HOTS Zone : Geometri (Bidang Datar)
Table of Contents
Tipe:
No.
Berapa nilai x?
ALTERNATIF PENYELESAIAN
CARA 1
a2 = 42 + 112 = 137
b2 + c2 = 152 = 225
Dengan konsep kesebangunan, maka:
\dfrac{a}{15}=\dfrac{11}b=\dfrac4c
didapatab = 165 dan ac = 60
\begin{aligned}
x&=\sqrt{\left(b-a\right)^2+\left(c+a\right)^2}\\
&=\sqrt{b^2-2ab+a^2+c^2+2ac+a^2}\\
&=\sqrt{2a^2+b^2+c^2-2ab+2ac}\\
&=\sqrt{2(137)+225-2(165)+2(60)}\\
&=\sqrt{289}\\
&=\boxed{\boxed{17}}
\end{aligned}
b2 + c2 = 152 = 225
Dengan konsep kesebangunan, maka:
didapat
CARA 2
Dengan menggunakan tripel pythagoras (8,15,17), didapat x = 17.
Jadi, x = 17.
No.
Diberikan segiempat ABCD denganALTERNATIF PENYELESAIAN
.
\(\begin{aligned}
(x-13)^2+(x-7)^2-2(x-13)(x-7)\cos60^\circ&=11^2\\
x^2-26x+169+x^2-14x+49-2\left(x^2-20x+91\right)\dfrac12&=121\\
x^2-20x+127&=121\\
x^2-20x+6&=0\\
x&=\dfrac{20+\sqrt{20^2-4\cdot1\cdot6}}2\\[3.8pt]
&=\dfrac{20+\sqrt{376}}2\\[3.8pt]
&=\dfrac{20+2\sqrt{94}}2\\[3.8pt]
&=10+\sqrt{94}
\end{aligned}\)
m = 10
n = 94
m + n = 10 + 94 = 104
m = 10
n = 94
Jadi, m + n = 104.
No.
Diketahui suatu lapangan berbentuk persegi dengan panjang sisi 28 m, di sudut lapangan terletak taman berbentuk lingkaran berdiameter 14 m seperti gambar berikut. Taman dan lapangan tersebut akan dialasi menggunakan karpet. Perbandingan jumlah karpet yang diperlukan di taman dan lapangan adalah ....- 11:392
- 11:56
- 11:28
- 11:14
- 11:4
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
\dfrac{L_{lingkaran}}{L_{persegi}-L_{lingkaran}}&=\dfrac{\dfrac{22}7\cdot7^2}{28^2-\dfrac{22}7\cdot7^2}\\[3.8pt]
&=\dfrac{154}{630}\\
&=\boxed{\boxed{\dfrac{11}{45}}}
\end{aligned}\)
Jadi, perbandingan jumlah karpet yang diperlukan di taman dan lapangan adalah
JAWAB: -
JAWAB: -
No.
Dalam sebuah segidelapan beraturan ABCDEFGH dengan panjang sisi 4, luas dari segienam ABCDEF dapat dinyatakan sebagai \(a\sqrt{b}+c\) di mana a, b, c adalah bilangan asli dan b tidak habis dibagi oleh bilangan kuadrat selain 1. Tentukan nilai dariALTERNATIF PENYELESAIAN
Dengan menggunakan konsep Pythagoras didapat:
\(BP=CP=QE=2\sqrt2\)
\(BE=2\sqrt2+4+2\sqrt2=4+4\sqrt2\)
Luas trapesium BCDE adalah: \begin{aligned} L_1&=\dfrac12(BE+CD)\cdot CP\\[3.8pt] &=\dfrac12(4+4\sqrt2+4)\cdot 2\sqrt2\\[3.8pt] &=8\sqrt2+8 \end{aligned} Luas persegi panjang ABEF adalah: \begin{aligned} L_2&=AB\cdot BE\\ &=4\cdot(4+4\sqrt2)\\ &=16+16\sqrt2 \end{aligned} Luas ABCDEF adalah \[L=8\sqrt2+8+16+16\sqrt2=24\sqrt2+24\] 24 + 2 + 24 = 50
\(BE=2\sqrt2+4+2\sqrt2=4+4\sqrt2\)
Luas trapesium BCDE adalah: \begin{aligned} L_1&=\dfrac12(BE+CD)\cdot CP\\[3.8pt] &=\dfrac12(4+4\sqrt2+4)\cdot 2\sqrt2\\[3.8pt] &=8\sqrt2+8 \end{aligned} Luas persegi panjang ABEF adalah: \begin{aligned} L_2&=AB\cdot BE\\ &=4\cdot(4+4\sqrt2)\\ &=16+16\sqrt2 \end{aligned} Luas ABCDEF adalah \[L=8\sqrt2+8+16+16\sqrt2=24\sqrt2+24\] 24 + 2 + 24 = 50
Jadi, nilai dari a + b + c adalah 50.
No.
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned} \beta+\gamma&=180°-72°\\ 2x-180°+\gamma&=108°\\ \gamma&=288°-2x \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} x+2\gamma&=180°\\ x+2(288°-2x)&=180°\\ x+576°-4x&=180°\\ -3x&=-396°\\ x&=132° \end{aligned}\)
Jadi, x = 132°.
No.
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned} \left(\dfrac{a+b}2\right)^2&=b(a+b)\\[4pt] \dfrac{a^2+2ab+b^2}4&=ab+b^2\\[4pt] a^2+2ab+b^2&=4ab+4b^2\\ a^2-2ab+b^2&=4b^2\\ (a-b)^2&=4b^2\\ a-b&=2b\\ a&=3b\\ \dfrac{a}b&=\boxed{\boxed{3}} \end{aligned}\)
Jadi, \(\dfrac{a}b=3\).
No.
Pada gambar berikut, D adalah kaki tinggi dari A, dan E titik tengah CA. Jika luas segitiga ABC adalah \(\dfrac12\) satuan, maka panjang AK dapat dinyatakan sebagai ....- \(\dfrac1{BC+AB\cos B}\)
- BC + AB cos B
- \(\dfrac1{AB+BC\cos B}\)
- AB + BC cos B
ALTERNATIF PENYELESAIAN
AE = EC
BD = AB cos B
\(\begin{aligned} \dfrac12\cdot BC\cdot AD&=\dfrac12\\ BC\cdot AD&=1 \end{aligned}\)
Dengan menggunakan Teorema Menelaus,
\(\begin{aligned} \dfrac{BC}{BD}\cdot\dfrac{DK}{AK}\cdot\dfrac{AE}{EC}&=1&{\color{red}\times BD}\\[4pt] BC\cdot\left(\dfrac{AD-AK}{AK}\right)\cdot1&=BD\\[4pt] BC\cdot\left(\dfrac{AD}{AK}-1\right)&=AB\cos B\\[4pt] \dfrac{BC\cdot AD}{AK}-BC&=AB\cos B\\[4pt] \dfrac1{AK}&=BC+AB\cos B\\ AK&=\boxed{\boxed{\dfrac1{BC+AB\cos B}}} \end{aligned}\)
BD = AB cos B
\(\begin{aligned} \dfrac12\cdot BC\cdot AD&=\dfrac12\\ BC\cdot AD&=1 \end{aligned}\)
Dengan menggunakan Teorema Menelaus,
\(\begin{aligned} \dfrac{BC}{BD}\cdot\dfrac{DK}{AK}\cdot\dfrac{AE}{EC}&=1&{\color{red}\times BD}\\[4pt] BC\cdot\left(\dfrac{AD-AK}{AK}\right)\cdot1&=BD\\[4pt] BC\cdot\left(\dfrac{AD}{AK}-1\right)&=AB\cos B\\[4pt] \dfrac{BC\cdot AD}{AK}-BC&=AB\cos B\\[4pt] \dfrac1{AK}&=BC+AB\cos B\\ AK&=\boxed{\boxed{\dfrac1{BC+AB\cos B}}} \end{aligned}\)
Jadi, \(AK=\dfrac1{BC+AB\cos B}\).
JAWAB: A
JAWAB: A
No.
Suatu persegi panjang berukuran 8 kali $2\sqrt2$ mempunyai titik pusat yang sama dengan suatu lingkaran berjari-jari 2. Berapakah luas daerah irisan antara persegi panjang dan lingkaran tersebut ?ALTERNATIF PENYELESAIAN
Dari sisi-sisinya, segitiga AOD adalah siku-siku sama kaki. Segitiga AOD ekuivalen dengan segitiga BOC.
∴ ABCD persegi
∴ juring AOD dan juring BOD adalah seperempat lingkaran, dan area biru jika digabung akan menjadi persegi dengan panjang sisi 2.
\(\begin{aligned} L&=\dfrac12\pi r^2+2^2\\ &=\dfrac12\pi (2)^2+4\\ &=\boxed{\boxed{2\pi+4}} \end{aligned}\)
∴ ABCD persegi
∴ juring AOD dan juring BOD adalah seperempat lingkaran, dan area biru jika digabung akan menjadi persegi dengan panjang sisi 2.
\(\begin{aligned} L&=\dfrac12\pi r^2+2^2\\ &=\dfrac12\pi (2)^2+4\\ &=\boxed{\boxed{2\pi+4}} \end{aligned}\)
Jadi, luas daerah irisan antara persegi panjang dan lingkaran tersebut adalah 2π + 4.
No.
setengah lingkaran dalam persegi panjang. Berapakah luas biru : luar merah?ALTERNATIF PENYELESAIAN
CD = 2r. Jika EF = x, maka DF = 2x.
OF = 2x − r.
Dari segitiga OEF,
\(\begin{aligned} (2x-r)^2+x^2&=r^2\\ 4x^2-4xr+r^2+x^2&=r^2\\ 5x^2-4xr&=0\\ 5x-4r&=0\\ \dfrac{r}x&=\dfrac54 \end{aligned}\)
OF = 2x − r.
Dari segitiga OEF,
\(\begin{aligned} (2x-r)^2+x^2&=r^2\\ 4x^2-4xr+r^2+x^2&=r^2\\ 5x^2-4xr&=0\\ 5x-4r&=0\\ \dfrac{r}x&=\dfrac54 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}
\dfrac{[biru]+[merah]}{[merah]}&=\left(\dfrac{BC}{EF}\right)^2\\[4pt]
\dfrac{[biru]}{[merah]}+1&=\left(\dfrac54\right)^2\\[4pt]
&=\dfrac{25}{16}\\[4pt]
\dfrac{[biru]}{[merah]}&=\boxed{\boxed{\dfrac9{16}}}
\end{aligned}\)
Jadi, luas biru : luar merah = 9 : 16.
No.
Terdapat 4 persegi kongruen dengan sisi s di dalam lingkaran seperti gambar berikut. Berapakah luas lingkaran dalam bentuk s?ALTERNATIF PENYELESAIAN
Dengan menggunakan teorema Kuasa Titik (Power of a Point),
\(\begin{aligned} x\cdot4s&=s\cdot2s\\ x&=\dfrac12s \end{aligned}\)
garis hijau adalah diameter atau 2r.
\(\begin{aligned} (2r)^2&=\left(4s+\dfrac12s\right)^2+s^2\\[4pt] 4r^2&=\dfrac{85}4s^2\\[4pt] r^2&=\dfrac{85}{16}s^2\\[4pt] \pi r^2&=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}\dfrac{85}{16}\pi s^2}} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} x\cdot4s&=s\cdot2s\\ x&=\dfrac12s \end{aligned}\)
garis hijau adalah diameter atau 2r.
\(\begin{aligned} (2r)^2&=\left(4s+\dfrac12s\right)^2+s^2\\[4pt] 4r^2&=\dfrac{85}4s^2\\[4pt] r^2&=\dfrac{85}{16}s^2\\[4pt] \pi r^2&=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}\dfrac{85}{16}\pi s^2}} \end{aligned}\)
Jadi, luas lingkaran adalah $\dfrac{85}{16}\pi s^2$.
Post a Comment