Logaritma

Table of Contents

DEFINISI LOGARITMA

Misalkan a adalah bilangan positif dengan 0 < a < 1 atau a > 0, b > 0,

^alog b = c jika dan hanya jika b = a^c

Di mana,
a adalah bilangan pokok atau basis logaritma
b adalah numerus
c adalah hasil logaritma

Jadi, antara eksponen dan logaritma saling terkait. Logaritma adalah inversi atau kebalikan dari eksponen. Perhatikan tabel di bawah ini.

Tabel 1 Contoh Bentuk Eksponen dan Bentuk Logaritma

Bentuk Eksponen	Bentuk Logaritma
25 = 32	2log 32 = 5
32 = 9	3log 9 = 2
5^{-2}=\dfrac1{25}	{^5\negthinspace\log\dfrac1{25}}=-2
70 = 1	7log 1 = 0

Definisi Logaritma Umum

Logaritma yang memiliki basis 10 disebut dengan logaritma umum dan dituliskan sebagai berikut:

¹⁰log a = log a

SIFAT-SIFAT LOGARITMA

Misalkan a > 0 dan a ≠ 1, b > 0, c > 0, m > 0, m ≠ 1 di mana a, b, c, m, n adalah bilangan Real, maka berlaku:

1. ^alog a = 1
2. ^alog 1 = 0
3. ^alog aⁿ = n
4. ^alog (b × c) = ^alog b + ^alog c
   BUKTI

   Misalkan ^alog b = m dan ^alog c = n.
   Kalian dapat menuliskan bentuk eksponennya sebagai berikut:
   b = a^m dan c = aⁿ
   Ingat kembali sifat eksponen a^m⋅aⁿ = a^{m + n} \begin{aligned} a^m\cdot a^n&=a^{m+n}\\ b\cdot c&=a^{m+n}\\ {^a\negthinspace\log(bc)}&=m+n\\ &={^a\negthinspace\log b}+{^a\negthinspace\log c} \end{aligned}
5. {^a\negthinspace\log\left(\dfrac{b}c\right)}={^a\negthinspace\log b}-{^a\negthinspace\log c}
   BUKTI

   Misalkan ^alog b = m dan ^alog c = n.
   Kalian dapat menuliskan bentuk eksponennya sebagai berikut:
   b = a^m dan c = aⁿ
   Ingat kembali sifat eksponen \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \begin{aligned} \dfrac{a^m}{a^n}&=a^{m-n}\\ \dfrac{b}c&=a^{m-n}\\ {^a\negthinspace\log\left(\dfrac{b}c\right)}&=m-n\\ &={^a\negthinspace\log b}-{^a\negthinspace\log c} \end{aligned}
6. ^alog bⁿ = n ^alog b
   BUKTI

   \begin{aligned} {^a\negthinspace\log b^n}&={^a\negthinspace\log \underbrace{(b\cdot b\cdot\cdots \cdot b)}_{n\text{ buah }b}}\\ &=\underbrace{{^a\negthinspace\log b}+{^a\negthinspace\log b}+\cdots+{^a\negthinspace\log b}}_{n\text{ buah }{^a\negthinspace\log b}}\\ &=n{^a\negthinspace\log b} \end{aligned}
7. {^a\negthinspace\log b}=\dfrac{^m\negthinspace\log b}{^m\negthinspace\log a}=\dfrac1{^b\negthinspace\log a}
   BUKTI

   Misal a = m^p dan b = m^q, didapat p = ^mlog a dan q = ^mlog b \begin{aligned} {^a\negthinspace\log b}&={^{m^p}\negthinspace\log m^q}\\ &={^{m^p}\negthinspace\log \left(m^p\right)^{\frac{q}p}}\\ &=\frac{q}p\\ &=\frac{^m\negthinspace\log b}{^m\negthinspace\log a} \end{aligned}

   ---

   Misal ^alog b = n, maka b = aⁿ \begin{aligned} b&=a^n\\ b^{\frac1n}&=a\\ \frac1n&={^b\negthinspace\log a}\\ n&=\dfrac1{^b\negthinspace\log a}\\ {^a\negthinspace\log b}&=\dfrac1{^b\negthinspace\log a} \end{aligned}
8. ^alog b × ^blog c = ^alog c
   BUKTI

   \begin{aligned} {^a\negthinspace\log b}\times{^b\negthinspace\log c}&=\dfrac{^m\negthinspace\log b}{^m\negthinspace\log a}\times\dfrac{^m\negthinspace\log c}{^m\negthinspace\log b}\\[3.6pt] &=\dfrac{^m\negthinspace\log c}{^m\negthinspace\log a}\\[3.6pt] &={^a\negthinspace\log c} \end{aligned}

Contoh 1

Sederhanakanlah bentuk logaritma berikut ini: ²log 16 + ²log 8

ALTERNATIF PENYELESAIAN

CARA 1

\begin{aligned} {^2\negthinspace\log 16}+{^2\negthinspace\log 8}&={^2\negthinspace\log (16\times8)}\\ &={^2\negthinspace\log 128}\\ &={^2\negthinspace\log 2^7}\\ &=7 \end{aligned}

CARA 2

\begin{aligned} {^2\negthinspace\log 16}+{^2\negthinspace\log 8}&={^2\negthinspace\log 2^4}+{^2\negthinspace\log 2^3}\\ &=4+3\\ &=7 \end{aligned}

Jadi, ²log 16 + ²log 8 = 7.

---

Contoh 2

Arif menabung uangnya di bank sebesar Rp3.000.000,00 dan mendapatkan bunga sebesar 5% per tahun. Berapa lama Arif harus menyimpan uang di bank agar tabungannya tersebut menjadi tiga kali lipat dari tabungan awal?

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Dimisalkan
M₀ = modal awal
M_t = modal setelah menabung selama t tahun.
i = bunga per tahun

Tabungan awal (M₀) Arif adalah Rp3.000.000,00
Tabungan setelah t tahun (M_t) = Rp9.000.000,00

Dengan mengeksplorasi tabungan awal dan bunga yang diperoleh Arif, kalian bisa menentukan rumus tabungan Arif setelah t tahun. Untuk menentukan total tabungan Arif setelah tahun t, diperoleh rumus penambahan uangnya sebagai M_t = 3.000.000(1 + 0,05)^t
Jika Arif menginginkan tabungan akhirnya menjadi 3 kali lipat, maka berlaku:
9.000.000 = 3.000.000(1 + 0,05)^t
Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kalian bisa menentukan waktu yang dibutuhkan agar tabungan Arif menjadi 3 kali lipat. \begin{aligned} 9000000&=3000000(1+0{,}05)^t\\ \frac{9000000}{3000000}&=(1+0{,}05)^t\\ 3&=(1+0{,}05)^t\\ \log 3&=\log(1+0{,}05)^t\\ \log 3&=t\log(1+0{,}05)\\ t&=\frac{\log 3}{\log(1+0{,}05)}\\ &=\frac{0{,}4771}{0{,}0212}\\ &=22{,}5 \end{aligned}

Jadi, Arif membutuhkan waktu 22,5 tahun agar tabungannya menjadi 3 kali lipat.

---