Eksponen

Table of Contents

Definisi

Perkalian berulang adalah perkalian yang dilakukan secara berulang dengan faktor yang sama.

Jika a adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat positif, maka aⁿ menyatakan hasil kali bilangan a sebanyak n faktor dan ditulis dengana^n=\underbrace{a\times a\times a\times \cdots \times a}_{\text{ada }n\text{ buah }a} a disebut bilangan pokok, dan n disebut pangkat.

Perhatikan contoh berikut ini.

1. 2×2×2×2×2×2 ditulis dengan 2⁶
2. 5×5×5×5×5×5×5×5 ditulis dengan 5⁸
3. 15×15×15×15 ditulis dengan 15⁴
4. 7×7×7×7×7×7×7×7×7×7 ditulis dengan 7¹⁰
5. a×a×a×a×a×a×a ditulis dengan a⁷

Beberapa Definisi penting

1. Jika a adalah bilangan real dengan a ≠ 0 dan n bilangan bulat positif, maka a^{-n}=\left(\dfrac1a\right)^n
2. Jika a adalah bilangan real dengan a ≠ 0 dan n bilangan bulat positif, maka a^{\frac1n}=p adalah bilangan real positif, sehingga pⁿ = a.
3. Jika a adalah bilangan real dengan a ≠ 0 dan m, n bilangan bulat positif, makaa^{\frac{m}n}=\left(a^{\frac1n}\right)^m

Sifat-sifat Eksponen

1. a^m ⋅ aⁿ = a^{m + n}, dengan a ≠ 0, m, n bilangan bulat.
   BUKTI

   \begin{aligned} a^m\cdot a^n&=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots\times a}_{m\text{ buah }a}\cdot\underbrace{a\times a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ buah }a}\\ &=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots\times a}_{(m+n)\text{ buah }a}\\ &=a^{m+n} \end{aligned}
2. \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, dengan a ≠ 0, m, n bilangan bulat.
   BUKTI

   \begin{aligned} \frac{a^m}{a^n}&=\frac{\underbrace{a\times a\times a\times\cdots\times a}_{m\text{ buah }a}}{\underbrace{a\times a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ buah }a}}\\[3.7pt] &=\frac{\underbrace{\left(a\times a\times a\times\cdots\times a\right)}_{n\text{ buah }a}\times\underbrace{\left(a\times a\times a\times\cdots\times a\right)}_{(m-n)\text{ buah }a}}{\underbrace{a\times a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ buah }a}}\\[3.7pt] &=\underbrace{\left(a\times a\times a\times\cdots\times a\right)}_{(m-n)\text{ buah }a}\\ &=a^{m-n} \end{aligned}
3. (a^m)ⁿ = a^m×n, dengan a ≠ 0, m, n bilangan bulat.
   BUKTI

   \begin{aligned} \left(a^m\right)^n&=\left(\underbrace{a\times a\times a\times\cdots\times a}_{m\text{ buah }a}\right)^n\\ &=\underbrace{\left(\underbrace{a\times a\times a\times\cdots\times a}_{m\text{ buah }a}\right)\times\left(\underbrace{a\times a\times a\times\cdots\times a}_{m\text{ buah }a}\right)\times\cdots\times\left(\underbrace{a\times a\times a\times\cdots\times a}_{m\text{ buah }a}\right)}_{n\text{ buah }\left(\underbrace{a\times a\times a\times\cdots\times a}_{m\text{ buah }a}\right)}\\ &=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots\times a}_{m\times n\text{ buah }a}\\ &=a^{m\times n} \end{aligned}
4. (ab)^m = a^m×b^m, dengan a, b ≠ 0, dan m bilangan bulat.
   BUKTI

   \begin{aligned} \left(ab\right)^m&=\underbrace{\left(ab\right)\times\left(ab\right)\times\cdots\times\left(ab\right)}_{m\text{ buah }\left(ab\right)}\\ &=\underbrace{(a\times a\times\cdots\times a)}_{m\text{ buah }a}\times\underbrace{(b\times b\times\cdots\times b)}_{m\text{ buah }b}\\ &=a^m\times b^m \end{aligned}
5. \left(\dfrac{a}b\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}, dengan b ≠ 0 dan m bilangan bulat.
   BUKTI

   \begin{aligned} \left(\dfrac{a}b\right)^m&=\underbrace{\frac{a}b\times\frac{a}b\times\cdots\times\frac{a}b}_{m\text{ buah }\frac{a}b}\\ &=\frac{\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{m\text{ buah }a}}{\underbrace{b\times b\times\cdots\times b}_{m\text{ buah }b}}\\ &=\frac{a^m}{b^m} \end{aligned}
6. \left(a^\frac{m}n\right)\left(a^\frac{p}n\right)=(a)^\frac{m+p}n dengan a > 0, \dfrac{m}n dan \dfrac{p}n bilangan rasional dengan n ≠ 0
   BUKTI

   Misal x=\dfrac{m}n dan y=\dfrac{p}n. Sesuai dengan sifat 1 maka:\begin{aligned} \left(a^x\right)\left(a^y\right)&=a^{x+y}\\ &=a^{\frac{m}n+\frac{p}n}\\ &=a^\frac{m+p}n \end{aligned}
7. \left(a^\frac{m}n\right)\left(a^\frac{p}q\right)=(a)^{\frac{m}n+\frac{p}q} dengan a > 0, \dfrac{m}n dan \dfrac{p}n bilangan rasional dengan n, q ≠ 0
   BUKTI

   Misal x=\dfrac{m}n dan y=\dfrac{p}q. Sesuai dengan sifat 1 maka:\begin{aligned} \left(a^x\right)\left(a^y\right)&=a^{x+y}\\ &=a^{\frac{m}n+\frac{p}q} \end{aligned}

Contoh 1

Sederhanakanlah bentuk eksponen \dfrac{2^5\times2^3}{2^2}

ALTERNATIF PENYELESAIAN

\begin{aligned} \dfrac{2^5\times2^3}{2^2}&=\dfrac{2^{5+3}}{2^2}\\[3.6pt] &=\dfrac{2^8}{2^2}\\[3.6pt] &=2^{8-2}\\ &=2^6 \end{aligned}

Jadi, \dfrac{2^5\times2^3}{2^2}=2^6.

---

Contoh 2

Sederhanakan bentuk eksponen \left(x^\frac13\right)^2\times\left(x^\frac43\right)

ALTERNATIF PENYELESAIAN

\begin{aligned} \left(x^\frac13\right)^2\times\left(x^\frac43\right)&=\left(x^\frac23\right)\times\left(x^\frac43\right)\\ &=x^{\frac23+\frac43}\\ &=x^{\frac63}\\ &=x^2 \end{aligned}

Jadi, \left(x^\frac13\right)^2\times\left(x^\frac43\right)=x^2.

---