HOTS Zone : Suku Banyak (Polinom) [2]

Table of Contents

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Suku Banyak (Polinom). Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

STANDARSNBTHOTS

123

No. 11

Diketahui polinomial berderajat 3 dengan koefisien x³ adalah 1. Jika f (1) = 1, f (2) = 4, f (3) = 9, maka nilai f (4) adalah ....

Grup Matematika Idhamdaz

ALTERNATIF PENYELESAIAN

CARA 1

Misal f (x) = x³ + ax² + bx + c

$\begin{array}{rl}f(1)& =1\\ 1^3+a(1{)}^2+b(1)+c& =1\\ a+b+c& =0& \text{color}red(1)\end{array}$

$\begin{array}{rl}f(2)& =4\\ 2^3+a(2{)}^2+b(2)+c& =4\\ 4a+2b+c& =-4& \text{color}red(2)\end{array}$

$\begin{array}{rl}f(3)& =9\\ 3^3+a(3{)}^2+b(3)+c& =9\\ 9a+3b+c& =-18& \text{color}red(3)\end{array}$

(1) dan (2)
$\begin{array}{rl}a+b+c& =0\\ 4a+2b+c& =-4& \text{color}red-\\ -3a-b& =4& \text{color}red(4)\end{array}$

(2) dan (3)
$\begin{array}{rl}4a+2b+c& =-4\\ 9a+3b+c& =-18& \text{color}red-\\ -5a-b& =14& \text{color}red(5)\end{array}$

(4) dan (5)
$\begin{array}{rl}-3a-b& =4\\ -5a-b& =14& \text{color}red-\\ 2a& =-10\\ a& =-5\end{array}$

Substitusikan nilai a ke persamaan (4)
$\begin{array}{rl}-3a-b& =4\\ -3(-5)-b& =4\\ 15-b& =4\\ -b& =-11\\ b& =11\end{array}$

Substitusikan nilai a dan b ke persamaan (1)
$\begin{array}{rl}a+b+c& =0\\ -5+11+c& =0\\ c& =-6\end{array}$

Substitusikan nilai a, b, c, dan d ke fungsi
f (x) = x³ − 5x² + 11x − 6

$\begin{array}{rl}f(4)& =4^3-5(4{)}^2+11(4)-6\\ & =64-80+44-6\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 22}}}}\end{array}$

CARA 2

Kita lihat bahwa f (k) = k² untuk k ∈ {1, 2, 3}, sehingga bisa ditulis,
f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) + x²

$\begin{array}{rl}f(4)& =(4-1)(4-2)(4-3)+4^2\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 22}}}}\end{array}$

Jadi,
JAWAB:

---

No. 12

Misal a dan b adalah bilangan real dengan b > 0. Jika persamaan x⁴ + ax² + b = 0 mempunyai tepat 2 solusi real, nilai minimum a + 2b adalah .... , dan nilai maksimum dari ⌈a − b⌉ adalah ....

Grup Matematika Idhamdaz

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{x}^4+a{x}^2+b& =0\\ {(x^2+{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2& ={\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2-b\end{array}$

$\begin{array}{rl}{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2-b& =0\\ b& ={\displaystyle \frac{a^2}{4}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}a+2b& =a+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(a+1{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}a-b& =a-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{4}}(a-2{)}^2+1\end{array}$

Jadi, nilai minimum a + 2b adalah $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, dan nilai maksimum dari ⌈a − b⌉ adalah 1.

---

No. 13

Diberikan suku banyak dengan koefisien bilangan bulat P(x). Jika

P(r₁) = P(r₂) = 220

dengan r₁ dan r₂ merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x² + x − 25 = 0. Maka, sisa pembagian P(1) oleh 23 adalah ....

SUMBER

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}P(x)& =Q(x)(x-r_1)(x-r_2)+220\\ & =Q(x)(x^2+x-25)+220\\ P(1)& =Q(1)(1^2+1-25)+220\\ & =Q(1)(-23)+220\\ P(1)(\mathrm{mod}23)& =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 220}}}}\end{array}$$

Jadi, sisa pembagian P(1) oleh 23 adalah 220.

---

No. 14

Jika hasil kali 2 akar persamaan x⁴ − 18x³ + kx² + 200x − 1984 = 0 adalah −32, maka nilai k = ....

Grup Whatsapp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal akar-akarnya adalah x₁, x₂, x₃, x₄

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 18

Related: loading

x₁x₂ = −32

$\begin{array}{rl}{x}_1{x}_2{x}_3{x}_4& =-1984\\ -32x_3{x}_4& =-1984\\ x_3{x}_4& =62\end{array}$

$\begin{array}{rl}{x}_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4& =-200\\ -32x_3-32x_4+62x_1+62x_2& =-200\\ -16x_3-16x_4+31x_1+31x_2& =-100\\ 31(x_1+x_2+x_3+x_4)-47(x_3+x_4)& =-100\\ 31(18)-47(x_3+x_4)& =-100\\ 558-47(x_3+x_4)& =-100\\ x_3+x_4& =14\end{array}$

x₁ + x₂ = 18 − 14 = 4

$\begin{array}{rl}k& =x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4\\ & =x_1{x}_2+(x_1+x_2)(x_3+x_4)+x_3{x}_4\\ & =-32+(4)(14)+62\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 86}}}}\end{array}$

Jadi, k = 86.

---

No. 15

Diberikan polinomial

P(x) = (a + b)x² + bx − a − b

dan

Q(x) = cx² + (c + a)x − a − b − 2c.

Jika P(−2) = −2023, tentukan nilai dari Q(−2)

KTOM September 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}P(-2)& =-2023\\ (a+b)(-2{)}^2+b(-2)-a-b& =-2023\\ 4a+4b-2b-a-b& =-2023\\ 3a+b& =-2023\end{array}$

$\begin{array}{rl}Q(-2)& =c(-2{)}^2+(c+a)(-2)-a-b-2c\\ & =4c-2c-2a-a-b-2c\\ & =-3a-b\\ & =-(3a+b)\\ & =-(-2023)\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 2023}}}}\end{array}$

Jadi, Q(−2) = 2023.

---

No. 16

Misalkan S = (x − 2)⁴ + 8(x − 2)³ + 24(x − 2)² + 32(x − 2) + 16. Apakah S jika dituliskan dalam sesedikit mungkin suku penjumlahan ?

OSP SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}S& =(x-2{)}^4+8(x-2{)}^3+24(x-2{)}^2+32(x-2)+16\\ & =(x-2{)}^4+4\cdot 2(x-2{)}^3+6\cdot 2^2(x-2{)}^2+4\cdot 2^3(x-2)+2^4\\ & =(x-2+2{)}^4\\ & =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black{x}^4}}}}\end{array}$

Jadi, S jika dituliskan dalam sesedikit mungkin suku penjumlahan adalah x⁴.

---

No. 17

Polinomial kuartik (derajat 4) P(x) memenuhi P(1) = 0 dan mencapai nilai maksimum 3 pada x = 2 dan x = 3. Hitung P(5).

1. −24
2. −11

3. −2
4. 4

5. 9

Kompetisi Sains Sigma Siswa SMA 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

P(x) = a(x − 2)²(x − 3)² + 3

$\begin{array}{rl}P(1)& =0\\ a(1-2{)}^2(1-3{)}^2+3& =0\\ a(-1{)}^2(-2{)}^2& =-3\\ a(1)(4)& =-3\\ 4a& =-3\\ a& =-{\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}P(x)& =-{\displaystyle \frac{3}{4}}(x-2{)}^2(x-3{)}^2+3\\ P(5)& =-{\displaystyle \frac{3}{4}}(5-2{)}^2(5-3{)}^2+3\\ & =-{\displaystyle \frac{3}{4}}(3{)}^2(2{)}^2+3\\ & =-{\displaystyle \frac{3}{\text{color}red4}}(9)(\text{color}red4)+3\\ & =-27+3\\ & =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black-24}}}}\end{array}$

Jadi, P(5) = −24.
JAWAB: A

---

No. 18

Apabila hasil dari perkalian semua solusi real yang memenuhi $$\prod _{k=1}^{2022}(x^2-73x+k)=0$$ dapat dinyatakan dalam n! dengan n bilangan asli, maka nilai n adalah ....

Latihan OSK 2024 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Perhatikan bahwa agar x² − 73x + k mempunyai akar bilangan real, maka diskriminannya harus setidaknya 0.
$\begin{array}{rl}{73}^2-4k& \ge 0\\ k& \le 1332,...\end{array}$
Dengan menggunakan vieta, didapat bahwa perkalian semua akar real dari soal adalah 1332!. Maka
n = 1332

Jadi, nilai n adalah 1332.

---

No. 19

Bilangan asli n dikatakan menarik jika terdapat suku banyak (polinom) dengan koefisien bulat P(x) sehingga P(7) = 2021 dan P(n) = 2045. Banyaknya bilangan prima menarik adalah . . .

Latihan OSK 2024 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Lemma. Jika P(x) adalah polinom dengan koefisien bulat, maka a − b | P(a) − P(b) untuk setiap bilangan bulat a, b.

BUKTI

Misalkan P(x) = a_nxⁿ + a_{n − 1}x^{n − 1} + ⋯ + a₀. Maka
P(a) − P(b) = a_n(aⁿ − bⁿ) + a_{n − 1}(a^{n − 1} − b^{n − 1}) + ⋯ + a₁(a − b).
Karena a − b | aⁿ − bⁿ untuk setiap n, maka jelas a − b | P(a) − P(b)

---

Dengan menggunakan lemma tersebut, maka n − 7 | P(n) − P(7) = 2045 − 2021 = 24.
Sehingga, semua bilangan menarik yang memenuhi adalah 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 19, 31.
Maka, bilangan prima menarik adalah 3, 5, 11, 13, 19, 31.

Jadi, banyaknya bilangan prima menarik adalah 6.

---

No. 20

Diberikan polinomial p(x) = x³ + 3x² + 4x − 11. Jika p(x) mempunyai akar-akar a, b, dan c, dan polinomial q(x) = x³ + rx² + sx + t mempunyai akar-akar (a + b), (b + c), dan (a + c), maka nilai dari t adalah ....

Evaluasi GMOM Februari 2024 tingkat SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

a + b + c = −3
ab + bc + ac = 4
abc = 11

$\begin{array}{rl}(a+b)(b+c)(a+c)& =-t\\ (-3-c)(-3-a)(-3-b)& =-t\\ (3+c)(3+a)(3+b)& =t\\ 3^3+3^2(a+b+c)+3(ab+bc+ac)+abc& =t\\ 27+9(-3)+3(4)+11& =t\\ t& =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black23}}}}\end{array}$

Jadi, nilai dari t adalah 23.

---

123