HOTS Zone : Permutasi dan Kombinasi

Table of Contents

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Permutasi dan Kombinasi tipe HOTS. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Facebook atau Telegram.

Tipe:

StandarSNBTHOTS

123

No. 1

Dua belas titik terletak pada keliling suatu setengah lingkaran, dengan 5 diantaranya terletak pada diameter. Dari dua belas titik terscbut dibentuk garis-garis yang melalui sepasang titik, dengan tidak ada tiga garis yang berpotongan pada satu titik. Banyaknya titik potong yang dapat diperoleh dari perpotongan dua garis adalah ...

Grup Telegram

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{C}_2^{12}-C_2^5& ={\displaystyle \frac{12!}{(12-2)!2!}}-{\displaystyle \frac{5!}{(5-2)!2!}}\\ & ={\displaystyle \frac{12\cdot 11\cdot 10!}{10!(2\cdot 1)}}-{\displaystyle \frac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!(2\cdot 1)}}\\ & =66-10\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 56}}}}\end{array}$

Jadi, banyaknya titik potong yang dapat diperoleh dari perpotongan dua garis adalah 56.

---

No. 2

Dinyatakan $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!r!}}$, hasil dari
$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2016}{1})+2^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2016}{2})+3^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2016}{3})+\cdots +{2016}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2016}{2016})=$ ....

Grup Telegram

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2016}{1})+2^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2016}{2})+3^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2016}{3})+\cdots +{2016}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2016}{2016})& ={\displaystyle \sum _{k=0}^{2016}{k}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2016}{k})}\\ & =({2016}^2+2016)2^{2016-2}\\ & =2016(2016+2)2^{2014}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 2016\cdot 2018\cdot 2^{2014}}}}}\end{array}$

Jadi, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2016}{1})+2^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2016}{2})+3^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2016}{3})+\cdots +{2016}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2016}{2016})=2016\cdot 2018\cdot 2^{2014}$.

---

No. 3

Diketahui $${\displaystyle \frac{1}{0!10!}}+{\displaystyle \frac{1}{1!9!}}+{\displaystyle \frac{1}{2!8!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{9!1!}}+{\displaystyle \frac{1}{10!0!}}={\displaystyle \frac{m}{n}}$$ Jika (m, n) adalah bilangan bulat yang saling relatif prima. Nilai dari 10m adalah ....

Tryout OSN-K Matematika SMA 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{0!10!}}+{\displaystyle \frac{1}{1!9!}}+{\displaystyle \frac{1}{2!8!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{9!1!}}+{\displaystyle \frac{1}{10!0!}}& ={\displaystyle \frac{10!}{10!}}({\displaystyle \frac{1}{0!10!}}+{\displaystyle \frac{1}{1!9!}}+{\displaystyle \frac{1}{2!8!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{9!1!}}+{\displaystyle \frac{1}{10!0!}})\\ & ={\displaystyle \frac{1}{10!}}({\displaystyle \frac{10!}{0!10!}}+{\displaystyle \frac{10!}{1!9!}}+{\displaystyle \frac{10!}{2!8!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{10!}{9!1!}}+{\displaystyle \frac{10!}{10!0!}})\\ & ={\displaystyle \frac{1}{10!}}((\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2})+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{9})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{10}))\\ & ={\displaystyle \frac{1}{10!}}\left(2^{10}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{\cancel{2}\cdot \cancel{2\cdot 2\cdot 2}\cdot \cancel{2}\cdot \cancel{2\cdot 2}\cdot \cancel{2}\cdot 2\cdot 2}{{\cancel{10}}^5\cdot 9\cdot \cancel{8}\cdot 7\cdot {\cancel{6}}^3\cdot 5\cdot \cancel{4}\cdot 3\cdot \cancel{2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{4}{14175}}\end{array}$

10(4) = 40

Jadi, nilai dari 10m adalah 40.

---

No. 4

Muaz akan membuat bilangan asli 4 digit dengan digit-digitnya di antara 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan hanya angka 3 yang boleh berulang. Jika bilangan tersebut harus memuat angka 1, maka banyak bilangan yang bisa dibentuk oleh Muaz adalah ....

GMOM

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Kasus 1, paling banyak ada 1 angka 3.

Memilih 3 angka dari (3,4,5,6,7,8) kemudian permutasi 4 angka
$C_3^6\times 4!=480$

Kasus 2, ada 2 angka 3

Memilih 1 angka dari (4,5,6,7,8) kemudian permutasi 4 angka, dengan 2 angka sama
$C_1^5\times {\displaystyle \frac{4!}{2!}}=30$

Kasus 3, ada 3 angka 3

Permutasi 4 angka, dengan 3 angka sama
${\displaystyle \frac{4!}{3!}}=4$

480 + 30 + 4 = 514

Jadi, banyak bilangan yang bisa dibentuk oleh Muaz adalah 514.

---

No. 5

Di dalam suatu laci terdapat 7 pasang kaos kaki yang setiap pasangnya berbeda dengan pasangan lain. Diambil 6 kaos kaki sekaligus secara acak. Banyak cara pengambilan sehingga diantara yang terambil terdapat tepat sepasang kaos kaki yang berpasangan adalah ....

OSK SMA 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

2 kaus kaki di antaranya adalah sepasang. Cara pengambilan 1 pasang dari 7 pasang adalah:$$C_1^7=7$$ Tersisa 6 pasang. 4 kaus kaki lainnya berbeda. Cara pengambilan 4 dari 6 kaus kaki adalah:$$c_4^6=15$$ 7 × 15 = 105

Jadi, banyak cara pengambilan sehingga diantara yang terambil terdapat tepat sepasang kaos kaki yang berpasangan adalah 105.

---

No. 6

Di dalam suatu laci terdapat 7 pasang kaos kaki yang setiap pasangnya berbeda dengan pasangan lain. Diambil lima kaos kaki sekaligus secara acak. Banyak cara pengambilan sehingga diantara yang terambil terdapat tepat sepasang kaos kaki yang berpasangan adalah ....

OSK SMA 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

2 kaus kaki di antaranya adalah sepasang. Cara pengambilan 1 pasang dari 7 pasang adalah:$$C_1^7=7$$ Tersisa 6 pasang. 3 kaus kaki lainnya berbeda. Cara pengambilan 3 dari 6 kaus kaki adalah:$$C_3^6=20$$ Setiap pasang ada kaos kaki kiri dan kanan, sehingga kemungkinan untuk setiap pasangnya ada 2. $$2^3=8$$ Dengan aturan perkalian didapat: $$7\times 20\times 8=1120$$

Jadi, banyak cara pengambilan sehingga diantara yang terambil terdapat tepat sepasang kaos kaki yang berpasangan adalah 1120.

---

No. 7

Terdapat dua puluh kartu yang dinomori satu hingga dua puluh dalam suatu tumpukan. Tentukan banyaknya cara menyusun kartu tersebut sehingga nomor pada sepuluh kartu teratas terurut turun dan sebelas kartu terbawah terurut naik.

KTOM April 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Kartu ke-10 pasti kartu terendah atau kartu nomor 1. Kita tinggal memilih 9 dari 19 kartu tersisa. $$C_9^{19}=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 92378}}}}$$

Jadi, cara menyusun kartu tersebut sehingga nomor pada sepuluh kartu teratas terurut turun dan sebelas kartu terbawah terurut naik ada 92.738 cara.

---

No. 8

Banyaknya bilangan 5 digit yang lebih dari 50000 dan mengandung tepat tiga digit yang sama dan dua digit lainnya berbeda adalah ...
(contoh: 50003, 55532, 61222, 70177, dan sebagainya. Sedangkan 55522, 67776, 77700, dan sebagainya bukanlah contoh)

GMOM

ALTERNATIF PENYELESAIAN

angka pertama ada 5 kemungkinan yaitu {5, 6, 7, 8, 9}. Untuk kemungkinan 4 angka berikutnya kita bagi 2 kasus:

• 2 angka sama dengan angka pertama

  Pilih 2 dari 9 angka, kemudian kita cari permutasinya dimana ada 2 angka kembar.
  $$C_2^9\cdot {\displaystyle \frac{4!}{2!}}={\displaystyle \frac{9\cdot 8}{2}}\cdot 4\cdot 3=432$$

• 3 angka kembar beda dengan angka pertama

  Pilih 1 dari 9 angka untuk jadi angka kembar, kemudian pilih 1 dari 8 angka tersisa, terakhir kita cari permutasinya dimana ada 3 angka kembar. $$9\cdot 8\cdot {\displaystyle \frac{4!}{3!}}=288$$

Semuanya ada:

5 ⋅ (432 + 288) = 3600

Jadi, ada 3600 bilangan 5 digit yang lebih dari 50000 dan mengandung tepat tiga digit yang sama dan dua digit lainnya berbeda.

---

No. 9

Terdapat 10 kursi yang tersusun secara berjajar pada suatu ruangan. Tiga siswa yang hendak susulan ujian sumatif matemmatika diarahkan untuk memilih kursi dari kursi-kursi tersebut sedemikian sehingga setiap dua siswa dipisahkan oleh minimal satu kursi kosong. Banyak susunan mereka duduk yang mungkin adalah ....

Evaluasi GMOM Oktober 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal banyak kursi kosong sebelah kiri orang pertama adalah a, banyak kursi kosong antara orang pertama dan kedua adalah b, banyak kursi kosong antara orang kedua dan ketiga adalah c, dan banyak kursi kosong sebelah kanan orang ketiga adalah d.
a ≥ 0, b ≥ 1, c ≥ 1, dan d ≥ 0.
a + b + c + d = 7

Related: loading

Misal b = b' + 1, dan c = c' + 1
a + b' + c' + d = 5
Banyaknya susunan yang mungkin:
$\begin{array}{rl}{C}_5^{5+4-1}& =C_5^8\\ & ={\displaystyle \frac{8!}{(8-5)!5!}}\\ & ={\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot \cancel{6}\cdot \cancel{5!}}{\cancel{3\cdot 2}\cdot 1\cancel{5!}}}\\ & =56\end{array}$

Banyak susunan duduk dari 3 orang adalah 3! = 6.

Jadi banyak susunan duduk yang mungkin adalah :
56 × 6 = 336

Jadi, banyak susunan mereka duduk yang mungkin adalah 336.

---

No. 10

Sebanyak 20 orang duduk dalam formasi melingkar mengitari api unggun. Jika dipilih 3 siswa di antara mereka, dengan syarat tidak ada dua orang yang duduk bersisian dipilih, maka banyaknya cara adalah ....

GMOM September 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Anggap dulu siswa tersebut duduk berjajar, beri nomor 1-20. Sehingga banyak cara memilih 3 siswa dengan tidak ada yang duduk bersisian sama dengan banyak cara memilih 3 bilangan dengan tidak ada dua bilangan berurutan dipilih, yakni ada sebanyak cara menyusun 3 bars dan 17 stars dengan tiap dua bars berurutan dipisahkan oleh minimal satu stars. Sehingga banyak cara sama seperti memasukkan 15 bola identik ke 4 keranjang berbeda yakni ada 18C3 = 816 cara. Tetapi pada posisi siklis, jika terpilih no 1 dan 20 artinya siswa tersebut duduk bersisian, banyaknya yang demikian ada sebanyak 16 cara.

Maka banyak cara memanggil 3 siswa yang tidak duduk bersisian ada sebanyak: 816 − 16 = 800 cara.

Jadi, ada 800 cara.

---

123