HOTS Zone : Barisan dan Deret [2]

Kita buat kelompok seperti berikut:
(1), (2, 1), (2, 2, 1), (2, 2, 2, 1), ⋯

Kelompok ke-	1	2	3	4	n
Barisan	(1)	(2, 1)	(2, 2, 1)	(2, 2, 2, 1)	\((\underbrace{2,2,2,\cdots ,2,2,2}_{(n-1)\text{ buah}},1)\)
Banyak bilangan	1	2	3	4	n
Jumlah Bilangan	1	2 + 1 = 3	2⋅2 + 1 = 5	2⋅3 + 1 = 7	2(n − 1) + 1 = 2n − 1

Banyak bilangan sampai kelompok ke-n:
\(f(n)=1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2\)

Jumlah bilangan sampai kelompok ke-n:
\(g(n)=1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\)

Kita cari n sedemikian sehingga f(n) sama dengan atau mendekati 1234.
f(49) = 1225
f(50) = 1275
Jadi, jumlah 1234 suku pertama sama dengan jumlah bilangan sampai kelompok ke-49 ditambah jumlah 9 angka pertama di kelompok 50.
S₁₂₃₄ = 49² + 9⋅2 = 2419

\(a-b=\dfrac{1^2}1+\left(\dfrac{2^2}3-\dfrac{1^2}3\right)+\left(\dfrac{3^2}3-\dfrac{2^2}5\right)+\left(\dfrac{4^2}3-\dfrac{3^2}7\right)+\cdots+\left(\dfrac{1001^2}3-\dfrac{1000^2}{2001}\right)-\dfrac{1001^2}{2003}\)

\(\begin{aligned} \dfrac{n^2-(n-1)^2}{2n-1}&=\dfrac{(n+n-1)(n-n+1)}{2n-1}\\[4pt] &=\dfrac{(2n-1)(1)}{2n-1}\\[4pt] &=1 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} a-b&=1+1+1+1+\cdots+1-\dfrac{1001^2}{2003}\\[4pt] &=1001-\dfrac{1001^2}{2003}\\[4pt] &=\dfrac{1001(2003-1001)}{2003}\\[4pt] &=\dfrac{1001(1002)}{2003}\\[4pt] &\approx\dfrac{1002(1002)}{2004}\\ &\approx \boxed{\boxed{501}} \end{aligned}\)

a₁ = 11 ≡ −2 mod 13. Perhatikan hasil nilai a_n mod 13.
a₂ = a₁ + 6a₀ ≡ (−2 + 6) mod 13 ≡ 4 mod 13
a₃ = a₂ + 6a₁ ≡ (4 − 12) mod 13 ≡ −8 mod 13 ≡ 5 mod 13
a₄ = a₃ + 6a₂ ≡ (5 + 24) mod 13 ≡ 3 mod 13
a₅ = a₄ + 6a₃ ≡ (3 + 30) mod 13 ≡ −6 mod 13
a₆ = a₅ + 6a₄ ≡ (−6 + 18) mod 13 ≡ −1 mod 13
a₇ = a₆ + 6a₅ ≡ (−1 − 36) mod 13 ≡ 2 mod 13

Kita lihat bahwa a_n ≡ −a_{n − 6} mod 13 ≡ a_{n − 12} mod 13

dari a₀ hingga a₅, tidak ada yang ekuivalen dengan 0 mod 13, sehingga tidak ada satu suku pun pada barisan tersbut yang habis dibagi 13.

(b₂)⁴³ = 2021(b₁)⁴³ = 2021(1)⁴³ = 2021

(b₃)⁴³ = 2021(b₂)⁴³ = 2021 ⋅ 2021 = 2021²

(b₄)⁴³ = 2021(b₃)⁴³ = 2021 ⋅ 2021² = 2021³

Kita lihat bahwa
(b_n)⁴³ = 2021^{n − 1}
Sehingga,
\(\begin{aligned} \left(b_{2022}\right)^{43}&=2021^{2021}\\ &=2021^{47\cdot43}\\ b_{2022}&=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}2021^{47}}} \end{aligned}\)

Kita ambil nilai tengah dari masing-masing baris.
1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
Perhatikan bahwa barisan baru tersebut merupakan barisan bilangan kuadrat. Banyaknya bilangan pada baris ke-n adalah n. Nilai tengah pada baris ke-30 adalah
30² = 900
Kolom ke-15 merupakan bilangan di kiri dan terdekat dengan 900, sehingga bilangan pada baris ke-30 kolom ke-15 adalah 900 − 1 = 899.

\(\begin{aligned} x^3+(x+1)^3+\cdots+(x+7)^3&=y^3\\ 1^3+2^3+\cdots+(x+7)^3-\left(1^3+2^3+\cdots+(x-1)^3\right)^3&=y^3\\ (1+2+\cdots+x+7)^2-(1+2+\cdots+x-1)^2&=y^3\\ \left(\dfrac{(x+7)(x+8)}2\right)^2-\left(\dfrac{x(x-1)}2\right)^2&=y^3\\[4pt] \left(\dfrac{x^2+15x+56}2\right)^2-\left(\dfrac{x^2-x}2\right)^2&=y^3\\[4pt] \left(\dfrac{x^2+15x+56}2+\dfrac{x^2-x}2\right)\left(\dfrac{x^2+15x+56}2-\dfrac{x^2-x}2\right)&=y^3\\[4pt] \left(\dfrac{2x^2+14x+56}2\right)\left(\dfrac{16x+56}2\right)&=y^3\\[4pt] \left(x^2+7x+28\right)\left(8x+28\right)&=y^3\\[4pt] 4\left(x^2+7x+28\right)\left(2x+7\right)&=y^3 \end{aligned}\)
Misal 2x + 7 = t, dan y = nt
\(\begin{aligned} \left(t^2+63\right)t&=n^3t^3\\ t^2+63&=n^3t^2\\ \left(n^3-1\right)t^2&=63 \end{aligned}\)

• t² = 1
  t ∈ {−1,1}
  
  n³ = 64 ⟹ n = 4
  
  (x, y) ∈ {(−4, −4), (−3, 4)}
• t² = 9
  t ∈ {−3, 3}
  
  n³ = 8 ⟹ n = 2
  
  (x, y) ∈ {(−5, −6), (−2, 6)}

−4 − 4 − 3 + 4 − 5 − 6 − 2 + 6 = −14