Fungsi Eksponen
Table of Contents

DEFINISI FUNGSI EKSPONEN
Sebuah fungsi eksponen dinyatakan dengan
a > 0, a ≠ 1, n adalah bilangan real tak nol dan x adalah sebarang bilangan real.
f(x) = n × ax
di mana a adalah bilangan pokok, Contoh fungsi eksponen
- f(x) = 3x
- f(x) = 4x
- f(x) = 3x + 1
- f(x) = 52x − 1
GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
Grafik fungsi f(x) = 3x
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|
y | 3
Penjelasan31 = 3
|
9
Penjelasan32 = 9
|
27
Penjelasan33 = 27
|
81
Penjelasan34 = 81
|

Fungsi eksponen dibedakan menjadi dua bentuk, yaitu pertumbuhan eksponensial dan peluruhan eksponensial.
Pertumbuhan Eksponen
Kurva di atas adalah salah satu kurva yang menunjukkan pertumbuhan eksponen,
di mana tingkat pertumbuhan berbanding lurus dengan besarnya nilai kuantitasnya.
Contoh yang lainnya adalah pertumbuhan bakteri di mana pada fase-fase selanjutnya
bakteri tentu akan semakin banyak jumlahnya.
Fungsi pertumbuhan eksponen dituliskan dengan:
Contoh 1
Untuk mengamati pertumbuhan suatu bakteri pada inangnya, seorang peneliti
mengambil potongan inang yang sudah terinfeksi bakteri tersebut dan mengamatinya
selama 5 jam pertama. Pada inang tersebut, terdapat 30 bakteri. Setelah diamati,
bakteri tersebut membelah menjadi dua setiap 30 menit.
- Modelkan fungsi pertumbuhan bakteri pada setiap fase.
- Gambarkan grafik pertumbuhan bakteri tersebut.
- Pada jam ke-5 berapa banyak bakteri baru yang tumbuh?
ALTERNATIF PENYELESAIAN
- Pada awal pengamatan, bakteri yang diamati berjumlah 30 sehingga untuk 30
menit berikutnya dapat digambarkan pertumbuhan bakterinya sebagai berikut
Misalkan x adalah fase pertumbuhan bakteri setiap 30 menit, maka
Fase (30 menit) 0 1 2 3 4 5 Banyak bakteri 30 60 120 240 480 960 Untuk x = 0, banyak bakteri = 30Untuk x = 1, banyak bakteri = 60Untuk x = 2, banyak bakteri = 120 = 22⋅30;Untuk x = 3, banyak bakteri = 240 = 23⋅30;Untuk x = 4, banyak bakteri = 480 = 24⋅30;Pertumbuhan bakteri dapat dimodelkan dengan fungsi eksponenf(x) = 30⋅(2x) - Grafik fungsi eksponen pertumbuhan bakteri f(x) = 30⋅(2x) dapat
digambarkan sebagai berikut.
- Jam ke-5 terjadi pada fase ke-10 (ingat kembali pembelahan terjadi setiap 30 menit), sehingga: \begin{aligned} f(10)&=30\cdot\left(2^{10}\right)\\ &=30\cdot\left(1024\right)\\ &=\boxed{\boxed{30{.}720}} \end{aligned} Jadi banyak bakteri yang tumbuh pada jam ke-5 atau fase ke-10 adalah 30.720 bakteri.
Contoh 2
Seorang peneliti mengamati pertumbuhan bakteri selama beberapa jam. Setelah
diamati, bakteri tersebut membelah menjadi n bakteri setiap jam. Setelah diamati,
jumlah bakteri pada 2 jam pertama adalah 8.000 bakteri. Dua jam kemudian jumlah
bakteri sudah mencapai 32.000 bakteri. Berapakah jumlah bakteri setelah 10 jam?
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misalkan x0 adalah banyaknya bakteri pada waktu t = 0.
Jika a adalah banyaknya bakteri setelah pembelahan setiap jam, maka
Untuk t = 0, banyak bakteri = x0;
Untuk t = 1, banyak bakteri = a1⋅x0;
Untuk t = 2, banyak bakteri = a2⋅x0;
Untuk t = 3, banyak bakteri = a3⋅x0;
Untuk t = 4, banyak bakteri = a4⋅x0;
dan seterusnya.
Kalian harus mencari nilai a terlebih dahulu untuk mengetahui banyak bakteri
yang dihasilkan ketika sebuah bakteri membelah dalam 1 jam. Jika banyak bakteri
pada 2 jam pertama adalah x2 dan banyak bakteri pada 2 jam berikutnya (4 jam
kemudian) adalah x4, maka:
\begin{aligned}
\frac{x_4}{x_2}&=\frac{32000}{8000}\\[3.6pt]
\frac{a^4\cdot x_0}{a^2\cdot x_0}&=4\\[3.6pt]
a^2&=4\\
a&=\sqrt4\\
&=2
\end{aligned}
Jadi, setiap 1 jam bakteri akan membelah menjadi dua bakteri.
Selanjutnya kalian akan mencari banyak bakteri di awal yaitu x0 Kalian bisa menggunakan persamaan x2 = a2⋅x0 Substitusikan nilai a = 2 pada x2 = a2⋅x0
\begin{aligned}
x_2&=a^2\cdot x_0\\
8000&=2^2\cdot x_0\\
8000&=4x_0\\
\frac{8000}4&=x_0\\
x_0&=2000
\end{aligned}
Jadi, banyaknya bakteri mula-mula adalah 2.000 bakteri.
Untuk mencari banyak bakteri pada 10 jam kemudian, maka digunakan persamaan
x10 = a10⋅x0. substitusikan nilai a = 2 dan x0 = 2.000 pada x10 = a10⋅x0.
\begin{aligned}
x_{10}&=a^{10}\cdot x_0\\
&=2^{10}\cdot 2000\\
&=1024\cdot 2000\\
&=\boxed{\boxed{2048000}}
\end{aligned}
Jadi, banyaknya bakteri setelah 10 jam adalah 2.048.000 bakteri.
Peluruhan Eksponen
Fungsi eksponen tidak hanya menggambarkan pertumbuhan yang signifikan dari
waktu ke waktu. Fungsi eksponen juga menggambarkan penurunan secara konsisten
pada periode waktu tertentu. Ini disebut peluruhan eksponen. Fungsi peluruhan eksponen dapat dituliskan sebagai
f(x) = n×ax, dengan 0 < a < 1, n bilangan real tak nol, x adalah
sebarang bilangan real.
Contoh 3
Obat penahan rasa sakit disuntikkan kepada pasien yang mengalami luka berat akibat kecelakaan. Dosis obat yang disuntikkan adalah 50 mikrogram. Satu jam setelah
penyuntikan, setengah dosis tersebut akan luruh dan dikeluarkan dari dalam tubuh. Proses tersebut akan terus berulang setiap jam.
- Berapa banyak dosis obat yang masih tertinggal di dalam tubuh pasien setelah 1 jam, 2 jam, dan 3 jam?
- Bagaimana model matematika yang dapat menyatakan peluruhan dosis obat tersebut?
ALTERNATIF PENYELESAIAN
- Dosis awal = 50 mikrogram
Misalkan dosis pada x waktu dilambangkan dengan f(x), makaf(0) = 50
f(1)=\dfrac12\times50=25 f(2)=\dfrac12\times25=12{,}5 f(3)=\dfrac12\times12{,}5=6{,}25 - Berdasarkan bagian a, fungsi eksponen yang dapat menyatakan peluruhan dosis obat tersebut dari dalam tubuh pasien pada jam tertentu adalah
{f(x)=50\left(\dfrac12\right)^x} dengan x adalah waktu yang dibutuhkan obat tersebut untuk meluruh sebanyak setengah dosis dari dosis sebelumnya.
Jadi,
- dosis pada 1 jam pertama tersisa 25 mikrogram, pada 2 jam pertama tersisa 12,5 mikrogram, dan setelah 3 jam tersisa 6,25 mikrogram.
- model matematika yang dapat menyatakan peluruhan dosis obat tersebut adalah
f(x)=50\left(\dfrac12\right)^x .
Post a Comment