Exercise Zone : Induksi Matematika

Table of Contents

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Induksi Matematika. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Facebook atau Telegram.

Tipe:

StandarSNBTHOTS

No.

Buktikan dengan induksi matematika untuk n ≥ 5 bilangan asli berlaku 2n − 3 < 2^{n − 2}

Grup Telegram

ALTERNATIF PENYELESAIAN

n = 5,

\begin{aligned} 2(5)-3&\lt2^{5-2}\\ 7&\lt2^3\\ 7&\lt8 \end{aligned} BENAR

HIPOTESIS INDUKSI

asumsikan benar untuk n = k ≥ 5 bilangan asli berlaku 2k − 3 < 2^{k − 2}

BUKTIKAN BENAR UNTUK n = k + 1

Kita akan buktikan benar bahwa untuk n = k + 1 ≥ 6 bilangan asli berlaku 2(k + 1) − 3 < 2^{k + 1 − 2} = 2^{k − 1} \begin{aligned} 2(k+1)-3&=2k+2-3\\ &=2k-3+2\\ &\lt2^{k-2}+2\\ &\lt2^{k-2}+2^{k-2}=2\cdot2^{k-2}=2^{1+k-2}=2^{k-1} \end{aligned} TERBUKTI

Jadi, Terbukti benar bahwa untuk n ≥ 5 bilangan asli berlaku 2n − 3 < 2^{n − 2}.

---

No.

Buktikan bahwa untuk n bilangan positif berlaku:
4 + 8 + 12 + ⋯ + 4n = 2n² + 2n

Grup Telegram

ALTERNATIF PENYELESAIAN

n = 1

\begin{aligned} 4(1)&=2(1)^2+2(1)\\ 4&=4 \end{aligned} BENAR

HIPOTESIS INDUKSI

Asumsikan benar bahwa untuk n = k bilangan positif berlaku:
4 + 8 + 12 + ⋯ + 4k = 2k² + 2k

BUKTIKAN BENAR UNTUK n = k + 1

Kita buktikan benar bahwa untuk n = k + 1 bilangan positif berlaku:
4 + 8 + 12 + ⋯ + 4(k + 1) = 2(k + 1)² + 2(k + 1) \begin{aligned} 4+8+12+\cdots+4(k+1)&=4+8+12+\cdots+4k+4(k+1)\\ &=2k^2+2k+4(k+1)\\ &=2k^2+2k+4k+4\\ &=2k^2+6k+4\\ &=(2k+2)(k+2)\\ &=2(k+1)(k+1+1)\\ &=2(k+1)^2+2(k+1) \end{aligned} TERBUKTI

Jadi, terbukti benar bahwa untuk n bilangan positif berlaku:
4 + 8 + 12 + ⋯ + 4n = 2n² + 2n.

---