HOTS Zone : Segitiga
Table of Contents
Tipe:
No.
Pada suatu segitiga ABC, sudut C tiga kali lebih besar sudut A dan sudut B dua kali besar sudut A. Berapakah perbandingan (rasio) antara panjang AB dengan BC?ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned} \angle A+\angle B+\angle C&=180\degree\\ \angle A+2\angle A+3\angle A&=180\degree\\ 6\angle A&=180\degree\\ \angle A&=30\degree\\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin\angle C}&=\dfrac{BC}{\sin\angle A}\\ \dfrac{AB}{BC}&=\dfrac{\sin90\degree}{\sin30\degree}\\ &=2 \end{aligned}\)
Jadi, perbandingan (rasio) antara panjang AB dengan BC adalah 2:1.
No.
Pada gambar berikut BDEF adalah persegi dalamALTERNATIF PENYELESAIAN
Misalkan AF = a , BD = DE = EF = FB = x , dan CD = b .
\(\dfrac{a}x=\dfrac{x}b=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac45\)
\(\begin{aligned} \dfrac{\text{Luas }BDEF}{\text{Luas }\triangle ABC}&=\dfrac{x^2}{\dfrac12(a+x)(x+b)}\\ &=\dfrac{2x^2}{(a+x)(x+b)}\cdot\dfrac{\dfrac1{x^2}}{\dfrac1{x^2}}\\ &=\dfrac2{\left(\dfrac{a}x+1\right)\left(1+\dfrac{b}x\right)}\\ &=\dfrac2{\left(\dfrac45+1\right)\left(1+\dfrac54\right)}\\ &=\dfrac2{\left(\dfrac95\right)\left(\dfrac94\right)}\\ &=\dfrac2{\dfrac{81}{20}}\\ &=\boxed{\boxed{\dfrac{40}{81}}} \end{aligned}\)
\(\dfrac{a}x=\dfrac{x}b=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac45\)
\(\begin{aligned} \dfrac{\text{Luas }BDEF}{\text{Luas }\triangle ABC}&=\dfrac{x^2}{\dfrac12(a+x)(x+b)}\\ &=\dfrac{2x^2}{(a+x)(x+b)}\cdot\dfrac{\dfrac1{x^2}}{\dfrac1{x^2}}\\ &=\dfrac2{\left(\dfrac{a}x+1\right)\left(1+\dfrac{b}x\right)}\\ &=\dfrac2{\left(\dfrac45+1\right)\left(1+\dfrac54\right)}\\ &=\dfrac2{\left(\dfrac95\right)\left(\dfrac94\right)}\\ &=\dfrac2{\dfrac{81}{20}}\\ &=\boxed{\boxed{\dfrac{40}{81}}} \end{aligned}\)
Jadi, \(\dfrac{\text{Luas }BDEF}{\text{Luas }\triangle ABC}=\dfrac{40}{81}\).
No.
Panjang jari-jari lingkaran luar- 5
- 8
- 12
- 18
- 21
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal jari-jari lingkaran luar adalah R, AC =BC =x , panjang garis tinggi ∆ABC dari titik C adalah t
\(\begin{aligned} x^2&=t^2+12^2\\ &=t^2+144 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} R&=\dfrac{abc}{4L}\\ 13&=\dfrac{x\cdot x\cdot\cancel{24}}{{\cancel{4}}^{\color{red}{2}}\cdot\dfrac1{\cancel{2}}\cdot\cancel{24}\cdot t}\\ 13&=\dfrac{x^2}{2t}\\ 26t&=x^2\\ 26t&=t^2+144\\ t^2-26t+144&=0\\ (t-8)(t-18)&=0 \end{aligned}\)
t = 8 atau t = 18
\(\begin{aligned} x^2&=t^2+12^2\\ &=t^2+144 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} R&=\dfrac{abc}{4L}\\ 13&=\dfrac{x\cdot x\cdot\cancel{24}}{{\cancel{4}}^{\color{red}{2}}\cdot\dfrac1{\cancel{2}}\cdot\cancel{24}\cdot t}\\ 13&=\dfrac{x^2}{2t}\\ 26t&=x^2\\ 26t&=t^2+144\\ t^2-26t+144&=0\\ (t-8)(t-18)&=0 \end{aligned}\)
Jadi, panjang garis tinggi ∆ABC dari titik C adalah 8 atau 18 cm.
JAWAB: B atau D
JAWAB: B atau D
No.
This triangle is divided into nine parallel stripes of equal height. The total area of the red stripes is 145. What is the total area of the blue stripes?ALTERNATIF PENYELESAIAN
Biru : Merah = 4:5 = 116:145
Jadi, luas semua strip biru adalah 116
No.
Jumlah dari dua sudut pada suatu segitiga adalah 95° dan selisihnya adalah 25°. Tentukan besar semua sudut pada segitiga tersebut.ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal sudut-sudutnya adalah x, y, dan z.
\(\begin{aligned} x+y&=95^\circ\\ x-y&=25^\circ&\ +\\\hline 2x&=120^\circ\\ x&=60^\circ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} x+y&=95^\circ\\ 60^\circ+y&=95^\circ\\ y&=35^\circ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} z&=180^\circ-(x+y)\\ &=180^\circ-95^\circ\\ &=85^\circ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} x+y&=95^\circ\\ x-y&=25^\circ&\ +\\\hline 2x&=120^\circ\\ x&=60^\circ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} x+y&=95^\circ\\ 60^\circ+y&=95^\circ\\ y&=35^\circ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} z&=180^\circ-(x+y)\\ &=180^\circ-95^\circ\\ &=85^\circ \end{aligned}\)
Jadi, besar semua sudut pada segitiga tersebut adalah 60°, 35°, dan 85°.
No.
Suatu segitiga siku-siku memiliki luas 3 satuan luas dan panjang hipotenusanya adalah 3 satuan. Keliling segitiga tersebut adalah- \({3+\sqrt{18}}\)
- \({3+\sqrt{27}}\)
- \({3+\sqrt{21}}\)
- \({3+\sqrt{20}}\)
- \({3+\sqrt{25}}\)
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal 2 sisi lainnya adalah a dan t
\(\begin{aligned} L&=3\\ \dfrac12at&=3\\ at&=6 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} a^2+t^2&=3^2\\ (a+t)^2-2at&=9\\ (a+t)^2-2(6)&=9\\ (a+t)^2-12&=9\\ (a+t)^2&=21\\ a+t&=\sqrt{21} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} K&=3+a+t\\ &=\boxed{\boxed{3+\sqrt{21}}} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} L&=3\\ \dfrac12at&=3\\ at&=6 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} a^2+t^2&=3^2\\ (a+t)^2-2at&=9\\ (a+t)^2-2(6)&=9\\ (a+t)^2-12&=9\\ (a+t)^2&=21\\ a+t&=\sqrt{21} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} K&=3+a+t\\ &=\boxed{\boxed{3+\sqrt{21}}} \end{aligned}\)
Jadi, keliling segitiga tersebut adalah \({3+\sqrt{21}}\).
JAWAB: C
JAWAB: C
No.
Sebuah kertas berbentuk segitiga sama sisi ABC memiliki panjang sisi 12. Kertas dilipat sehingga titik A menyentuh titik di sisi BC yang jaraknya 9 dari titik B. Panjang segmen garis hasil lipatan segitiga tersebut ditulis sebagai \(\dfrac{p\sqrt{r}}q\), dengan p, q, dan r bilangan bulat positif, p dan q saling relatif prima, dan r tidak habis dibagi kuadrat dari sembarang bilangan prima. Hasil dariALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
\cos60^\circ&=\dfrac{(12-a)^2+9^2-a^2}{2(12-a)9}\\
\dfrac12&=\dfrac{144-24a+a^2+81-a^2}{2\cdot9(12-a)}\\
1&=\dfrac{225-24a}{9(12-a)}\\
1&=\dfrac{75-8a}{3(12-a)}\\
1&=\dfrac{75-8a}{36-3a}\\
36-3a&=75-8a\\
5a&=39\\
a&=\dfrac{39}5\\
&=\dfrac{39}{35}\cdot7
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \cos60^\circ&=\dfrac{(12-b)^2+3^2-b^2}{2(12-b)3}\\ \dfrac12&=\dfrac{144-24b+b^2+9-b^2}{2\cdot3(12-b)}\\ 1&=\dfrac{153-24b}{3(12-b)}\\ 1&=\dfrac{51-8b}{12-b}\\ 12-b&=51-8b\\ 7b&=39\\ b&=\dfrac{39}7\\ &=\dfrac{39}{35}\cdot5 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} x&=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos60^\circ}\\ &=\dfrac{39}{35}\sqrt{7^2+5^2-2(7)(5)\dfrac12}\\ &=\dfrac{39}{35}\sqrt{49+25-35}\\ &=\dfrac{39}{35}\sqrt{39}\\ \end{aligned}\)
\(39+35+39=\boxed{\boxed{113}}\)
\(\begin{aligned} \cos60^\circ&=\dfrac{(12-b)^2+3^2-b^2}{2(12-b)3}\\ \dfrac12&=\dfrac{144-24b+b^2+9-b^2}{2\cdot3(12-b)}\\ 1&=\dfrac{153-24b}{3(12-b)}\\ 1&=\dfrac{51-8b}{12-b}\\ 12-b&=51-8b\\ 7b&=39\\ b&=\dfrac{39}7\\ &=\dfrac{39}{35}\cdot5 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} x&=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos60^\circ}\\ &=\dfrac{39}{35}\sqrt{7^2+5^2-2(7)(5)\dfrac12}\\ &=\dfrac{39}{35}\sqrt{49+25-35}\\ &=\dfrac{39}{35}\sqrt{39}\\ \end{aligned}\)
\(39+35+39=\boxed{\boxed{113}}\)
Jadi, p + q + r = 113 .
No.
Diketahui segitiga ABC siku-siku di B. Pada sisi AC terdapat titik P, Q, R, dan S sedimikian sehinggaALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned} a^2\cdot4k+c^2\cdot k&=5k\left(p^2+k\cdot 4k\right)\\ 4a^2+c^2&=5\left(24^2+4k^2\right)&\ {\color{red}(1)}\\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} a^2\cdot k+c^2\cdot 4k&=5k\left(s^2+k\cdot 4k\right)\\ a^2+4c^2&=5\left(45^2+4k^2\right)&\ {\color{red}(2)}\\ \end{aligned}\)
(1) dan (2) dijumlahkan
\(\begin{aligned} 5a^2+5c^2&=5\left(24^2+45^2+8k^2\right)\\ a^2+c^2&=91^2+8k^2\\ b^2&=91^2+8k^2\\ 25k^2&=91^2+8k^2\\ 17k^2&=91^2\\ k^2&=273\\ k&=3\sqrt{17} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} a^2\cdot3k+c^2\cdot 2k&=5k\left(q^2+2k\cdot 3k\right)\\ 3a^2+2c^2&=5\left(q^2+6k^2\right)&\ {\color{red}(3)}\\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} a^2\cdot2k+c^2\cdot 3k&=5k\left(r^2+3k\cdot 2k\right)\\ 2a^2+3c^2&=5\left(r^2+6k^2\right)&\ {\color{red}(4)}\\ \end{aligned}\)
(3) dan (4) dijumlahkan,
\(\begin{aligned} 5a^2+5c^2&=5\left(q^2+r^2+12k^2\right)\\ a^2+c^2&=q^2+r^2+12k^2\\ b^2&=q^2+r^2+12k^2\\ 25k^2&=q^2+r^2+12k^2\\ q^2+r^2&=13k^2\\ BQ^2+BR^2&=13(273)\\ &=\boxed{\boxed{3549}} \end{aligned}\)
Jadi, BQ2 + BR2 = 3549 .
No.
Diberikan segitiga ABC dengan lingkaran luar L berjari-jari 4 cm. Jika- \(8\sqrt2\)
- \(8\sqrt3\)
- 16
- \(16\sqrt2\)
- \(16\sqrt3\)
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
\dfrac{a}{\sin \angle A}&=2R\\
\dfrac{a}{\sin 60^{\circ}}&=2(4)\\
\dfrac{a}{\dfrac12\sqrt3}&=8\\
a&=4\sqrt3\\
a^2&=48\\
b^2+c^2-2bc\cos60^{\circ}&=48\\
b^2+c^2-2bc\left(\dfrac12\right)&=48\\
b^2+c^2-bc&=48
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned} b-c&=4\\ b^2+c^2-2bc&=16\\ 48-bc&=16\\ bc&=32 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} L&=\dfrac12bc\sin\angle A\\ &=\dfrac12\cdot32\cdot\sin60^{\circ}\\ &=16\cdot\dfrac12\sqrt3\\ &=\boxed{\boxed{8\sqrt3}} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} b-c&=4\\ b^2+c^2-2bc&=16\\ 48-bc&=16\\ bc&=32 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} L&=\dfrac12bc\sin\angle A\\ &=\dfrac12\cdot32\cdot\sin60^{\circ}\\ &=16\cdot\dfrac12\sqrt3\\ &=\boxed{\boxed{8\sqrt3}} \end{aligned}\)
Jadi, luas segitiga ABC tersebut adalah \(8\sqrt3\) cm2.
JAWAB: B
JAWAB: B
No.
Diberikan segitiga ABC dengan panjang sisi a, b, dan c. Jika a dan b akar-akar persamaan dari- 60
- 75
- 90
- 120
- 135
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
x^2+4(c+2)&=(c+4)x\\
x^2-(c+4)x+4c+8&=0
\end{aligned}\)
\(ab=4c+8\)
\(ab=4c+8\)
\(\begin{aligned}
a+b&=c+4\\
(a+b)^2&=(c+4)^2\\
a^2+2ab+b^2&=c^2+8c+16\\
a^2+8c+16+b^2&=c^2+8c+16\\
a^2+b^2&=c^2
\end{aligned}\)
Rumus di atas merupakan rumus Pythagoras sehingga segitiga ABC adalah segitiga siku-siku, sehingga sudut terbesarnya adalah 90°.
Rumus di atas merupakan rumus Pythagoras sehingga segitiga ABC adalah segitiga siku-siku, sehingga sudut terbesarnya adalah 90°.
Jadi, w = 90 .
JAWAB: C
JAWAB: C
