HOTS Zone : Bilangan Asli (Bilangan Bulat Positif) [2]

Table of Contents
Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Bilangan Asli. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:


No. 11

Misalkan a, b, dan c adalah tiga bilangan asli berbeda sedemikian sehingga ab+ac, bc+ba, ca+cb masing-masing merupakan bilangan bulat. Berapakah nilai terkecil dari a + b + c?
ALTERNATIF PENYELESAIAN
WLOG a < b < c

Jika a = 1,
ab+ac=1b+1c
Nilai b dan c yang memenuhi hanya b = c = 2 (tidak memenuhi)

Jika a = 2,
ab+ac=2(b+cbc)=2(1bcb+c)
Sehingga,
bcb+c=2bc=2b+2c(b2)(c2)=4
Didapat b = 3 dan c = 6

a + b + c = 2 + 3 + 6 = 11
Jadi, nilai terkecil dari a + b + c adalah 11.

No. 12

Misalkan s(n) menyatakan kuadrat dari jumlah angka angka dari bilangan asli n pada representasi desimalnya, sebagai contoh s(23) = (2 + 3)2 = 25, didefinisikan aturan sebagai berikut : s2(n) = s(s(n)) dan sk + 1(n) = sk(s(n)), untuk setiap bilangan asli k. Tentukan nilai dari s2023(13).
ALTERNATIF PENYELESAIAN
s(13) = (1 + 3)2 = 16

s2(13) = s(16) = (1 + 6)2 = 49

s3(13) = s(49) = (4 + 9)2 = 169

s4(13) = s(169) = (1 + 6 + 9)2 = 256

s5(13) = s(256) = (2 + 5 + 6)2 = 169 (berulang)

Untuk k ≥ 3,
sk(13)={169, jika k ganjil256, jika k genap

s2023(13) = 169
Jadi, nilai dari s2023(13) = 169.

No. 13

Diberikan barisan bilangan asli
1, 12, 1231, 12312312, 1231231231231231, ...
di mana suku ke-n adalah bilangan asli berisikan 2n − 1 digit yang polanya berulang dari 1, 2, 3, lalu kembali ke 1, dan seterusnya. Tentukan bilangan asli n terkecil sehingga suku ke-n habis dibagi 36.
ALTERNATIF PENYELESAIAN
36 = 4⋅9
Satuan suku ke-n adalah 2n − 1 mod 3. Jika n ganjil maka satuannya 1. Jika n genap maka satuannya 2.
Karena suku ke-n habis dibagi 4 maka n haruslah genap, misal n = 2k.
Banyak digit sebelum angka 12 yang berada di paling kanan adalah 22k12 Banyak kumpulan digit 123 sebelum angka 12 yang berada di paling kanan adalah 22k123 Jumlah semua digitnya adalah 22k123(1+2+3)+(1+2)=22k4+3=4k1 4k − 1 harus habis dibagi 9 4k10(mod9)4k1(mod9)164k21(mod9)744k31(mod9)284k31(mod9)14k31(mod9) k3=0k=3n=2k=boxed6
Jadi, bilangan asli n terkecil sehingga suku ke-n habis dibagi 36 adalah 6.

No. 14

Bilangan segitiga adalah bilangan yang berbentuk n(n+1)2, dengan n adalah bilangan asli. Banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah ....
  1. 8
  2. 9
  3. 10
  1. 13
  2. 15
ALTERNATIF PENYELESAIAN
n(n+1)2<;100n(n+1)<;200 Kita cari bilangan kuadrat yang mendekati 200, yaitu 142 = 196.
Karena 14(15) = 210 maka n terbesar adalah 13.
Jadi, banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah 13.
JAWAB: D

No. 15

Sebuah bilangan bulat positif dikatakan wah jika bilangan tersebut terdiri dari 3 digit, dan semua digit-digitnya ialah bilangan prima. Contoh bilangan wah ialah 232 dan 777. Banyaknya bilangan wah yang berbeda ada sebanyak ....
  1. 27
  2. 64
  1. 81
  2. 125
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Bilangan prima 1 digit adalah 2, 3, 5, dan 7. Ada 4 bilangan. Masing-masing posisi digit pada bilangan wah ada 4 kemungkinan, sehingga banyaknya bilangan wah ada:
4 × 4 × 4 = 64
Jadi, tanyaknya bilangan wah yang berbeda ada sebanyak 64.
JAWAB : B

No. 16

Tentukan banyak bilangan asli n sedemikian sehingga n2024n+1+5n2+n bilangan asli
ALTERNATIF PENYELESAIAN
n2024n+1+5n2+n=n2025+5n2+n

n2025+5=n2025+n2024n2024+5=n2024+5(modn2+n)=n2024n2023+n2023+5(modn2+n)=n2023+5(modn2+n)=n+5(modn2+n)
agar n+5n2+n bilangan asli, maka
Related: loading
n2+nn+5n25
n = 1 atau n = 2
  • n = 1

    n+5n2+n=1+512+1=3
  • n = 2

    n+5n2+n=2+522+2=76
    Bukan bilangan bulat
Jadi, banyak bilangan asli n sedemikian sehingga n2024n+1+5n2+n bilangan asli ada 1 bilangan.

No. 17

Diberikan sebuah bilangan asli n dan bilangan-bilangan riil −1 ≤ a1, a2, ..., an ≤ 2 sehingga hasil penjumlahan semua suku tersebut adalah 0. Buktikan bahwa
a12 + a22 + ⋯ + an2 ≤ 2n
ALTERNATIF PENYELESAIAN
(ai+1)(ai2)0 ai2ai20 ai2ai+2i=1nai2i=1nai+2n0+2n2n
Jadi, terbukti bahwa a12 + a22 + ⋯ + an2 ≤ 2n.

No. 18

Apabila a, b adalah bilangan asli yang relatif prima dan a × b = 25!, tentukan banyaknya bilangan rasional yang dapat dinyatakan dalam bentuk ab.
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misalkan 25! = 2x1 × 3x2 × 5x3 × 7x4 × 11x5 × 13x6 × 17x7 × 19x8 × 23x9.
Maka, agar gcd(a, b) = 1, a dan b tidak boleh ada faktor prima yang sama. Maka, soal ini ekivalen dengan:
"Ada berapa cara untuk membentuk pecahan dengan 9 suku, di mana suku hanya bisa di atas atau di bawah?".
29 = 512
Jadi, banyaknya bilangan rasional yang dapat dinyatakan dalam bentuk ab ada 512.

No. 19

Tentukan banyaknya bilangan empat digit abcd sehingga abcd dan dbca habis dibagi 7.
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Perhatikan bahwa abcddbca=999(ad)0mod7admod7.
Maka ada 13 pasangan (a, d) yang mungkin memenuhi syarat tersebut, yakni:
(a, d) = (1, 1), (1, 8), (2, 2), (2, 9), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 1), (8, 8), (9, 2), (9, 9).
Lalu, perhatikan bahwa
abcd0mod71000a+d+10×bc0mod71001a+3×bc0mod7bc0mod7
Maka, ada 15 bilangan 2 digit bc yang memenuhi syarat tersebut, yakni: bc = 00, 07, ..., 98.

13 × 15 = 195
Jadi, banyaknya bilangan empat digit abcd sehingga abcd dan dbca habis dibagi 7 ada 195.

No. 20

Jumlah semua bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 250 tanpa bilangan kuadrat maupun bilangan pangkat tiga adalah ....
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Jumlah semua bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 250 adalah
1+2+3++250=2502(1+250)=125(251)=31375

Jumlah semua bilangan kuadrat yang kurang dari atau sama dengan 250 adalah
12+22++152=15(15+1)(215+1)6=15(16)(31)6=1240

Jumlah semua bilangan kubik yang kurang dari atau sama dengan 250 adalah
13+23++63=62(6+1)24=36(49)4=441

Jumlah semua bilangan kuadrat sekaligus bilangan kubik (dengan kata lain bilangan pangkat enam) yang kurang dari atau sama dengan 250 adalah
16+26=1+64=65

31375 − 1240 − 441 + 65 = 29759
Jadi, jumlah semua bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 250 tanpa bilangan kuadrat maupun bilangan pangkat tiga adalah 29759.

Post a Comment