HOTS Zone : Bilangan Pecahan

Table of Contents

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Bilangan Pecahan. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

StandarSNBTHOTS

12

No. 1

$\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\cdots }}}}=$ ....

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

misal $x=\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\cdots }}}}$$$\begin{array}{rl}x& =\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{x}}\\ x^2& =\sqrt{2}x+\sqrt{2}\\ x^2-\sqrt{2}x-\sqrt{2}& =0\\ x& ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{{(-\sqrt{2})}^2-4(1)(\sqrt{2})}}{2(1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{2+4\sqrt{2}}}{2}}\end{array}$$

Jadi, $\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\cdots }}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{2+4\sqrt{2}}}{2}}$.

---

No. 2

Jika ${\displaystyle \frac{983}{466}}=a+{\displaystyle \frac{1}{b+{\displaystyle \frac{1}{c+{\displaystyle \frac{1}{d+{\displaystyle \frac{1}{e+1}}}}}}}}$, dimana a, b, c, d, dan e adalah bilangan bulat positif, maka nilai dari a⋅b⋅c⋅d⋅e adalah

1. 189
2. 126
3. 252

4. 233
5. 378

SUMBER

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{983}{466}}& =2+{\displaystyle \frac{51}{466}}\\ & =2+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{466}{51}}}}\\ & =2+{\displaystyle \frac{1}{9+{\displaystyle \frac{7}{51}}}}\\ & =2+{\displaystyle \frac{1}{9+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{51}{7}}}}}}\\ & =2+{\displaystyle \frac{1}{9+{\displaystyle \frac{1}{7+{\displaystyle \frac{2}{7}}}}}}\\ & =2+{\displaystyle \frac{1}{9+{\displaystyle \frac{1}{7+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{7}{2}}}}}}}}\\ & =2+{\displaystyle \frac{1}{9+{\displaystyle \frac{1}{7+{\displaystyle \frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}}}}}\\ & =\boxed{{\displaystyle 2}}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle 9}}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle 7}}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle 3}}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{{\displaystyle 1}}+1}}}}}}}}\end{array}$$ 2⋅9⋅7⋅3⋅1 = 378

Jadi, a⋅b⋅c\⋅d⋅e = 378.
JAWAB: E

---

No. 3

Nilai dari ${\displaystyle \frac{{2022}^2\times ({2021}^2-2020)}{({2021}^2-1)\times ({2021}^3+1)}}\times {\displaystyle \frac{{2020}^3\times ({2021}^2+2022)}{{2021}^3-1}}$ adalah ....

1. 1
2. 2020
3. 2021

4. 2022
5. 2023

C S C POSI 2021

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{{2022}^2\times ({2021}^2-2020)}{({2021}^2-1)\times ({2021}^3+1)}}\times {\displaystyle \frac{{2020}^3\times ({2021}^2+2022)}{{2021}^3-1}}& ={\displaystyle \frac{{2022}^2\times ({2021}^2-2020)}{(2021+1)\times (2021-1)\times (2021+1)\times ({2021}^2-2021+1)}}\times {\displaystyle \frac{{2020}^3\times ({2021}^2+2022)}{(2021-1)\times ({2021}^2+2021+1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{{2022}^2\times ({2021}^2-2020)}{\left(2022\right)\times \left(2020\right)\times \left(2022\right)\times ({2021}^2-2020)}}\times {\displaystyle \frac{{2020}^3\times ({2021}^2+2022)}{(2020)\times ({2021}^2+2022)}}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 2020}}}}\end{array}$$

Jadi, ${\displaystyle \frac{{2022}^2\times ({2021}^2-2020)}{({2021}^2-1)\times ({2021}^3+1)}}\times {\displaystyle \frac{{2020}^3\times ({2021}^2+2022)}{{2021}^3-1}}=2020$.
JAWAB: B

---

No. 4

Bentuk sederhana dari pecahan bersusun

$2022+\frac{14}{3+\frac{28}{3+\frac{28}{3+\frac{28}{⋮}}}}$

adalah

1. 7
2. 2024

3. $2023{\displaystyle \frac{2}{5}}$
4. $2023{\displaystyle \frac{4}{7}}$

SUMBER

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal $3+\frac{28}{3+\frac{28}{3+\frac{28}{⋮}}}=x$. $$\begin{array}{rl}x& =3+\frac{28}{x}\\ x^2& =3x+28\\ x^2-3x-28& =0\\ (x+4)(x-7)& =0\end{array}$$ x = −4 (TM) atau x = 7

$$\begin{array}{rl}2022+\frac{14}{3+\frac{28}{3+\frac{28}{3+\frac{28}{⋮}}}}& =2022+\frac{14}{7}\\ & =2022+2\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 2024}}}}\end{array}$$

Jadi, $2022+\frac{14}{3+\frac{28}{3+\frac{28}{3+\frac{28}{⋮}}}}=2024$.
JAWAB: B

---

No. 5

Gabah hasil panen sawah mempunyai kadar air 25%. Setelah dijemur kadar airnya menyusut sebanyak 80%. Kadar air gabah tersebut saat ini adalah ....

1. 2,5%
2. 5%
3. 10%

4. 15%
5. 2%

OSK SMP 2003

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Kadar air tersisa adalah 20% dari kadar air sebelumnya.
$\begin{array}{rl}20\mathrm{\%}\cdot 25\mathrm{\%}& ={\displaystyle \frac{20}{100}}\cdot {\displaystyle \frac{25}{100}}\\ & ={\displaystyle \frac{500}{10000}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{100}}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 5\mathrm{\%}}}}}\end{array}$

Jadi, kadar air gabah tersebut saat ini adalah 5%.
JAWAB: B

---

No. 6

Dimulai dari ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, tambahkan 2 pada pembilangnya atau 3 pada penyebutnya pada setiap pengerjaan, tetapi tidak keduanya, dan tidak ada pengurangan. Paling sedikit berapa kali operasi hitung yang dibutuhkan untuk kembali mendapatkan pecahan dengan nilai yang setara dengan ${\displaystyle \frac{3}{4}}$?

Grup WA Matematika HOTS

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{3+2a}{4+3b}}& ={\displaystyle \frac{3}{4}}\\ 12+8a& =12+9b\\ 8a& =9b\end{array}$

Karena FPB(8,9) = 1 maka nilai terkecil (a,b) = (9,8).

Related: loading

8 + 9 = 17

Jadi, paling sedikit 17 kali operasi hitung yang dibutuhkan untuk kembali mendapatkan pecahan dengan nilai yang setara dengan ${\displaystyle \frac{3}{4}}$.

---

No. 7

Hasil operasi terbesar yang dapat diperoleh dari penempatan angka-angka 4, 6, 7, dan 8 pada kotak kotak yang tersusun seperti di bawah ini adalah ...

OSK SMP 2003

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Di bagian pecahan, penyebutnya kita isi dengan angka terkecil yaitu 4. Untuk 2 kotak yang dikali, kita isi 2 angka terbesar yaitu 7 dan 8. Sisanya diisi angka 6. Sehinggga menjadi seperti berikut:

$$6+\frac{7}{4}\times 8=20$$

Jadi,
JAWAB:

---

No. 8

Dalam suatu semester, nilai rata-rata ulangan harian Matematika Andi adalah 72. Nilai rata-rata ulangan harian memiliki bobot 80% dari nilai akhir semester, sementara nilai ujian akhir semester memiliki bobot 20%. Jika KKM sekolahnya adalah 75, nilai ujian akhir semester minimal yang harus Andi dapatkan agar ia menuntaskan pelajaran Matematika dalam semester tersebut adalah ....
Catatan: Di sekolah itu, asumsikan penghitungan nilai akhir tidak mengalami pembulatan.

1. 81
2. 84

3. 87
4. 90

KTOM - TO OSK SMP 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal nilai akhir semester adalah N_a, dan nilai ujian akhir semester adalah x. $$\begin{array}{rl}{N}_a& =80\mathrm{\%}\cdot 72+20\mathrm{\%}\cdot x\\ 75& ={\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot 72+{\displaystyle \frac{1}{5}}x& \text{color}red\times 5\\ 375& =288+x\\ x& =375-288\\ & =87\end{array}$$

Jadi, nilai ujian akhir semester minimal yang harus Andi dapatkan agar ia menuntaskan pelajaran Matematika dalam semester tersebut adalah 87.
JAWAB: C

---

No. 9

Tentukan nilai ⌊S⌋ jika $$S={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{2017}}+{\displaystyle \frac{1}{2018}}+{\displaystyle \frac{1}{2019}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2028}}}}$$

Grup WhatApp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rcccl}{\displaystyle \frac{12}{2028}}& <& {\displaystyle \sum _{k=0}^{11}{\displaystyle \frac{1}{2017+k}}}& <& {\displaystyle \frac{12}{2017}}\\ {\displaystyle \frac{2028}{12}}& >& {\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \sum _{k=0}^{11}{\displaystyle \frac{1}{2017+k}}}}}& >& {\displaystyle \frac{2017}{12}}\\ {\displaystyle \frac{2017}{12}}& <& {\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \sum _{k=0}^{11}{\displaystyle \frac{1}{2017+k}}}}}& <& {\displaystyle \frac{2028}{12}}\\ 168,...& <& S& <& 169\end{array}$

Jadi, ⌊S⌋ = 168.

---

No. 10

$${\displaystyle \frac{🟡}{🟢}}+{\displaystyle \frac{🟢}{🟡}}=2,6\overline{54}$$ Berapakah nilai 🟢 dan 🟡?

Grup Whatsapp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal $🥶=2{,}6\overline{54}$, dan $🔴=\dfrac🟡🟢$.

$\begin{array}{rl}1000🥶& =2654,\overline{54}\\ 10🥶& =26,\overline{54}& \text{color}red-\\ 990🥶& =2628\\ 🥶& ={\displaystyle \frac{2628}{990}}\\ 🔴+{\displaystyle \frac{1}{🔴}}& ={\displaystyle \frac{146}{55}}& \text{color}red\times 55🔴\\ 55{🔴}^2+55& =146🔴\\ 55{🔴}^2-146🔴+55& =0\\ (5🔴-11)(11🔴-5)& =0\end{array}$

• 5🔴 − 11 = 0
  $\begin{array}{rl}🔴& ={\displaystyle \frac{11}{5}}\\ {\displaystyle \frac{🟡}{🟢}}& ={\displaystyle \frac{11}{5}}\end{array}$
  🟡 = 11k, dan 🟢 = 5k
  
• 11🔴 − 5 = 0
  $\begin{array}{rl}🔴& ={\displaystyle \frac{5}{11}}\\ {\displaystyle \frac{🟡}{🟢}}& ={\displaystyle \frac{5}{11}}\end{array}$
  🟡 = 5k, dan 🟢 = 11k.

Jadi, 🟢 = 5k dan 🟡 = 11k, atau 🟢 = 11k dan 🟡 = 5k.

---

12