HOTS Zone : Bilangan Asli (Bilangan Bulat Positif) [2]

Table of Contents

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Bilangan Asli. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

StandarSNBTHOTS

123

No. 11

Misalkan a, b, dan c adalah tiga bilangan asli berbeda sedemikian sehingga $${\displaystyle \frac{a}{b}}+{\displaystyle \frac{a}{c}},{\displaystyle \frac{b}{c}}+{\displaystyle \frac{b}{a}},{\displaystyle \frac{c}{a}}+{\displaystyle \frac{c}{b}}$$ masing-masing merupakan bilangan bulat. Berapakah nilai terkecil dari a + b + c?

Tryout OSN-K Matematika SMA 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

WLOG a < b < c

Jika a = 1,
${\displaystyle \frac{a}{b}}+{\displaystyle \frac{a}{c}}={\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}$
Nilai b dan c yang memenuhi hanya b = c = 2 (tidak memenuhi)

Jika a = 2,
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{a}{b}}+{\displaystyle \frac{a}{c}}& =2\left({\displaystyle \frac{b+c}{bc}}\right)\\ & =2\left({\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{bc}{b+c}}}}\right)\end{array}$
Sehingga,
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{bc}{b+c}}& =2\\ bc& =2b+2c\\ (b-2)(c-2)& =4\end{array}$
Didapat b = 3 dan c = 6

a + b + c = 2 + 3 + 6 = 11

Jadi, nilai terkecil dari a + b + c adalah 11.

---

No. 12

Misalkan s(n) menyatakan kuadrat dari jumlah angka angka dari bilangan asli n pada representasi desimalnya, sebagai contoh s(23) = (2 + 3)² = 25, didefinisikan aturan sebagai berikut : s²(n) = s(s(n)) dan s^{k + 1}(n) = s^k(s(n)), untuk setiap bilangan asli k. Tentukan nilai dari s²⁰²³(13).

Tryout OSN-K Matematika SMA 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

s(13) = (1 + 3)² = 16

s²(13) = s(16) = (1 + 6)² = 49

s³(13) = s(49) = (4 + 9)² = 169

s⁴(13) = s(169) = (1 + 6 + 9)² = 256

s⁵(13) = s(256) = (2 + 5 + 6)² = 169 (berulang)

Untuk k ≥ 3,
$s^k(13)=\{\begin{array}{l}169,\text{ jika k ganjil}\\ 256,\text{ jika k genap}\end{array}$

s²⁰²³(13) = 169

Jadi, nilai dari s²⁰²³(13) = 169.

---

No. 13

Diberikan barisan bilangan asli

1, 12, 1231, 12312312, 1231231231231231, ...

di mana suku ke-n adalah bilangan asli berisikan 2^{n − 1} digit yang polanya berulang dari 1, 2, 3, lalu kembali ke 1, dan seterusnya. Tentukan bilangan asli n terkecil sehingga suku ke-n habis dibagi 36.

KTOM April 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

36 = 4⋅9
Satuan suku ke-n adalah 2^{n − 1} mod 3. Jika n ganjil maka satuannya 1. Jika n genap maka satuannya 2.
Karena suku ke-n habis dibagi 4 maka n haruslah genap, misal n = 2k.
Banyak digit sebelum angka 12 yang berada di paling kanan adalah $$2^{2k-1}-2$$ Banyak kumpulan digit 123 sebelum angka 12 yang berada di paling kanan adalah $${\displaystyle \frac{2^{2k-1}-2}{3}}$$ Jumlah semua digitnya adalah $${\displaystyle \frac{2^{2k-1}-2}{3}}(1+2+3)+(1+2)=2^{2k}-4+3=4^k-1$$ 4^k − 1 harus habis dibagi 9 $$\begin{array}{rl}{4}^k-1& \equiv 0(\mathrm{mod}9)\\ 4^k& \equiv 1(\mathrm{mod}9)\\ 16\cdot 4^{k-2}& \equiv 1(\mathrm{mod}9)\\ 7\cdot 4\cdot 4^{k-3}& \equiv 1(\mathrm{mod}9)\\ 28\cdot 4^{k-3}& \equiv 1(\mathrm{mod}9)\\ 1\cdot 4^{k-3}& \equiv 1(\mathrm{mod}9)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}k-3& =0\\ k& =3\\ n& =2k\\ & =\\ boxed\boxed{{\displaystyle 6}}\end{array}$$

Jadi, bilangan asli n terkecil sehingga suku ke-n habis dibagi 36 adalah 6.

---

No. 14

Bilangan segitiga adalah bilangan yang berbentuk ${\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$, dengan n adalah bilangan asli. Banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah ....

1. 8
2. 9
3. 10

4. 13
5. 15

OSK SMP 2004

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}& <;100\\ n(n+1)& <;200\end{array}$$ Kita cari bilangan kuadrat yang mendekati 200, yaitu 14² = 196.
Karena 14(15) = 210 maka n terbesar adalah 13.

Jadi, banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah 13.
JAWAB: D

---

No. 15

Sebuah bilangan bulat positif dikatakan wah jika bilangan tersebut terdiri dari 3 digit, dan semua digit-digitnya ialah bilangan prima. Contoh bilangan wah ialah 232 dan 777. Banyaknya bilangan wah yang berbeda ada sebanyak ....

1. 27
2. 64

3. 81
4. 125

KTOM - TO OSK SMP 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Bilangan prima 1 digit adalah 2, 3, 5, dan 7. Ada 4 bilangan. Masing-masing posisi digit pada bilangan wah ada 4 kemungkinan, sehingga banyaknya bilangan wah ada:
4 × 4 × 4 = 64

Jadi, tanyaknya bilangan wah yang berbeda ada sebanyak 64.
JAWAB : B

---

No. 16

Tentukan banyak bilangan asli n sedemikian sehingga $$\frac{n^{2024}}{n+1}+\frac{5}{n^2+n}$$ bilangan asli

KTOM Agustus 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

${\displaystyle \frac{n^{2024}}{n+1}}+{\displaystyle \frac{5}{n^2+n}}={\displaystyle \frac{n^{2025}+5}{n^2+n}}$

$\begin{array}{rl}{n}^{2025}+5& =n^{2025}+n^{2024}-n^{2024}+5\\ & =-n^{2024}+5& (\mathrm{mod}{n}^2+n)\\ & =-n^{2024}-n^{2023}+n^{2023}+5& (\mathrm{mod}{n}^2+n)\\ & =n^{2023}+5& (\mathrm{mod}{n}^2+n)\\ & =n+5& (\mathrm{mod}{n}^2+n)\end{array}$
agar ${\displaystyle \frac{n+5}{n^2+n}}$ bilangan asli, maka

Related: loading

$\begin{array}{rl}{n}^2+n& \le n+5\\ n^2& \le 5\end{array}$
n = 1 atau n = 2

• n = 1

  $\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{n+5}{n^2+n}}& ={\displaystyle \frac{1+5}{1^2+1}}\\ & =3\end{array}$

• n = 2

  $\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{n+5}{n^2+n}}& ={\displaystyle \frac{2+5}{2^2+2}}\\ & ={\displaystyle \frac{7}{6}}\end{array}$
  Bukan bilangan bulat

Jadi, banyak bilangan asli n sedemikian sehingga $$\frac{n^{2024}}{n+1}+\frac{5}{n^2+n}$$ bilangan asli ada 1 bilangan.

---

No. 17

Diberikan sebuah bilangan asli n dan bilangan-bilangan riil −1 ≤ a₁, a₂, ..., a_n ≤ 2 sehingga hasil penjumlahan semua suku tersebut adalah 0. Buktikan bahwa

a₁² + a₂² + ⋯ + a_n² ≤ 2n

KTOM Oktober 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}(a_i+1)(a_i-2)& \le 0\\ {a_i}^2-a_i-2& \le 0\\ {a_i}^2& \le a_i+2\\ {\displaystyle \sum _{i=1}^n{a_i}^2}& \le {\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i+2n}\\ & \le 0+2n\\ & \le 2n\end{array}$

Jadi, terbukti bahwa a₁² + a₂² + ⋯ + a_n² ≤ 2n.

---

No. 18

Apabila a, b adalah bilangan asli yang relatif prima dan a × b = 25!, tentukan banyaknya bilangan rasional yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}b$.

Latihan OSK 2024 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misalkan 25! = 2^x₁ × 3^x₂ × 5^x₃ × 7^x₄ × 11^x₅ × 13^x₆ × 17^x₇ × 19^x₈ × 23^x₉.
Maka, agar gcd(a, b) = 1, a dan b tidak boleh ada faktor prima yang sama. Maka, soal ini ekivalen dengan:
"Ada berapa cara untuk membentuk pecahan dengan 9 suku, di mana suku hanya bisa di atas atau di bawah?".
2⁹ = 512

Jadi, banyaknya bilangan rasional yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{a}b$ ada 512.

---

No. 19

Tentukan banyaknya bilangan empat digit $\overline{abcd}$ sehingga $\overline{abcd}$ dan $\overline{dbca}$ habis dibagi 7.

Latihan OSK 2024 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Perhatikan bahwa $\overline{abcd}-\overline{dbca}=999(a-d)\equiv0\mod7\Rightarrow a\equiv d\mod7$.
Maka ada 13 pasangan (a, d) yang mungkin memenuhi syarat tersebut, yakni:
(a, d) = (1, 1), (1, 8), (2, 2), (2, 9), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 1), (8, 8), (9, 2), (9, 9).
Lalu, perhatikan bahwa
$\begin{array}{rl}\overline{abcd}& \equiv 0\mathrm{mod}7\\ 1000a+d+10\times \overline{bc}& \equiv 0\mathrm{mod}7\\ 1001a+3\times \overline{bc}& \equiv 0\mathrm{mod}7\\ \overline{bc}& \equiv 0\mathrm{mod}7\end{array}$
Maka, ada 15 bilangan 2 digit $\overline{bc}$ yang memenuhi syarat tersebut, yakni: $\overline{bc}$ = 00, 07, ..., 98.

13 × 15 = 195

Jadi, banyaknya bilangan empat digit $\overline{abcd}$ sehingga $\overline{abcd}$ dan $\overline{dbca}$ habis dibagi 7 ada 195.

---

No. 20

Jumlah semua bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 250 tanpa bilangan kuadrat maupun bilangan pangkat tiga adalah ....

Evaluasi GMOM Februari 2024 tingkat SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Jumlah semua bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 250 adalah
$\begin{array}{rl}1+2+3+\cdots +250& ={\displaystyle \frac{250}{2}}(1+250)\\ & =125(251)\\ & =31375\end{array}$

Jumlah semua bilangan kuadrat yang kurang dari atau sama dengan 250 adalah
$\begin{array}{rl}{1}^2+2^2+\cdots +{15}^2& ={\displaystyle \frac{15(15+1)(2\cdot 15+1)}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{15(16)(31)}{6}}\\ & =1240\end{array}$

Jumlah semua bilangan kubik yang kurang dari atau sama dengan 250 adalah
$\begin{array}{rl}{1}^3+2^3+\cdots +6^3& ={\displaystyle \frac{6^2(6+1{)}^2}{4}}\\ & ={\displaystyle \frac{36(49)}{4}}\\ & =441\end{array}$

Jumlah semua bilangan kuadrat sekaligus bilangan kubik (dengan kata lain bilangan pangkat enam) yang kurang dari atau sama dengan 250 adalah
$\begin{array}{rl}{1}^6+2^6& =1+64\\ & =65\end{array}$

31375 − 1240 − 441 + 65 = 29759

Jadi, jumlah semua bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 250 tanpa bilangan kuadrat maupun bilangan pangkat tiga adalah 29759.

---

123