HOTS Zone : Persamaan Kuadrat
Table of Contents
Tipe:
No.
Misalkan a, b, dan c adalah tiga bilangan berbeda. Jika ketiga bilangan tersebut merupakan bilangan asli satu digit maka jumlah terbesar akar-akar persamaanALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)&=0\\
(x-b)(x-a+x-c)&=0\\
(x-b)\left(2x-(a+c)\right)&=0
\end{aligned}\)
x = b dan \({x=\dfrac{a+c}2}\)
Jumlah akar-akarnya adalah \({b+\dfrac{a+c}2}\).
Kita ambil 3 bilangan asli satu digit terbesar yaitu 7, 8, dan 9. Nilai a dan c dibagi dengan 2, sehingga b harus bilangan yang terbesar yaitu 9.
\({b+\dfrac{a+c}2=9+\dfrac{7+8}2=16{,}5}\).
x = b dan \({x=\dfrac{a+c}2}\)
Jumlah akar-akarnya adalah \({b+\dfrac{a+c}2}\).
Kita ambil 3 bilangan asli satu digit terbesar yaitu 7, 8, dan 9. Nilai a dan c dibagi dengan 2, sehingga b harus bilangan yang terbesar yaitu 9.
\({b+\dfrac{a+c}2=9+\dfrac{7+8}2=16{,}5}\).
Jadi, jumlah terbesar akar-akar persamaan (x − a)(x − b) + (x − b)(x − c) = 0 yang mungkin adalah 16,5.
No.
Jika semua akar persamaan- 5
- 8
- 9
- 10
- 20
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal akar-akarnya adalah x1 dan x2.
x1 + x2 = 5
Pasangan bilangan bulat positif yang jumlahnya 5 adalah {1,4} dan {2,3}
Jika akar-akarnya 1 dan 4 maka:
t = 1⋅4 = 4
Jika akar-akarnya 2 dan 3 maka:
t = 2⋅3 = 6
4 + 6 = 10
x1 + x2 = 5
Pasangan bilangan bulat positif yang jumlahnya 5 adalah {1,4} dan {2,3}
Jika akar-akarnya 1 dan 4 maka:
Jika akar-akarnya 2 dan 3 maka:
4 + 6 = 10
Jadi, jumlah semua nilai t yang mungkin adalah 10.
JAWAB: D
JAWAB: D
No.
Jika- 27 dan 29
- 28 dan 32
- 27 dan 32
- 28 dan 33
- 29 dan 34
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
(ax+2)(bx+7)&=12x^2+Cx+14\\
abx^2+(7a+2b)x+14&=12x^2+Cx+14
\end{aligned}\)
ab = 12
didapat,
(a, b) = (3, 4) atau (4, 3)
\(\begin{aligned} C&=7a+2b\\ &=7(3)+2(4)\\ &=21+8\\ &=29 \end{aligned}\)
atau
\(\begin{aligned} C&=7a+2b\\ &=7(4)+2(3)\\ &=28+6\\ &=34 \end{aligned}\)
didapat,
\(\begin{aligned} C&=7a+2b\\ &=7(3)+2(4)\\ &=21+8\\ &=29 \end{aligned}\)
atau
\(\begin{aligned} C&=7a+2b\\ &=7(4)+2(3)\\ &=28+6\\ &=34 \end{aligned}\)
Jadi, nilai C = 29 dan 34.
JAWAB: E
JAWAB: E
No.
Akar-akar persamaan kuadrat- \(-\dfrac27\)
- \(-\dfrac17\)
- \(\dfrac17\)
- \(\dfrac27\)
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
2x^2-7x+2&=0\\
2x^2+2&=7x\\
x^2+1&=\dfrac{7x}2
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \dfrac{r}{\left(r^2+1\right)^2}+\dfrac{s}{\left(s^2+1\right)^2}&=\dfrac{r}{\left(\dfrac{7r}2\right)^2}+\dfrac{s}{\left(\dfrac{7s}2\right)^2}\\[10pt] &=\dfrac{r}{\dfrac{49r^2}4}+\dfrac{s}{\dfrac{49s^2}4}\\[10pt] &=\dfrac4{49r}+\dfrac4{49s}\\[10pt] &=\dfrac4{49}\left(\dfrac{r+s}{rs}\right)\\[10pt] &=\dfrac4{49}\left(\dfrac{\dfrac72}{\dfrac22}\right)\\[10pt] &=\dfrac4{49}\left(\dfrac72\right)\\ &=\boxed{\boxed{\dfrac27}} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \dfrac{r}{\left(r^2+1\right)^2}+\dfrac{s}{\left(s^2+1\right)^2}&=\dfrac{r}{\left(\dfrac{7r}2\right)^2}+\dfrac{s}{\left(\dfrac{7s}2\right)^2}\\[10pt] &=\dfrac{r}{\dfrac{49r^2}4}+\dfrac{s}{\dfrac{49s^2}4}\\[10pt] &=\dfrac4{49r}+\dfrac4{49s}\\[10pt] &=\dfrac4{49}\left(\dfrac{r+s}{rs}\right)\\[10pt] &=\dfrac4{49}\left(\dfrac{\dfrac72}{\dfrac22}\right)\\[10pt] &=\dfrac4{49}\left(\dfrac72\right)\\ &=\boxed{\boxed{\dfrac27}} \end{aligned}\)
Jadi, \({\dfrac{r}{\left(r^2+1\right)^2}+\dfrac{s}{\left(s^2+1\right)^2}=\dfrac27}\).
JAWAB: D
JAWAB: D
No.
Jika akar-akar persamaan kuadratx2 + 12x + 7 = 0 x2 − 12x − 7 = 0 x2 − 12x + 7 = 0
x2 + 7x + 12 = 0 x2 − 7x + 12 = 0
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
x^2-5x-3&= 0\\
x^2-5x&=3
\end{aligned}\)
α2 − 5α = 3
\(\begin{aligned} \beta^2-5\beta&=3\\ \beta^2-5\beta+1&=4 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \beta^2-5\beta&=3\\ \beta^2-5\beta+1&=4 \end{aligned}\)
Persamaan kuadrat barunya,
\(\begin{aligned} x^2-(3+4)x+3\cdot4&=0\\ x^2-7x+12&=0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} x^2-(3+4)x+3\cdot4&=0\\ x^2-7x+12&=0 \end{aligned}\)
Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya α2 − 5α dan β2 − 5β + 1 adalah x2 − 7x + 12 = 0 .
JAWAB: E
JAWAB: E
No.
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan kuadratALTERNATIF PENYELESAIAN
CARA BIASA
\(\begin{aligned} x_1+x_2&=\dfrac{-B}A\\ &=\dfrac{-3b}1\\ &=-3b \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} x_1x_2&=\dfrac{C}A\\ &=\dfrac{2c}1\\ &=2c \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}&=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}\\ &=\dfrac{-3b}{2c} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \dfrac1{x_1}\cdot\dfrac1{x_2}&=\dfrac1{x_1x_2}\\ &=\dfrac1{2c} \end{aligned}\)
Persamaan kuadratnya,
\(\begin{aligned} x^2-\left(\dfrac{-3b}{2c}\right)x+\dfrac1{2c}&=0\\ x^2+\dfrac{3b}{2c}x+\dfrac1{2c}&=0\qquad&{\color{red}\times2c}\\ 2cx^2+3bx+1&=0 \end{aligned}\)
CARA CEPAT
\(\begin{aligned} 1+3bx+2cx^2&=0\\ 2cx^2+3bx+1&=0 \end{aligned}\)Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3bx + 2c = 0 adalah 2cx2 + 3bx + 1 = 0 .
No.
Diketahui- 4066272
- 4068289
- 5750577,011
- 5756281,95
- 8132544
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
2016\sqrt{(x+2016)(x-2016)}+2017\sqrt{(y+2017)(y-2017)}&=\dfrac12\left(x^2+y^2\right)\\
2\cdot2016\sqrt{x^2-2106^2}+2\cdot2017\sqrt{y^2-2017^2}&=x^2-2016^2+2016^2+y^2-2017^2+2017^2
\end{aligned}\)
Misal \({\sqrt{x^2-2016^2}=p}\) dan \({\sqrt{y^2-2017^2}=q}\)
\(\begin{aligned} 2\cdot2016p+2\cdot2017q&=p^2+2016^2+q^2+2017^2\\ p^2-2\cdot2016p+2016^2+q^2-2\cdot2017q+2017^2&=0\\ (p-2016)^2+(q-2017)^2&=0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p-2016&=0\\ p&=2016\\ \sqrt{x^2-2016^2}&=2016\\ x^2-2016^2&=2016^2\\ x^2&=2\cdot2016^2\\ x&=2016\sqrt2 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} q-2017&=0\\ q&=2017\\ \sqrt{y^2-2017^2}&=2017\\ y&=2017\sqrt2 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} xy&=2016\sqrt2\cdot2017\sqrt2\\ &=\boxed{\boxed{8132544}} \end{aligned}\)
Misal \({\sqrt{x^2-2016^2}=p}\) dan \({\sqrt{y^2-2017^2}=q}\)
\(\begin{aligned} 2\cdot2016p+2\cdot2017q&=p^2+2016^2+q^2+2017^2\\ p^2-2\cdot2016p+2016^2+q^2-2\cdot2017q+2017^2&=0\\ (p-2016)^2+(q-2017)^2&=0 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p-2016&=0\\ p&=2016\\ \sqrt{x^2-2016^2}&=2016\\ x^2-2016^2&=2016^2\\ x^2&=2\cdot2016^2\\ x&=2016\sqrt2 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} q-2017&=0\\ q&=2017\\ \sqrt{y^2-2017^2}&=2017\\ y&=2017\sqrt2 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} xy&=2016\sqrt2\cdot2017\sqrt2\\ &=\boxed{\boxed{8132544}} \end{aligned}\)
Jadi, nilai xy = 8132544.
JAWAB: E
JAWAB: E
No.
Diberikan persamaan kuadratx2 − (a − 3)x + 2a = −5
Nilai terkecil dari jumlah kuadrat akar-akar persamaan tersebut adalah ....
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(x_1+x_2=-\dfrac{-(a-3)}1=a-3\)
\(x_1x_2=\dfrac{2a+5}1=2a+5\)
Misalp = x12 + x22 ,
\(\begin{aligned} p&={x_1}^2+{x_2}^2\\ &=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\\ &=\left(a-3\right)^2-2(2a+5)\\ &=a^2-6a+9-4a-10\\ &=a^2-10a-1 \end{aligned}\)
pmin ⟶ p' = 0
\(\begin{aligned} 2a-10&=0\\ 2a&=10\\ a&=5 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p_{\min}&=5^2-10(5)-1\\ &=25-50-1\\ &=\boxed{\boxed{-26}} \end{aligned}\)
\(x_1x_2=\dfrac{2a+5}1=2a+5\)
Misal
\(\begin{aligned} p&={x_1}^2+{x_2}^2\\ &=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\\ &=\left(a-3\right)^2-2(2a+5)\\ &=a^2-6a+9-4a-10\\ &=a^2-10a-1 \end{aligned}\)
pmin ⟶ p' = 0
\(\begin{aligned} 2a-10&=0\\ 2a&=10\\ a&=5 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p_{\min}&=5^2-10(5)-1\\ &=25-50-1\\ &=\boxed{\boxed{-26}} \end{aligned}\)
Jadi,
JAWAB:
JAWAB:
No.
Diketahui bilangan real a dan b merupakan solusi berbeda dari persamaan- $\dfrac82$
- $\dfrac92$
- $\dfrac72$
- $\dfrac52$
- $\dfrac62$
ALTERNATIF PENYELESAIAN
a + b = ab = −1
\(\begin{aligned} x^2+x-1&=0\\ x^2+x&=1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} a^3+b^3+a^2+b^2-a^5-b^5-a^4-b^4&=a^2+b^2+a^3+b^3-a^5-a^4-b^5-b^4&\color{red}a^3+b^3\text{ tukar posisi dengan }a^2+b^2;\ -b^5\text{ tukar posisi dengan }-a^4\\ &=(a+b)^2-2ab+a^3+b^3-a^3\left(a^2+a\right)-b^3\left(b^2+b\right)&\color{red}a^2+b^2=(a+b)^2-2ab;\ -a^5-a^4=-a^3\left(a^2+a\right);\ -b^5-b^4=-b^3\left(b^2+b\right)\\ &=(-1)^2-2(-1)+a^3+b^3-a^3(1)-b^3(1)\\ &=1+2+a^3+b^3-a^3-b^3\\ &=\boxed{\boxed{3}} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} x^2+x-1&=0\\ x^2+x&=1 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} a^3+b^3+a^2+b^2-a^5-b^5-a^4-b^4&=a^2+b^2+a^3+b^3-a^5-a^4-b^5-b^4&\color{red}a^3+b^3\text{ tukar posisi dengan }a^2+b^2;\ -b^5\text{ tukar posisi dengan }-a^4\\ &=(a+b)^2-2ab+a^3+b^3-a^3\left(a^2+a\right)-b^3\left(b^2+b\right)&\color{red}a^2+b^2=(a+b)^2-2ab;\ -a^5-a^4=-a^3\left(a^2+a\right);\ -b^5-b^4=-b^3\left(b^2+b\right)\\ &=(-1)^2-2(-1)+a^3+b^3-a^3(1)-b^3(1)\\ &=1+2+a^3+b^3-a^3-b^3\\ &=\boxed{\boxed{3}} \end{aligned}\)
Jadi, a3 + b3 + a2 + b2 − a5 − b5 − a4 − b4 = 3.
No.
Diketahui p dan q merupakan akar-akar persamaanALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned} \dfrac1p-\dfrac{q}{1+q}&=\dfrac1p-\dfrac{-1+1+q}{1+q}\\[4pt] &=\dfrac1p-\left(-\dfrac1{1+q}+1\right)\\[4pt] &=\dfrac1p+\dfrac1{1+q}-1\\[4pt] &=\dfrac{1+q+p}{p(1+q)}-1\\[4pt] &=\dfrac{1+(-1)}{p(1+q)}-1\\[4pt] &=\boxed{\boxed{-1}} \end{aligned}\)
Jadi, \(\dfrac1p-\dfrac{q}{1+q}=-1\).
Post a Comment