HOTS Zone : Bilangan Prima

Table of Contents
Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Bilangan Prima. Jika ingin bertanya soal, silahkan ke halaman TANYA SOAL atau gabung ke grup Matematika Idhamdaz.

Tipe

No.

Sebutkan semua bilangan prima yang dapat dinyatakan dalam bentuk n5 − 1 dimana n adalah bilangan bulat.
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Jika n ≤ 1 maka n5 − 1 ≤ 0, jadi n ≥ 2.
n5 − 1 = (n − 1)(n4 + n3 + n2 + n + 1)
  • Jika n − 1 = 1 maka n = 2.
    24 + 23 + 22 + 2 + 1 = 31
  • Jika n4 + n3 + n2 + n + 1 = 1 maka
    \(\begin{aligned} n^4+n^3+n^2+n&=0\\ n(n+1)\left(n^2+1\right)&=0 \end{aligned}\)
    n = 0, atau n = −1. Keduanya tidak memenuhi.
Jadi, bilangan prima yang dapat dinyatakan dalam bentuk n5 − 1 dimana n adalah bilangan bulat adalah 31.

No.

Bilangan 126 dapat ditulis sebagai jumlah dua bilang dua bilangan prima. Selisih terbesar yang mungkin antara kedua bilangan tersebut adalah....
  1. 112
  2. 100
  1. 92
  2. 88
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Untuk mendapatkan selisih terbesar adalah bilangan prima terbesar dikurang bilangan prima terkecil. Kita list bilangan prima dari yang terkecil hingga mendapat pasangan bilangan prima yang jumlahnya 126.
Bilangan Pertama Bilangan Kedua Bilangan Kedua Prima?
2 124 Tidak
3 123 Tidak
5 121 Tidak
7 119 Tidak
11 115 Tidak
13 113 Ya
113 − 13 = 100
Jadi, selisih terbesar yang mungkin antara kedua bilagan tersebut adalah 100.
JAWAB: B

No.

Diketahui n2 + n + 2021 merupakan bilangan kuadrat sempurna dengan n adalah bilangan prima. n = ....
  1. 11
  2. 13
  1. 17
  2. 19
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned} n^2+n+2021&=k^2\\ 4n^2+4n+8084&=4k^2\\ (2n+1)^2+8083&=4k^2\\ 4k^2-(2n+1)^2&=8083\\ (2k+2n+1)(2k-2n-1)&=8083=137\cdot59 \end{aligned} \)
  • (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 8083⋅1
    \(\begin{aligned} 2k+2n+1&=8083\\ k+n&=4041 \end{aligned} \)

    \(\begin{aligned} 2k-2n-1&=1\\ k-n&=1 \end{aligned} \)

    \(\begin{aligned} k+n&=4041\\ k-n&=1&\quad\color{red}{-}\\\hline 2n&=4040\\ n&=2020 \end{aligned}\)
    $n$ bukan prima
  • (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 137⋅59
    \(\begin{aligned} 2k+2n+1&=137\\ k+n&=68 \end{aligned}\)

    \(\begin{aligned} 2k-2n-1&=59\\ k-n&=30 \end{aligned} \)

    \(\begin{aligned} k+n&=68\\ k-n&=30&\quad\color{red}{-}\\\hline 2n&=38\\ n&=19 \end{aligned}\)
Jadi, n = 19.
JAWAB: D

No.

Di antara keempat bilangan berikut, manakah yang merupakan bilangan prima?
  1. 2023
  2. 2025
  1. 2029
  2. 2031
ALTERNATIF PENYELESAIAN
  • Opsi (B) bukan bilangan prima karena memiliki satuan 5
  • Dari opsi (A), (C), dan (D) yang jumlah digit-digitnya habis dibagi 3 adalah opsi (D) sehingga opsi (D) bukan bilangan prima
  • Untuk opsi (A) dan (C) kita tentukan secara manual. Pertama bagi kedua bilangan dengan 7. Opsi (A) habis dibagi 7 sehingga opsi (A) bukan bilangan prima.
Jadi, yang merupakan bilangan prima adalah 2029.
JAWAB: C

No.

Bilangan bulat positif p ≥ 2 disebut bilangan prima jika ia hanya mempunyai faktor 1 dan p. Tentukan nilai penjumlahan semua bilangan prima diantara 1 dan 100 yang sekaligus bersifat :
satu lebihnya dari suatu bilangan kelipatan 5 dan satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6.
ALTERNATIF PENYELESAIAN

CARA 1

\(\begin{aligned} 5a+1&=6b-1\\ 5a&=6b-2\\ a&=\dfrac{6b-2}5\\[4pt] &=b+\dfrac{b-2}5 \end{aligned} \)

b = 5c + 2

\(\begin{aligned} p&=6(5c+2)-1\\ &=30c+11 \end{aligned}\)
p ∈ {11, 41, 71}
11 + 41 + 71 = 123

CARA 2

satuan dari kelipatan 5 adalah 0 atau 5, jadi satu lebihnya dari suatu bilangan kelipatan 5 mempunyai satuan 1 atau 6. Karena bilangan dengan satuan 6 bukan prima, pasti bilangan prima tersebut bersatuan 1.
satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6 berarti bilangan prima tersebut ditambah 1 akan bersatuan 2 dan bilangan bersatuan 2 yang kelipatan 6 adalah {12, 42, 72}, sehingga bilangan primanya adalah 11, 41, dan 71.
11 + 41 + 71 = 123
Jadi, nilai penjumlahan semua bilangan prima tersebut adalah 123.

No.

Diketahui p dan q bilangan prima. Misalkan (p1, q1), (p2, q2), ..., (pk, qk) adalah semua solusi dari persamaan p2 + 3q2 = 4p + 4q + 1 dengan 3 ∤ (p + q). Nilai dari $$\displaystyle\sum_{i=1}^k\left(p_i+q_i\right)$$ adalah ....
  1. 5
  2. 7
  1. 9
  2. 11
  1. 13
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned} p^2+3q^2&=4p+4q+1\\ p^2-4p+q^2-4q&=1-2q^2\\ p^2-4p+4+q^2-4q+4&=1-2q^2+4+4\\ (p-2)^2+(q-2)^2&=9-2q^2&\color{red}(1) \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} 9-2q^2&\geq0\\ q^2&\leq\dfrac92 \end{aligned}\)
q = 1 (TM) atau q = 2. Substitusikan ke persamaan (1)

\(\begin{aligned} (p-2)^2+(2-2)^2&=9-2(2)^2\\ (p-2)^2+0&=1\\ p&=3 \end{aligned}\)

p + q = 3 + 2 = 5
Jadi, $\displaystyle\sum_{i=1}^k\left(p_i+q_i\right)=5$.
JAWAB: A

No.

Bilangan asli n dikatakan menarik jika terdapat suku banyak (polinom) dengan koefisien bulat P(x) sehingga P(7) = 2021 dan P(n) = 2045. Banyaknya bilangan prima menarik adalah . . .
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Lemma. Jika P(x) adalah polinom dengan koefisien bulat, maka ab | P(a) − P(b) untuk setiap bilangan bulat a, b.
BUKTI
Misalkan P(x) = anxn + an − 1xn − 1 + ⋯ + a0. Maka
P(a) − P(b) = an(anbn) + an − 1(an − 1bn − 1) + ⋯ + a1(ab).
Karena ab | anbn untuk setiap n, maka jelas ab | P(a) − P(b)

Dengan menggunakan lemma tersebut, maka n − 7 | P(n) − P(7) = 2045 − 2021 = 24.
Sehingga, semua bilangan menarik yang memenuhi adalah 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 19, 31.
Maka, bilangan prima menarik adalah 3, 5, 11, 13, 19, 31.
Jadi, banyaknya bilangan prima menarik adalah 6.

No.

Diberikan bilangan asli x dan bilangan prima p sehingga p2 = x3 + 1. Banyak pasangan (x, p) yang memenuhi adalah ....
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned} p^2&=x^3+1\\ p^2&=(x+1)\left(x^2-x+1\right) \end{aligned}\)

Nilai (x + 1) ada 2 kemungkinan yaitu p atau p2.

x + 1 = p dan x2x + 1 = p

x = p − 1

\(\begin{aligned} x^2-x+1&=p\\ (p-1)^2-(p-1)+1&=p\\ p^2-2p+1-p+1+1&=p\\ p^2-4p+3&=0\\ (p-1)(p-3)&=0\\ p&=3 \end{aligned}\)

x + 1 = p2 dan x2x + 1 = 1

x = p2 − 1

\(\begin{aligned} x^2-x+1&=1\\ (p^2-1)^2-(p^2-1)+1&=1\\ (p^2-1)^2-(p^2-1)&=0\\ (p^2-1)(p^2-1-1)&=0\\ (p^2-1)(p^2-2)&=0 \end{aligned}\)
Tidak ada nilai p yang memenuhi.
Jadi, ada 1 pasangan (x, p) yang memenuhi.

No.

Bilangan prima p yang memenuhi sehingga p + 8 dan p + 16 juga adalah bilangan prima ada sebanyak ...
ALTERNATIF PENYELESAIAN
  • Untuk p = 2

    2 + 8 = 10 (bukan bilangan prima)
  • Untuk p = 3

    3 + 8 = 11 (prima)
    3 + 16 = 19 (prima)
  • Untuk p ≥ 5

    Untuk bilangan prima yang lebih besar atau sama dengan 5, bisa ditulis dalam bentuk 6k − 1 atau 6k + 1, dengan k bilangan asli.

    Untuk p = 6k − 1

    6k − 1 + 8 = 6k + 7 (mungkin prima)
    6k − 1 + 16 = 6k + 15 = 3(2k + 5) (bukan prima)

    Untuk p = 6k + 1

    6k + 1 + 8 = 6k + 9 = 3(2k + 3) (bukan prima)
Hanya p = 3 yang memenuhi.
Jadi, bilangan prima p yang memenuhi sehingga p + 8 dan p + 16 juga adalah bilangan prima ada sebanyak 1.

No.

Diketahui x adalah bilangan bulat positif sehingga 20x2 − 91x merupakan bilangan pangkat 3 dari suatu bilangan prima. Jumlah semua nilai x yang memenuhi adalah ....
  1. 7
  2. 10
  3. 14
  1. 18
  2. 20
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal \(\begin{aligned} 20x^2-91x&=p^3\\ x\left(20x-91\right)&=p^3 \end{aligned}\)

x | p3, maka kemungkinan nilai x adalah 1, p, p2, atau p3.

Untuk x = 1

20 - 91 = -71 < 0 (bukan pangkat 3)

Untuk x = p

\(\begin{aligned} 20p-91&=p^2\\ p^2-20p+91&=0\\ (p-13)(p-7)&=0 \end{aligned}\)
x = 7 atau 13

Untuk x = p2

\(\begin{aligned} 20p^2-91&=p\\ 20p^2-p-91&=0 \end{aligned}\)
p tidak bulat, tidak ada nilai x yang memenuhi.

Untuk x = p3

\(\begin{aligned} 20p^3-91&=1\\ 20p^3&=92\\ p^3&=\dfrac{92}{20} \end{aligned}\)
p tidak bulat, tidak ada nilai x yang memenuhi.

Jumlah semua nilai x yang memenuhi adalah 7 + 13 = 20.
Jadi, jumlah semua nilai x yang memenuhi adalah 20.
JAWAB: E

Post a Comment