HOTS Zone : Lingkaran
Table of Contents
Tipe
No.
Bola A dan bola B digantung pada suatu kawat lurus seperti pada gambar di samping. Diameter bola A dan bola B berturut-turut adalah 8 dan 18. Jika jarak ujung tali l dan n pada kawat adalah 5 dan panjang tali l adalah 10, berapakah panjang minimum tali n agar kedua tali bisa sejajar dan bola tidak saling menekan?
ALTERNATIF PENYELESAIAN
panjang tali
Jadi, panjang minimum tali n adalah 22.
No. 2
Lingkaran-lingkaran berikut mempunyai jari-jari 1 cm. Tentukan luas daerah yang diarsir!ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
L&=\pi r^2-2\cdot\dfrac12r^2(\pi-2)\\
&=\pi(1)^2-(1)^2(\pi-2)\\
&=\pi-\pi+2\\
&=\boxed{\boxed{2}}
\end{aligned}\)
Jadi, luas lingkarannya adalah 2 cm2.
No. 4
Jika- 44°
- 32°
- 30°
- 22°
- 17°
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
\angle ADB&=90\degree-\dfrac12\angle APB\\[8pt]
&=90\degree-\dfrac12(68\degree)\\[8pt]
&=90\degree-34\degree\\[8pt]
&=56\degree
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \angle ADR&=180\degree-\angle ADB\\ &=180\degree-56\degree\\ &=124\degree \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \angle CRD&=\angle ARD\\ &=180\degree-(\angle CAD+\angle ADR)\\ &=180\degree-(34\degree+124\degree)\\ &=180\degree-158\degree\\ &=\boxed{\boxed{22\degree}} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \angle ADR&=180\degree-\angle ADB\\ &=180\degree-56\degree\\ &=124\degree \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \angle CRD&=\angle ARD\\ &=180\degree-(\angle CAD+\angle ADR)\\ &=180\degree-(34\degree+124\degree)\\ &=180\degree-158\degree\\ &=\boxed{\boxed{22\degree}} \end{aligned}\)
Jadi, ∠ CRD = 22° .
JAWAB: D
JAWAB: D
No.
Di dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 4 cm dibuat persegi ABCD, sehingga titik sudut persegi tersebut berada pada lingkaran. Luas persegi ABCD adalah ....- 64 cm2
- 32 cm2
- 16 cm2
- 8 cm2
- 4 cm2
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal AB = a
\(\begin{aligned} a^2&=4^2+4^2\\ &=16+16\\ &=32 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} a^2&=4^2+4^2\\ &=16+16\\ &=32 \end{aligned}\)
Jadi, luas persegi ABCD adalah 32 cm2.
JAWAB: B
JAWAB: B
No.
Suatu persegi panjang berukuran 8 kali $2\sqrt2$ mempunyai titik pusat yang sama dengan suatu lingkaran berjari-jari 2. Berapakah luas daerah irisan antara persegi panjang dan lingkaran tersebut ?ALTERNATIF PENYELESAIAN
Dari sisi-sisinya, segitiga AOD adalah siku-siku sama kaki. Segitiga AOD ekuivalen dengan segitiga BOC.
∴ ABCD persegi
∴ juring AOD dan juring BOD adalah seperempat lingkaran, dan area biru jika digabung akan menjadi persegi dengan panjang sisi 2.
\(\begin{aligned} L&=\dfrac12\pi r^2+2^2\\ &=\dfrac12\pi (2)^2+4\\ &=\boxed{\boxed{2\pi+4}} \end{aligned}\)
∴ ABCD persegi
∴ juring AOD dan juring BOD adalah seperempat lingkaran, dan area biru jika digabung akan menjadi persegi dengan panjang sisi 2.
\(\begin{aligned} L&=\dfrac12\pi r^2+2^2\\ &=\dfrac12\pi (2)^2+4\\ &=\boxed{\boxed{2\pi+4}} \end{aligned}\)
Jadi, luas daerah irisan antara persegi panjang dan lingkaran tersebut adalah 2π + 4.
No.
Diketahui r adalah jari-jari dan O adalah pusat setengah lingkaran. Tanpa menggunakan trigonometri, berapakah panjang garis merah dalam bentuk r?ALTERNATIF PENYELESAIAN
Segitiga ADO kongruen dengan segitiga BCO, sehingga ∠AOB = ∠DOC = 60°.
AO = BO maka segitiga AOB sama sisi.
∴ AB = AO = r
∴ AB = AO = r
Jadi, panjang garis merah adalah r.
No.
Sebuah saluran air seharusnya dibuat dengan menggunakan pipa berdiameter 10 cm. Akan tetapi yang tersedia hanyalah pip-pipa kecil yang berdiameter 3 cm. Supaya kapasitas saluran tidak lebih kecil daripada yang diinginkan, berapakah banyaknya pipa 3 cm yang perlu dipakai sebagai pengganti satu pipa 10 cm ?ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\left\lceil\dfrac{\pi10^2}{\pi3^2}\right\rceil=\left\lceil\dfrac{100}{9}\right\rceil=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}12}}\)
Jadi, 12 pipa 3 cm yang perlu dipakai sebagai pengganti satu pipa 10 cm.
No.
Tentukan nilai x.ALTERNATIF PENYELESAIAN
Sudut keliling yang besarnya sama akan menghadap pada busur yang besarnya sama pula. Dengan menggunakan aturan cosinus,
\(\begin{aligned} {\color{red}x^2}+10^2-2\cdot x\cdot10\cdot\cos30°&={\color{red}x^2}+12^2-2\cdot x\cdot12\cdot\cos30°\\ 100-20x\cdot\dfrac12\sqrt3&=144-24x\cdot\dfrac12\sqrt3\\ 100-10x\sqrt3&=144-12x\sqrt3\\ 12x\sqrt3-10x\sqrt3&=144-100\\ 2x\sqrt3&=44\\ x&=\dfrac{44}{2\sqrt3}\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}\dfrac{22}{\sqrt3}}}\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}\dfrac{22}3\sqrt3}}\\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} {\color{red}x^2}+10^2-2\cdot x\cdot10\cdot\cos30°&={\color{red}x^2}+12^2-2\cdot x\cdot12\cdot\cos30°\\ 100-20x\cdot\dfrac12\sqrt3&=144-24x\cdot\dfrac12\sqrt3\\ 100-10x\sqrt3&=144-12x\sqrt3\\ 12x\sqrt3-10x\sqrt3&=144-100\\ 2x\sqrt3&=44\\ x&=\dfrac{44}{2\sqrt3}\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}\dfrac{22}{\sqrt3}}}\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}\dfrac{22}3\sqrt3}}\\ \end{aligned}\)
Jadi, $x=\dfrac{22}{\sqrt3}=\dfrac{22}3\sqrt3$.
No.
Diberikan setengah lingkaran yang menyinggung segiempat ABCD seperti berikut JikaALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
2\left(\theta+\alpha+\beta\right)&=180°\\
\theta+\alpha+\beta&=90°
\end{aligned}\)
∠EAO = 90° − θ = α + β
MisalAE = DG = x , maka EB = 16 − x , dan GC = 25 − x
dari segitiga BEO,
$\tan\alpha=\dfrac{16-x}r$
dari segitiga CGO,
$\tan\beta=\dfrac{25-x}r$
Misal
dari segitiga BEO,
$\tan\alpha=\dfrac{16-x}r$
dari segitiga CGO,
$\tan\beta=\dfrac{25-x}r$
dari segitiga AEO,
\(\begin{aligned} \tan\left(\alpha+\beta\right)&=\dfrac{r}x\\[4pt] \dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta}&=\dfrac{r}x\\[4pt] \dfrac{\dfrac{16-x}r+\dfrac{25-x}r}{1-\dfrac{16-x}r\cdot\dfrac{25-x}r}&=\dfrac{r}x\\[4pt] \dfrac{\dfrac{41-2x}r}{1-\dfrac{400-41x+x^2}{r^2}}{\color{red}\cdot\dfrac{r^2}{r^2}}&=\dfrac{r}x\\[4pt] \dfrac{41r-2xr}{r^2-\left(400-41x+x^2\right)}&=\dfrac{r}x\\[4pt] \dfrac{41-2x}{r^2-400+41x-x^2}&=\dfrac1x\\[4pt] 41x-2x^2&=r^2-400+41x-x^2\\ 400&=r^2+x^2\\ \sqrt{r^2+x^2}&=20\\ AO&=20\\ AD&=2\cdot20\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}40}} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \tan\left(\alpha+\beta\right)&=\dfrac{r}x\\[4pt] \dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta}&=\dfrac{r}x\\[4pt] \dfrac{\dfrac{16-x}r+\dfrac{25-x}r}{1-\dfrac{16-x}r\cdot\dfrac{25-x}r}&=\dfrac{r}x\\[4pt] \dfrac{\dfrac{41-2x}r}{1-\dfrac{400-41x+x^2}{r^2}}{\color{red}\cdot\dfrac{r^2}{r^2}}&=\dfrac{r}x\\[4pt] \dfrac{41r-2xr}{r^2-\left(400-41x+x^2\right)}&=\dfrac{r}x\\[4pt] \dfrac{41-2x}{r^2-400+41x-x^2}&=\dfrac1x\\[4pt] 41x-2x^2&=r^2-400+41x-x^2\\ 400&=r^2+x^2\\ \sqrt{r^2+x^2}&=20\\ AO&=20\\ AD&=2\cdot20\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}40}} \end{aligned}\)
Jadi,
JAWAB:
JAWAB:
No.
Titik K, M, N, dan R terletak pada keliling lingkaran dengan pusat O. Tali busur KN dan MR saling tegak lurus dan berpotongan di titik P. Panjang KN = 26 dan panjang MR = 20. Jika jarak titik P dengan pusat lingkaran O adalah 9, maka luas lingkaran tersebut adalah ....- 90π
- 108π
- 135π
- 169π
- 175π
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal:
NQ = 13, makaOS = PQ = 13 − a.
MS = 10, makaOQ = PS = 10 − b.
\(\begin{aligned} OP^2&=OQ^2+PQ^2\\ 9^2&=(10-b)^2+(13-a)^2\\ 81&=(10-b)^2+(10-b)^2+69\\ 12&=2(10-b)^2\\ 6&=(10-b)^2\\ (10-b)^2&=6\\ OQ^2&=6 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} r^2&=OK^2\\ &=OQ^2+KQ^2\\ &=6+13^2\\ &=175 \end{aligned}\)
L = πr2 = 175π
- Garis dari O memotong tegak lurus KN di Q.
- Garis dari O memotong tegak lurus KN di S.
- NP = a
- MP = b
NQ = 13, maka
MS = 10, maka
\(\begin{aligned} OP^2&=OQ^2+PQ^2\\ 9^2&=(10-b)^2+(13-a)^2\\ 81&=(10-b)^2+(10-b)^2+69\\ 12&=2(10-b)^2\\ 6&=(10-b)^2\\ (10-b)^2&=6\\ OQ^2&=6 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} r^2&=OK^2\\ &=OQ^2+KQ^2\\ &=6+13^2\\ &=175 \end{aligned}\)
Jadi, luas lingkaran tersebut adalah 175π.
JAWAB: E
JAWAB: E
Post a Comment