HOTS Zone : Barisan dan Deret [2]

Table of Contents

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Barisan dan Deret. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

STANDARSNBTHOTS

12

No. 11

Barisan 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, ⋯ memiliki blok angka 1 yang berisi n buah angka pada blok ke-n. Tentukan jumlah 1234 bilangan pertama.

AHSME 1996

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Kita buat kelompok seperti berikut:
(1), (2, 1), (2, 2, 1), (2, 2, 2, 1), ⋯

Kelompok ke-	1	2	3	4	n
Barisan	(1)	(2, 1)	(2, 2, 1)	(2, 2, 2, 1)	$(\underset{(n-1)\text{ buah}}{\underbrace{2,2,2,\cdots ,2,2,2}},1)$
Banyak bilangan	1	2	3	4	n
Jumlah Bilangan	1	2 + 1 = 3	2⋅2 + 1 = 5	2⋅3 + 1 = 7	2(n − 1) + 1 = 2n − 1

Banyak bilangan sampai kelompok ke-n:
$f(n)=1+2+3+\cdots +n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$

Jumlah bilangan sampai kelompok ke-n:
$g(n)=1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$

Kita cari n sedemikian sehingga f(n) sama dengan atau mendekati 1234.
f(49) = 1225
f(50) = 1275
Jadi, jumlah 1234 suku pertama sama dengan jumlah bilangan sampai kelompok ke-49 ditambah jumlah 9 angka pertama di kelompok 50.
S₁₂₃₄ = 49² + 9⋅2 = 2419

Jadi, jumlah 1234 bilangan pertama adalah 2419.

---

No. 12

Definisikan barisan {a_n}_{n ≥ 1} sebagai a₁ = a₂ = 1 dan a_n = 2a_{n − 1} + 3a_{n − 2} untuk setiap bilangan bulat n ≥ 3. Nilai dari $$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_i}{4^i}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{5}{64}+\frac{13}{256}+\cdots$$ adalah ....

SUMBER

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal $S={\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{a_i}{4^i}}}$ $$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{5}{64}+\frac{13}{256}+\frac{41}{1024}+\cdots \\ \frac{2}{4}S& =\frac{2}{16}+\frac{2}{64}+\frac{10}{256}+\frac{26}{1024}+\cdots \end{array}$$
$$\frac{3}{16}S=\frac{3}{64}+\frac{3}{256}+\frac{15}{1024}+\cdots$$
$$\begin{array}{rl}\frac{2}{4}S& =\frac{2}{16}+\frac{2}{64}+\frac{10}{256}+\frac{26}{1024}+\cdots \\ \frac{3}{16}S& =\frac{3}{64}+\frac{3}{256}+\frac{15}{1024}+\cdots & +\\ \frac{11}{16}S& =\frac{2}{16}+\frac{5}{64}+\frac{13}{256}+\frac{41}{1024}+\cdots \end{array}$$

$$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{5}{64}+\frac{13}{256}+\frac{41}{1024}+\cdots \\ \frac{11}{16}S& =\frac{2}{16}+\frac{5}{64}+\frac{13}{256}+\frac{41}{1024}+\cdots & -\\ \frac{5}{16}S& =\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\\ \frac{5}{16}S& =\frac{3}{16}\\ 5S& =3\\ S& ={\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}$$

Jadi, $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_i}{4^i}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{5}{64}+\frac{13}{256}+\cdots ={\displaystyle \frac{3}{5}}$.

---

No. 13

Misalkan $$a=\frac{1^1}{1}+\frac{2^2}{3}+\frac{3^2}{5}+\cdots +\frac{{1001}^2}{2001}$$ dan $$b=\frac{1^1}{3}+\frac{2^2}{5}+\frac{3^2}{7}+\cdots +\frac{{1001}^2}{2003}$$ Tentukan bilangan bulat yang nilainya paling dekat ke a − b.

OSK SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$a-b={\displaystyle \frac{1^2}{1}}+({\displaystyle \frac{2^2}{3}}-{\displaystyle \frac{1^2}{3}})+({\displaystyle \frac{3^2}{3}}-{\displaystyle \frac{2^2}{5}})+({\displaystyle \frac{4^2}{3}}-{\displaystyle \frac{3^2}{7}})+\cdots +({\displaystyle \frac{{1001}^2}{3}}-{\displaystyle \frac{{1000}^2}{2001}})-{\displaystyle \frac{{1001}^2}{2003}}$

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{n^2-(n-1{)}^2}{2n-1}}& ={\displaystyle \frac{(n+n-1)(n-n+1)}{2n-1}}\\ & ={\displaystyle \frac{(2n-1)(1)}{2n-1}}\\ & =1\end{array}$

$\begin{array}{rl}a-b& =1+1+1+1+\cdots +1-{\displaystyle \frac{{1001}^2}{2003}}\\ & =1001-{\displaystyle \frac{{1001}^2}{2003}}\\ & ={\displaystyle \frac{1001(2003-1001)}{2003}}\\ & ={\displaystyle \frac{1001(1002)}{2003}}\\ & \approx {\displaystyle \frac{1002(1002)}{2004}}\\ & \approx \boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 501}}}}\end{array}$

Jadi, bilangan bulat yang nilainya paling dekat ke a − b adalah 501.

---

No. 14

Misalkan a₀, a₁, ... merupakan barisan bilangan asli dengan a₀ = 1, a₁ = 11, dan a_{n + 2} + a_{n + 1} + 6a_n untuk setiap n ≥ 0. Tentukan banyaknya bilangan cacah n yang kurang dari 2020 sehingga a_n habis dibagi 13.

Latihan OSK 2024 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

a₁ = 11 ≡ −2 mod 13. Perhatikan hasil nilai a_n mod 13.
a₂ = a₁ + 6a₀ ≡ (−2 + 6) mod 13 ≡ 4 mod 13
a₃ = a₂ + 6a₁ ≡ (4 − 12) mod 13 ≡ −8 mod 13 ≡ 5 mod 13
a₄ = a₃ + 6a₂ ≡ (5 + 24) mod 13 ≡ 3 mod 13
a₅ = a₄ + 6a₃ ≡ (3 + 30) mod 13 ≡ −6 mod 13
a₆ = a₅ + 6a₄ ≡ (−6 + 18) mod 13 ≡ −1 mod 13
a₇ = a₆ + 6a₅ ≡ (−1 − 36) mod 13 ≡ 2 mod 13

Kita lihat bahwa a_n ≡ −a_{n − 6} mod 13 ≡ a_{n − 12} mod 13

dari a₀ hingga a₅, tidak ada yang ekuivalen dengan 0 mod 13, sehingga tidak ada satu suku pun pada barisan tersbut yang habis dibagi 13.

Jadi, banyaknya bilangan cacah n yang kurang dari 2020 sehingga a_n habis dibagi 13 adalah 0 atau tidak ada.

---

No. 15

Suatu barisan bilangan riil, b₁, b₂, b₃, ... didefinisikan oleh b₁ = 1 dan (b_{n + 1})⁴³ = 2021(b_n)⁴³ untuk semua bilangan asli n ≥ 1. Maka b₂₀₂₂ = ....

1. 2021⁴⁷
2. 2021
3. 2021²⁰²¹

4. 2022
5. Tidak ada pilihan yang benar

Grup WhatsApp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

(b₂)⁴³ = 2021(b₁)⁴³ = 2021(1)⁴³ = 2021

Related: loading

(b₃)⁴³ = 2021(b₂)⁴³ = 2021 ⋅ 2021 = 2021²

(b₄)⁴³ = 2021(b₃)⁴³ = 2021 ⋅ 2021² = 2021³

Kita lihat bahwa
(b_n)⁴³ = 2021^{n − 1}
Sehingga,
$\begin{array}{rl}{\left(b_{2022}\right)}^{43}& ={2021}^{2021}\\ & ={2021}^{47\cdot 43}\\ b_{2022}& =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black{2021}^{47}}}}}\end{array}$

Jadi, b₂₀₂₂ = 2021⁴⁷.
JAWAB: A

---

No. 16

Bilangan bulat ganjil positif disusun seperti susunan di bawah ini

1

3      5

   7      9      11

13     15      17     19

21      23      25      27      29

31      33      35      37      ....      ....

Pada susunan bilangan di atas, angka 15 terletak pada baris ke-4, kolom ke-2. Angka yang terletak pada baris ke-30 , kolom ke-15 adalah ...

Evaluasi GMOM September 2024

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Kita ambil nilai tengah dari masing-masing baris.
1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
Perhatikan bahwa barisan baru tersebut merupakan barisan bilangan kuadrat. Banyaknya bilangan pada baris ke-n adalah n. Nilai tengah pada baris ke-30 adalah
30² = 900
Kolom ke-15 merupakan bilangan di kiri dan terdekat dengan 900, sehingga bilangan pada baris ke-30 kolom ke-15 adalah 900 − 1 = 899.

Jadi, angka yang terletak pada baris ke-30 , kolom ke-15 adalah 899.

---

No. 17

Suatu barisan bilangan a_n didefinisikan sebagai berikut. $$a_n=\{\begin{array}{l}4,\text{ jika }n\text{ habis dibagi 2 atau 17}\\ 2,\text{ untuk }n\text{ lainnya}\end{array}$$ Nilai dari $\displaystyle\sum_{n=1}^{2024}a_n$ adalah ....

Evaluasi GMOM September 2024

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Kita cari terlebih dahulu banyak bilangan dari 1 hingga 2024 yang habis dibagi 2 atau 17.

• Habis dibagi 2

  $\left\lfloor\dfrac{2024}2\right\rfloor=1012$

• Habis dibagi 17

  $\left\lfloor\dfrac{2024}{17}\right\rfloor=119$

• Habis dibagi 2 dan 17

  alias habis dibagi 34.
  $\left\lfloor\dfrac{2024}{34}\right\rfloor=59$

1012 + 119 − 59 = 1072

Banyak bilangan yang tidak habis dibagi 2 atau 17,
2024 − 1072 = 952

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^{2024}{a}_n}& =4\cdot 1072+2\cdot 952\\ & =4288+1904\\ & =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black6192}}}}\end{array}$

Jadi, $\displaystyle\sum_{n=1}^{2024}a_n=6192$.

---

No. 18

Misalnya pasangan bilangan bulat (x, y) memenuhi

x³ + (x + 1)³ + ⋯ + (x + 7)³ = y³

dan m merupakan jumlahan semua nilai x dan y yang mungkin. Nilai dari m adalah ....

Penyisihan LMNAS Ke-28 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{x}^3+(x+1{)}^3+\cdots +(x+7{)}^3& =y^3\\ 1^3+2^3+\cdots +(x+7{)}^3-{(1^3+2^3+\cdots +(x-1{)}^3)}^3& =y^3\\ (1+2+\cdots +x+7{)}^2-(1+2+\cdots +x-1{)}^2& =y^3\\ {\left({\displaystyle \frac{(x+7)(x+8)}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{x(x-1)}{2}}\right)}^2& =y^3\\ {\left({\displaystyle \frac{x^2+15x+56}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{x^2-x}{2}}\right)}^2& =y^3\\ ({\displaystyle \frac{x^2+15x+56}{2}}+{\displaystyle \frac{x^2-x}{2}})({\displaystyle \frac{x^2+15x+56}{2}}-{\displaystyle \frac{x^2-x}{2}})& =y^3\\ \left({\displaystyle \frac{2x^2+14x+56}{2}}\right)\left({\displaystyle \frac{16x+56}{2}}\right)& =y^3\\ (x^2+7x+28)(8x+28)& =y^3\\ 4(x^2+7x+28)(2x+7)& =y^3\end{array}$
Misal 2x + 7 = t, dan y = nt
$\begin{array}{rl}(t^2+63)t& =n^3{t}^3\\ t^2+63& =n^3{t}^2\\ (n^3-1)t^2& =63\end{array}$

• t² = 1
  t ∈ {−1,1}
  
  n³ = 64 ⟹ n = 4
  
  (x, y) ∈ {(−4, −4), (−3, 4)}
• t² = 9
  t ∈ {−3, 3}
  
  n³ = 8 ⟹ n = 2
  
  (x, y) ∈ {(−5, −6), (−2, 6)}

−4 − 4 − 3 + 4 − 5 − 6 − 2 + 6 = −14

Jadi, m = −14.

---

12