HOTS Zone : Bilangan Prima
Table of Contents
Tipe
No.
Sebutkan semua bilangan prima yang dapat dinyatakan dalam bentukALTERNATIF PENYELESAIAN
Jika n ≤ 1 maka n5 − 1 ≤ 0 , jadi n ≥ 2 .
n5 − 1 = (n − 1)(n4 + n3 + n2 + n + 1)
- Jika
n − 1 = 1 makan = 2 .
24 + 23 + 22 + 2 + 1 = 31
- Jika
n4 + n3 + n2 + n + 1 = 1 maka
\(\begin{aligned} n^4+n^3+n^2+n&=0\\ n(n+1)\left(n^2+1\right)&=0 \end{aligned}\)
n = 0 , ataun = −1 . Keduanya tidak memenuhi.
Jadi, bilangan prima yang dapat dinyatakan dalam bentuk n5 − 1 dimana n adalah bilangan bulat adalah 31.
No.
Bilangan 126 dapat ditulis sebagai jumlah dua bilang dua bilangan prima. Selisih terbesar yang mungkin antara kedua bilangan tersebut adalah....- 112
- 100
- 92
- 88
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Untuk mendapatkan selisih terbesar adalah bilangan prima terbesar dikurang bilangan prima terkecil. Kita list bilangan prima dari yang terkecil hingga mendapat pasangan bilangan prima yang jumlahnya 126.
113 − 13 = 100
Bilangan Pertama | Bilangan Kedua | Bilangan Kedua Prima? |
---|---|---|
2 | 124 | Tidak |
3 | 123 | Tidak |
5 | 121 | Tidak |
7 | 119 | Tidak |
11 | 115 | Tidak |
13 | 113 | Ya |
Jadi, selisih terbesar yang mungkin antara kedua bilagan tersebut adalah 100.
JAWAB: B
JAWAB: B
No.
Diketahui- 11
- 13
- 17
- 19
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
n^2+n+2021&=k^2\\
4n^2+4n+8084&=4k^2\\
(2n+1)^2+8083&=4k^2\\
4k^2-(2n+1)^2&=8083\\
(2k+2n+1)(2k-2n-1)&=8083=137\cdot59
\end{aligned} \)
(2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 8083⋅1
\(\begin{aligned} 2k+2n+1&=8083\\ k+n&=4041 \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} 2k-2n-1&=1\\ k-n&=1 \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} k+n&=4041\\ k-n&=1&\quad\color{red}{-}\\\hline 2n&=4040\\ n&=2020 \end{aligned}\)
$n$ bukan prima
(2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 137⋅59
\(\begin{aligned} 2k+2n+1&=137\\ k+n&=68 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 2k-2n-1&=59\\ k-n&=30 \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} k+n&=68\\ k-n&=30&\quad\color{red}{-}\\\hline 2n&=38\\ n&=19 \end{aligned}\)
Jadi, n = 19.
JAWAB: D
JAWAB: D
No.
Di antara keempat bilangan berikut, manakah yang merupakan bilangan prima?- 2023
- 2025
- 2029
- 2031
ALTERNATIF PENYELESAIAN
- Opsi (B) bukan bilangan prima karena memiliki satuan 5
- Dari opsi (A), (C), dan (D) yang jumlah digit-digitnya habis dibagi 3 adalah opsi (D) sehingga opsi (D) bukan bilangan prima
- Untuk opsi (A) dan (C) kita tentukan secara manual. Pertama bagi kedua bilangan dengan 7. Opsi (A) habis dibagi 7 sehingga opsi (A) bukan bilangan prima.
Jadi, yang merupakan bilangan prima adalah 2029.
JAWAB: C
JAWAB: C
No.
Bilangan bulat positifsatu lebihnya dari suatu bilangan kelipatan 5 dan satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6.
ALTERNATIF PENYELESAIAN
CARA 1
\(\begin{aligned} 5a+1&=6b-1\\ 5a&=6b-2\\ a&=\dfrac{6b-2}5\\[4pt] &=b+\dfrac{b-2}5 \end{aligned} \)b = 5c + 2
\(\begin{aligned} p&=6(5c+2)-1\\ &=30c+11 \end{aligned}\)
p ∈ {11, 41, 71}
11 + 41 + 71 = 123
CARA 2
satuan dari kelipatan 5 adalah 0 atau 5, jadi satu lebihnya dari suatu bilangan kelipatan 5 mempunyai satuan 1 atau 6. Karena bilangan dengan satuan 6 bukan prima, pasti bilangan prima tersebut bersatuan 1.satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6 berarti bilangan prima tersebut ditambah 1 akan bersatuan 2 dan bilangan bersatuan 2 yang kelipatan 6 adalah {12, 42, 72}, sehingga bilangan primanya adalah 11, 41, dan 71.
11 + 41 + 71 = 123
Jadi, nilai penjumlahan semua bilangan prima tersebut adalah 123.
No.
Diketahui p dan q bilangan prima. Misalkan- 5
- 7
- 9
- 11
- 13
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
p^2+3q^2&=4p+4q+1\\
p^2-4p+q^2-4q&=1-2q^2\\
p^2-4p+4+q^2-4q+4&=1-2q^2+4+4\\
(p-2)^2+(q-2)^2&=9-2q^2&\color{red}(1)
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 9-2q^2&\geq0\\ q^2&\leq\dfrac92 \end{aligned}\)
q = 1 (TM) atau q = 2. Substitusikan ke persamaan (1)
\(\begin{aligned} (p-2)^2+(2-2)^2&=9-2(2)^2\\ (p-2)^2+0&=1\\ p&=3 \end{aligned}\)
p + q = 3 + 2 = 5
\(\begin{aligned} 9-2q^2&\geq0\\ q^2&\leq\dfrac92 \end{aligned}\)
q = 1 (TM) atau q = 2. Substitusikan ke persamaan (1)
\(\begin{aligned} (p-2)^2+(2-2)^2&=9-2(2)^2\\ (p-2)^2+0&=1\\ p&=3 \end{aligned}\)
Jadi, $\displaystyle\sum_{i=1}^k\left(p_i+q_i\right)=5$.
JAWAB: A
JAWAB: A
No.
Bilangan asli n dikatakan menarik jika terdapat suku banyak (polinom) dengan koefisien bulat P(x) sehinggaALTERNATIF PENYELESAIAN
Lemma. Jika P(x) adalah polinom dengan koefisien bulat, maka a − b | P(a) − P(b) untuk setiap bilangan bulat a, b.
Dengan menggunakan lemma tersebut, makan − 7 | P(n) − P(7) = 2045 − 2021 = 24.
Sehingga, semua bilangan menarik yang memenuhi adalah 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 19, 31.
Maka, bilangan prima menarik adalah 3, 5, 11, 13, 19, 31.
BUKTI
Misalkan P(x) = anxn + an − 1xn − 1 + ⋯ + a0. Maka
P(a) − P(b) = an(an − bn) + an − 1(an − 1 − bn − 1) + ⋯ + a1(a − b).
Karenaa − b | an − bn untuk setiap n, maka jelas a − b | P(a) − P(b)
Karena
Dengan menggunakan lemma tersebut, maka
Sehingga, semua bilangan menarik yang memenuhi adalah 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 19, 31.
Maka, bilangan prima menarik adalah 3, 5, 11, 13, 19, 31.
Jadi, banyaknya bilangan prima menarik adalah 6.
No.
Diberikan bilangan asli x dan bilangan prima p sehinggaALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
p^2&=x^3+1\\
p^2&=(x+1)\left(x^2-x+1\right)
\end{aligned}\)
Nilai(x + 1) ada 2 kemungkinan yaitu p atau p2.
x + 1 = p dan
x = p − 1
\(\begin{aligned} x^2-x+1&=p\\ (p-1)^2-(p-1)+1&=p\\ p^2-2p+1-p+1+1&=p\\ p^2-4p+3&=0\\ (p-1)(p-3)&=0\\ p&=3 \end{aligned}\)x + 1 = p2 dan
x = p2 − 1
\(\begin{aligned} x^2-x+1&=1\\ (p^2-1)^2-(p^2-1)+1&=1\\ (p^2-1)^2-(p^2-1)&=0\\ (p^2-1)(p^2-1-1)&=0\\ (p^2-1)(p^2-2)&=0 \end{aligned}\)
Tidak ada nilai p yang memenuhi.
Nilai
x + 1 = p dan x2 − x + 1 = p
x = p − 1 \(\begin{aligned} x^2-x+1&=p\\ (p-1)^2-(p-1)+1&=p\\ p^2-2p+1-p+1+1&=p\\ p^2-4p+3&=0\\ (p-1)(p-3)&=0\\ p&=3 \end{aligned}\)
x + 1 = p2 dan x2 − x + 1 = 1
x = p2 − 1 \(\begin{aligned} x^2-x+1&=1\\ (p^2-1)^2-(p^2-1)+1&=1\\ (p^2-1)^2-(p^2-1)&=0\\ (p^2-1)(p^2-1-1)&=0\\ (p^2-1)(p^2-2)&=0 \end{aligned}\)
Tidak ada nilai p yang memenuhi.
Jadi, ada 1 pasangan (x, p) yang memenuhi.
No.
Bilangan prima p yang memenuhi sehinggaALTERNATIF PENYELESAIAN
Untuk p = 2
2 + 8 = 10 (bukan bilangan prima)Untuk p = 3
3 + 8 = 11 (prima)
3 + 16 = 19 (prima)Untuk p ≥ 5
Untuk bilangan prima yang lebih besar atau sama dengan 5, bisa ditulis dalam bentuk6k − 1 atau6k + 1 , dengan k bilangan asli.Untuk p = 6k − 1
6k − 1 + 8 = 6k + 7 (mungkin prima)
6k − 1 + 16 = 6k + 15 = 3(2k + 5) (bukan prima)Untuk p = 6k + 1
6k + 1 + 8 = 6k + 9 = 3(2k + 3) (bukan prima)
Jadi, bilangan prima p yang memenuhi sehingga p + 8 dan p + 16 juga adalah bilangan prima ada sebanyak 1.
No.
Diketahui x adalah bilangan bulat positif sehingga- 7
- 10
- 14
- 18
- 20
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal
\(\begin{aligned}
20x^2-91x&=p^3\\
x\left(20x-91\right)&=p^3
\end{aligned}\)
x | p3, maka kemungkinan nilai x adalah 1, p, p2, atau p3.
x = 7 atau 13
p tidak bulat, tidak ada nilai x yang memenuhi.
p tidak bulat, tidak ada nilai x yang memenuhi.
Jumlah semua nilai x yang memenuhi adalah 7 + 13 = 20.
x | p3, maka kemungkinan nilai x adalah 1, p, p2, atau p3.
Untuk x = 1
20 - 91 = -71 < 0 (bukan pangkat 3)Untuk x = p
\(\begin{aligned} 20p-91&=p^2\\ p^2-20p+91&=0\\ (p-13)(p-7)&=0 \end{aligned}\)x = 7 atau 13
Untuk x = p2
\(\begin{aligned} 20p^2-91&=p\\ 20p^2-p-91&=0 \end{aligned}\)p tidak bulat, tidak ada nilai x yang memenuhi.
Untuk x = p3
\(\begin{aligned} 20p^3-91&=1\\ 20p^3&=92\\ p^3&=\dfrac{92}{20} \end{aligned}\)p tidak bulat, tidak ada nilai x yang memenuhi.
Jumlah semua nilai x yang memenuhi adalah 7 + 13 = 20.
Jadi, jumlah semua nilai x yang memenuhi adalah 20.
JAWAB: E
JAWAB: E
Post a Comment