah
a + k = 401 + 1 = 402
4 + 0 + 2 = 6
Misal bilangan yang dihapus adalah a + k, dengan k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}. \begin{aligned} a+a+1+a+2+a+3+a+4+a+5-(a+k)&=2019\\ 5a+15-k&=2019\\ a&=\dfrac{2004+k}5 \end{aligned} Cari nilai k sehingga 2004 + k habis dibagi 5. Didapat
Bilangan yang dihapus adalah
a + k = 401 + 1 = 402
4 + 0 + 2 = 6
Jadi, jumlah dari digit-digit yang dihapus adalah 6.
JAWAB: C
JAWAB: C
No.
Jumlah semua bilangan yang selisih antara bilangan tersebut dan jumlah digit-digit penyusunnya sama dengan 2016 adalah ....ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal bilangan x ditulis dalam bentuk \overline{\cdots X_4X_3X_2X_1} , dimana X1 menyatakan satuan, X2 menyatakan puluhan dan seterusnya.
\overline{\cdots X_4X_3X_2X_1}=\cdots+1000X_4+100X_3+10X_2+X_1
\begin{aligned}
\left(\cdots+1000X_4+100X_3+10X_2+X_1\right)-\left(\cdots+X_4+X_3+X_2+X_1\right)&=2016\\
\cdots+999X_4+99X_3+9X_2&=2016\\
\cdots+111X_4+11X_3+X_2&=224
\end{aligned}
Kita lihat bahwa bilangannya tidak mungkin 5 digit atau lebih. Kita tahu bahwa nilai terbesar dari 11X3 + X2 adalah 108 sehingga didapat bilangannya mempunyai 4 digit.
Jika X4 = 1, nilai terbesar 111X4 + 11X3 + X2 adalah 219. Didapat X4 = 2, X3 = 0, X2 = 2, dan X1 ∈ {0, 1, 2, ⋯, 9}.
Jumlah semua bilangan dari 2020 hingga 2029 adalah \begin{aligned} \frac{10}2(2020+2029)=20245 \end{aligned}
Jika X4 = 1, nilai terbesar 111X4 + 11X3 + X2 adalah 219. Didapat X4 = 2, X3 = 0, X2 = 2, dan X1 ∈ {0, 1, 2, ⋯, 9}.
Jumlah semua bilangan dari 2020 hingga 2029 adalah \begin{aligned} \frac{10}2(2020+2029)=20245 \end{aligned}
Jadi, jumlah semua bilangan yang selisih antara bilangan tersebut dan jumlah digit-digit penyusunnya sama dengan 2016 adalah 20245.
No.
Banyak pasangan bilangan bulat a, b yang memenuhi(a − 2)(b − 2) = 60
adalah ....
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Faktor prima dari 60 adalah 60 = 22 × 3 × 5
Banyak faktor positif dari 60 adalah3 × 2 × 2 = 12
Banyak faktor dari 60 adalah2 × 12 = 24
Banyak pasangan bulat a, b yang memenuhi sama dengan banyak faktor dari 60, akibatnya banyak pasangan bulat a, b adalah 24
Banyak faktor positif dari 60 adalah
Banyak faktor dari 60 adalah
Banyak pasangan bulat a, b yang memenuhi sama dengan banyak faktor dari 60, akibatnya banyak pasangan bulat a, b adalah 24
Jadi, banyak pasangan bilangan bulat a, b yang memenuhi
(a − 2)(b − 2) = 60
adalah 24.No.
Banyak faktor positif dari 720 yang habis dibagi 36 adalah ....ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misalkan k adalah faktor positif dari 720, maka \dfrac{720}k adalah bilangan asli. Karena k habis dibagi maka k = 36m untuk suatu bilangan asli m, akibatnya
⟶\dfrac{720}m adalah bilangan asli
⟶ \dfrac{20}m adalah bilangan asli
Karena faktoriasi prima dari 20 adalah 20 = 22 × 5 maka banyak nilai m yang memenuhi adalah 3 × 2 = 6 akibatnya banyak nilai k yang memenuhi adalah 6.
⟶
Jadi, banyak faktor positif dari 720 yang habis dibagi 36 adalah 6.
No.
Banyak pasangan bilangan asliALTERNATIF PENYELESAIAN
Faktor prima dari 60 adalah 60 = 22 × 3 × 5
Banyak faktor positif dari 60 adalah3 × 2 × 2 = 12
Perhatikan,
a + 2 ≥ 1 + 2 = 3
Faktor-faktor dari 60 yang kurang dari 3 adalah 1 dan 2. Sehingga banyak pasangan yang memenuhi ada12 − 2 = 10.
Banyak faktor positif dari 60 adalah
Perhatikan,
Faktor-faktor dari 60 yang kurang dari 3 adalah 1 dan 2. Sehingga banyak pasangan yang memenuhi ada
Jadi, anyak pasangan bilangan asli (a, b) yang memenuhi (a + 2)(b − 1) = 60 adalah 10.
Post a Comment