HOTS Zone : Suku Banyak (Polinom)

Table of Contents

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Suku Banyak (Polinom). Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram.

Tipe:

STANDARSNBTHOTS

123

No. 1

Misalkan f (x) = x⁶ + ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex + f adalah polinomial yang memenuhi f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 3, f (4) = 4, f (5) = 5, dan f (6) = 6. Nilai dari f (7) adalah ....

1. 427
2. 527

3. 627
4. 727

5. 827

Grup Matematika Idhamdaz

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Untuk 1 ≤ x ≤ 6, f (x) = x, jadi bisa ditulis:
f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6) + x

f(7) = (7 − 1)(7 − 2)(7 − 3)(7 − 4)(7 − 5)(7 − 6) + 7 = 727

Jadi, f (7) = 727.
JAWAB: D

---

No. 2

Suku banyak x³ + 8x² + 7x + 3 = 0 memiliki akar-akar tan A, tan B, dan tan C. Nilai dari tan (A + B + C) adalah....

Grup Matematika Idhamdaz

ALTERNATIF PENYELESAIAN

tan A + tan B + tan C = −8
tan A tan B + tan B tan C + tan A tan C = 7
tan A tan B tan C = −3

$\begin{array}{rl}\tan (A+B+C)& ={\displaystyle \frac{\tan A+\tan B+\tan C-\tan A\tan B\tan C}{1-(\tan A\tan B+\tan B\tan C+\tan A\tan C)}}\\ & ={\displaystyle \frac{-8-7}{1-(-3)}}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle -{\displaystyle \frac{15}{4}}}}}}\end{array}$

Jadi, nilai dari tan (A + B + C) adalah $-{\displaystyle \frac{15}{4}}$.

---

No. 3

Jika persamaan x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0 memiliki tepat 4 penyelesaian dengan dua diantaranya adalah $\sqrt{2019}$ dan $\sqrt{7}$ serta a, b, c, dan d adalah bilangan-bilangan rasional, maka a + b + c + d = ....

OMVN 2018

ALTERNATIF PENYELESAIAN

CARA 1

Substitusikan $x=\sqrt{7}$
$\begin{array}{rl}{7}^2+7\sqrt{7}a+7b+\sqrt{7}c+d& =0\\ 49+7b+d+\sqrt{7}(7a+c)& =0\end{array}$

49 + 7b + d adalah bilangan rasional maka $\sqrt{7}(7a+c)$ juga harus bilangan rasional. Jika kita substitusikan $x=\sqrt{2019}$ didapat bahwa $\sqrt{2019}(2019a+c)$ harus bilangan rasional. Satu-satunya nilai a dan c adalah 0. Sehingga persamaannya menjadi
x⁴ + bx² + d = 0
Misal p = x² ,
p² + bp + d = 0
Persamaan kuadrat di atas mempunyai akar 2019 dan 7

a + b + c + d = 0 − (2019 + 7) + 0 + 2019⋅7 = 12107

CARA 2

Misal f (x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx + d. Mempunyai akar $\sqrt{2019}$ dan $\sqrt{7}$ dengan koefisien bilangan rasional sehingga bisa kita tulis:
f (x) = (x² − 2019)(x² − 7)

$\begin{array}{rl}a+b+c+d& =f(1)-1\\ & =(1-2019)(1-7)-1\\ & =(-2018)(-6)-1\\ & =12107\end{array}$

Jadi, a + b + c + d = 12107.

---

No. 4

Jika p, q, dan r adalah akar-akar persamaan x³ − 2x² + x + 1 = 0, maka nilai dari ${\displaystyle \frac{1}{p^5}}+{\displaystyle \frac{1}{q^5}}+{\displaystyle \frac{1}{r^5}}=$ ....

Grup Matematika Idhamdaz

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ${\displaystyle \frac{1}{p}}$, ${\displaystyle \frac{1}{q}}$, dan ${\displaystyle \frac{1}{r}}$ adalah
$\begin{array}{rl}{\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^3-2{\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{1}{x}}+1& =0\\ {\displaystyle \frac{1}{x^3}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}+1& =0\\ x^3+x^2-2x+1& =0\end{array}$

Misal $x_1={\displaystyle \frac{1}{p}}$, $x_2={\displaystyle \frac{1}{q}}$, $x_3={\displaystyle \frac{1}{r}}$
x₁ + x₂ + x₃ = −1
x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃ = −2
x₁x₂x₃ = −1

$\begin{array}{rl}{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2& =(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_1{x}_3)\\ & =(-1{)}^2-2(-2)\\ & =5\end{array}$

$\begin{array}{rl}{x}^3& =-x^2+2x-1\\ x^4& =-x^3+2x^2-x\\ & =x^2-2x+1+2x^2-x\\ & =3x^2-3x+1\\ x^5& =3x^3-3x^2+x\\ & =3(-x^2+2x-1)-3x^2+x\\ & =-3x^2+6x-3-3x^2+x\\ & =-6x^2+7x-3\\ {\displaystyle \sum _{i=1}^3{x_i}^5}& ={\displaystyle \sum _{i=1}^3(-6{x_i}^2+7x_i-3)}\\ & =-6(5)+7(-1)-3\cdot 3\\ & =-46\end{array}$

Jadi, nilai dari ${\displaystyle \frac{1}{p^5}}+{\displaystyle \frac{1}{q^5}}+{\displaystyle \frac{1}{r^5}}=-46$.

---

No. 5

Jika p, q, r adalah akar-akar berbeda dari persamaan x³ − px² − 4x + 3qr = 0, tentukan nilai dari p² + q⁴ + r⁶

Grup WhatsApp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Untuk x = p,
$\begin{array}{rl}{p}^3-p\cdot p^2-4p+3qr& =0\\ 3qr& =4p\end{array}$

$\begin{array}{rl}{x}^3-p{x}^2-4x+4p& =0\\ x^2(x-p)-4(x-p)& =0\\ (x-p)(x^2-4)& =0\\ (x-p)(x+2)(x-2)& =0\end{array}$
x₂ = q = −2, x₃ = r = 2

$\begin{array}{rl}4p& =3qr\\ & =3(-2)(2)\\ & =-12\\ p& =-3\end{array}$

$\begin{array}{rl}{p}^2+q^4+r^6& =(-3{)}^2+(-2{)}^4+2^6\\ & =9+16+64\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 89}}}}\end{array}$

Jadi, p² + q⁴ + r⁶ = 89.

---

No. 6

Diberikan suatu polinomial p(x) sehingga p(p(x)) = x⁴ + 4x³ + 8x² + 8x + 4. Nilai dari ${\displaystyle \sum _{i=1}^{29}p(i)}$ adalah

1. 9454
2. 10434
3. 16824

4. 20184
5. 25254

Grup Matematika Idhamdaz

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}p(p(x))& =x^4+4x^3+8x^2+8x+4\\ & ={(x^2+2x+2)}^2\\ & ={((x+1{)}^2+1)}^2\\ p(x)& =(x+1{)}^2\end{array}$

Related: loading

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{i=1}^{29}p(i)}& ={\displaystyle \sum _{i=1}^{29}(i+1{)}^2}\\ & =(1+1{)}^2+(2+1{)}^2+(3+1{)}^2+\cdots +(29+1{)}^2\\ & =2^2+3^2+4^2+\cdots +{30}^2\\ & =1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots +{30}^2-1\\ & ={\displaystyle \frac{30(30+1)(2\cdot 30+1)}{6}}-1\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 9454}}}}\end{array}$

Jadi, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{29}p(i)=9454}$
JAWAB: A

---

No. 7

Hayabusa dan Angela sedang berada di "Land of Dawn". Di sana, mereka diberikan misi untuk membunuh Lord. Namun mereka tau bahwa dengan Item dan Level mereka saat itu belom kuat untuk membunuh Lord. Maka dari itu, mereka lantas lanjut Farming dan Naikkan level. Setelah beberapa lama, terdapat sebuah Item legendaris yang hanya didapat jika menyelesaikan sebuah teka-teki. Item itu dinamakan "Blade of Despair". Teka-teki tersebut adalah "Tentukan jumlah semua bilangan real x yang memenuhi x²(2 − x)² = [1 − (1 − x)²][1 + (1 − x)]²"

Grup Matematika Idhamdaz

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{x}^2(2-x{)}^2& =[1-(1-x{)}^2]{[1+(1-x)]}^2\\ x^2(2-x{)}^2& =[(1+1-x)(1-(1-x))]{[2-x]}^2\\ x^2(2-x{)}^2& =(2-x)x{(2-x)}^2\\ x^2(2-x{)}^2-(2-x)x{(2-x)}^2& =0\\ x(2-x{)}^2(x-(2-x))& =0\\ x(2-x{)}^2(2x-2)& =0\end{array}$

x = 0

$\begin{array}{rl}(2-x{)}^2& =0\\ x& =2\end{array}$

$\begin{array}{rl}2x-2& =0\\ x& =1\end{array}$

Jadi, jumlah semua bilangan real x yang memenuhi x²(2 − x)² = [1 − (1 − x)²][1 + (1 − x)]² adalah 3.

---

No. 8

Carilah semua pasangan bilangan asli (x,n) yang memenuhi 1 + x + x² + ⋯ + xⁿ = 40.

1. (1, 40), (20,20), (40, 1)
2. (5, 8), (20, 20), (8, 5)
3. (1, 39), (3, 3), (39, 1)

4. (3, 39), (39, 1), (0, 40)
5. (1, 1), (3, 3), (39, 39)

Grup Matematika Idhamdaz

ALTERNATIF PENYELESAIAN

1 + 1 + 1² + ⋯ + 1³⁹ = 40
(1, 39)

$\begin{array}{rl}1+x+x^2+\cdots +x^n& =40\\ {\displaystyle \frac{x^{n+1}-1}{x-1}}& =40\\ x^{n+1}-1& =40x-40\\ 39& =40x-x^{n+1}\\ 40x-x^{n+1}& =39\\ x(40-x^n)& =39\end{array}$
x haruslah pembagi positif dari 39.

Untuk x = 3

$\begin{array}{rl}3(40-3^n)& =39\\ 40-3^n& =13\\ 3^n& =27\\ n& =3\end{array}$
(3, 3)

Untuk x = 13

$\begin{array}{rl}13(40-{13}^n)& =39\\ 40-{13}^n& =3\\ {13}^n& =3\end{array}$
Tidak ada n yang memenuhi

Untuk x = 39

$\begin{array}{rl}39(40-{39}^n)& =39\\ 40-{39}^n& =1\\ {39}^n& =39\\ n& =1\end{array}$
(39, 1)

Jadi, semua pasangan bilangan asli (x,n) yang memenuhi 1 + x + x² + ⋯ + xⁿ = 40 adalah (1, 39), (3, 3), (39, 1).
JAWAB: C

---

No. 9

Tunjukkan bahwa salah satu akar persamaan suku banyak x³ + x − 1 = 0 terletak di antara 0,5 dan 1. Kemudian, tentukan pendekatan akar persamaan tersebut dengan dibulatkan sehingga dua tempat desimal.

Grup Matematika Idhamdaz

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal f (x) =x³ + x − 1

$\begin{array}{rl}f(0,5)& =(0,5{)}^3+0,5-1\\ & =\mathrm{0,125}+0,5-1\\ & =-\mathrm{0,375}\end{array}$

$\begin{array}{rl}f(1)& =1^3+1-1\\ & =1\end{array}$

Karena f (0,5) < 0 dan f (1) > 0 maka akar persamaan tersebut berada di antara x = 0,5 dan x = 1.

0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
−0,184	0,043	0,312	0,629	1

f (x) = 0 berada di antara x = 0,6 dan x = 0,7

0,60	0,61	0,62	0,63	0,64	0,65	0,66	0,67	0,68	0,69	0,70
−0,184	−0,163	−0,142	−0,120	−0,098	−0,075	−0,053	−0,029	−0,006	0,019	0,043

Nilai f (x) yang paling mendekati 0 adalah saat x = 0,68.

Jadi, terbukti bahwa salah satu akar persamaan suku banyak x³ + x − 1 = 0 terletak di antara 0,5 dan 1. pendekatan akar persamaan tersebut dengan dibulatkan sehingga dua tempat desimal adalah 0,68.

---

No. 10

Himpunan semua x yang memenuhi (x − 1)³ + (x − 2)² = 1 adalah ....

OSP 2006

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}(x-1{)}^3+(x-2{)}^2& =1\\ (x-1{)}^3+(x-1-1{)}^2& =1\\ (x-1{)}^3+(x-1{)}^2-2(x-1)+1& =1\\ (x-1)((x-1{)}^2+x-1-2)& =0\\ (x-1)(x^2-2x+1+x-3)& =0\\ (x-1)(x^2-x-2)& =0\\ (x-1)(x+1)(x-2)& =0\end{array}$
x = 1, x = −1, x = 2

Jadi, Hp = {−1, 1, 2}

---

123