HOTS Zone : Bilangan Asli (Bilangan Bulat Positif) [2]

WLOG a < b < c

Jika a = 1,
\(\dfrac{a}b+\dfrac{a}c=\dfrac1b+\dfrac1c\)
Nilai b dan c yang memenuhi hanya b = c = 2 (tidak memenuhi)

Jika a = 2,
\(\begin{aligned} \dfrac{a}b+\dfrac{a}c&=2\left(\dfrac{b+c}{bc}\right)\\[3.8pt] &=2\left(\dfrac1{\dfrac{bc}{b+c}}\right) \end{aligned}\)
Sehingga,
\(\begin{aligned} \dfrac{bc}{b+c}&=2\\ bc&=2b+2c\\ (b-2)(c-2)&=4 \end{aligned}\)
Didapat b = 3 dan c = 6

a + b + c = 2 + 3 + 6 = 11

s(13) = (1 + 3)² = 16

s²(13) = s(16) = (1 + 6)² = 49

s³(13) = s(49) = (4 + 9)² = 169

s⁴(13) = s(169) = (1 + 6 + 9)² = 256

s⁵(13) = s(256) = (2 + 5 + 6)² = 169 (berulang)

Untuk k ≥ 3,
\(s^k(13)=\begin{cases}169,\text{ jika k ganjil}\\256,\text{ jika k genap}\end{cases}\)

s²⁰²³(13) = 169

36 = 4⋅9
Satuan suku ke-n adalah 2^{n − 1} mod 3. Jika n ganjil maka satuannya 1. Jika n genap maka satuannya 2.
Karena suku ke-n habis dibagi 4 maka n haruslah genap, misal n = 2k.
Banyak digit sebelum angka 12 yang berada di paling kanan adalah \[2^{2k-1}-2\] Banyak kumpulan digit 123 sebelum angka 12 yang berada di paling kanan adalah \[\dfrac{2^{2k-1}-2}3\] Jumlah semua digitnya adalah \[\dfrac{2^{2k-1}-2}3(1+2+3)+(1+2)=2^{2k}-4+3=4^k-1\] 4^k − 1 harus habis dibagi 9 \begin{aligned} 4^k-1&\equiv 0\pmod9\\ 4^k&\equiv 1\pmod9\\ 16\cdot4^{k-2}&\equiv 1\pmod9\\ 7\cdot4\cdot4^{k-3}&\equiv 1\pmod9\\ 28\cdot4^{k-3}&\equiv 1\pmod9\\ 1\cdot4^{k-3}&\equiv 1\pmod9 \end{aligned} \begin{aligned} k-3&=0\\ k&=3\\ n&=2k\\ &=\\boxed{\boxed{6}} \end{aligned}

\begin{aligned} \dfrac{n(n+1)}2&\lt;100\\ n(n+1)&\lt;200 \end{aligned} Kita cari bilangan kuadrat yang mendekati 200, yaitu 14² = 196.
Karena 14(15) = 210 maka n terbesar adalah 13.

\(\dfrac{n^{2024}}{n+1}+\dfrac5{n^2+n}=\dfrac{n^{2025}+5}{n^2+n}\)

\(\begin{aligned} n^{2025}+5&=n^{2025}+n^{2024}-n^{2024}+5\\ &=-n^{2024}+5&\pmod{n^2+n}\\ &=-n^{2024}-n^{2023}+n^{2023}+5&\pmod{n^2+n}\\ &=n^{2023}+5&\pmod{n^2+n}\\ &=n+5&\pmod{n^2+n}\\ \end{aligned}\)
agar \(\dfrac{n+5}{n^2+n}\) bilangan asli, maka
\(\begin{aligned} n^2+n&\leq n+5\\ n^2&\leq5 \end{aligned}\)
n = 1 atau n = 2

• n = 1

  \(\begin{aligned} \dfrac{n+5}{n^2+n}&=\dfrac{1+5}{1^2+1}\\[3.8pt] &=3 \end{aligned}\)

• n = 2

  \(\begin{aligned} \dfrac{n+5}{n^2+n}&=\dfrac{2+5}{2^2+2}\\[3.8pt] &=\dfrac76 \end{aligned}\)
  Bukan bilangan bulat

\(\begin{aligned} \left(a_i+1\right)\left(a_i-2\right)&\leq0\\\ {a_i}^2-a_i-2&\leq0\\\ {a_i}^2&\leq a_i+2\\ \displaystyle\sum_{i=1}^n{a_i}^2&\leq \displaystyle\sum_{i=1}^n a_i+2n\\ &\leq 0+2n\\ &\leq 2n\\ \end{aligned}\)

Misalkan 25! = 2^x₁ × 3^x₂ × 5^x₃ × 7^x₄ × 11^x₅ × 13^x₆ × 17^x₇ × 19^x₈ × 23^x₉.
Maka, agar gcd(a, b) = 1, a dan b tidak boleh ada faktor prima yang sama. Maka, soal ini ekivalen dengan:
"Ada berapa cara untuk membentuk pecahan dengan 9 suku, di mana suku hanya bisa di atas atau di bawah?".
2⁹ = 512

Perhatikan bahwa $\overline{abcd}-\overline{dbca}=999(a-d)\equiv0\mod7\Rightarrow a\equiv d\mod7$.
Maka ada 13 pasangan (a, d) yang mungkin memenuhi syarat tersebut, yakni:
(a, d) = (1, 1), (1, 8), (2, 2), (2, 9), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 1), (8, 8), (9, 2), (9, 9).
Lalu, perhatikan bahwa
\(\begin{aligned} \overline{abcd}&\equiv0\mod7\\ 1000a+d+10\times\overline{bc}&\equiv0\mod7\\ 1001a+3\times\overline{bc}&\equiv0\mod7\\ \overline{bc}&\equiv0\mod7 \end{aligned}\)
Maka, ada 15 bilangan 2 digit $\overline{bc}$ yang memenuhi syarat tersebut, yakni: $\overline{bc}$ = 00, 07, ..., 98.

13 × 15 = 195

Jumlah semua bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 250 adalah
\(\begin{aligned} 1+2+3+\cdots+250&=\dfrac{250}2(1+250)\\[4pt] &=125(251)\\ &=31375 \end{aligned}\)

Jumlah semua bilangan kuadrat yang kurang dari atau sama dengan 250 adalah
\(\begin{aligned} 1^2+2^2+\cdots+15^2&=\dfrac{15(15+1)(2\cdot15+1)}6\\[4pt] &=\dfrac{15(16)(31)}6\\[4pt] &=1240 \end{aligned}\)

Jumlah semua bilangan kubik yang kurang dari atau sama dengan 250 adalah
\(\begin{aligned} 1^3+2^3+\cdots+6^3&=\dfrac{6^2(6+1)^2}4\\[4pt] &=\dfrac{36(49)}4\\[4pt] &=441 \end{aligned}\)

Jumlah semua bilangan kuadrat sekaligus bilangan kubik (dengan kata lain bilangan pangkat enam) yang kurang dari atau sama dengan 250 adalah
\(\begin{aligned} 1^6+2^6&=1+64\\ &=65 \end{aligned}\)

31375 − 1240 − 441 + 65 = 29759