HOTS Zone : Bilangan Bulat [3]
Table of Contents
Tipe:
No.
Buktikan bahwa jika \(\overline{ABC}\) merupakan bilanganALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
\overline{BCA}&=100B+10C+A\\
&=10(100A+10B+C)-999A\\
&=10\overline{ABC}-37kA
\end{aligned}\)
Karena \(\overline{ABC}\) dan \(37kA\) habis dibagi 37, maka \(\overline{BCA}\) juga habis dibagi 37.
Karena \(\overline{ABC}\) dan \(37kA\) habis dibagi 37, maka \(\overline{BCA}\) juga habis dibagi 37.
Jadi, terbukti bahwa jika \(\overline{ABC}\) merupakan bilangan 3-angka yang habis dibagi 37, maka \(\overline{BCA}\) juga habis dibagi 37.
No.
Diberikan bilangan asli a dan b, denganALTERNATIF PENYELESAIAN
722 = (23⋅32)2 = 26⋅34
Banyak pembagi positif 722 ⟶(6 + 1)(4 + 1) = 35
Kita lihat bahwa jikaa + 1 = b − 3 = 72 ⟶ a = b − 4 ⟶ a < b , sehingga banyak pasangan (a,b) ada \(\left\lfloor\dfrac{35}2\right\rfloor+1=18\)
Banyak pembagi positif 722 ⟶
Kita lihat bahwa jika
Jadi, banyak pasangan (a,b) adalah 18.
No.
Banyaknya tripel bilangan bulat positif terurutALTERNATIF PENYELESAIAN
2022 = (22⋅5)22 = 244⋅522
Misala = 2p⋅5q , b = 2r⋅5s , c = 2t⋅5u
p + r + t = 44
\(C^{44+3-1}_{44}=1035\)
q + s + u = 22
\(C^{22+3-1}_{22}=276\)
1035 × 276 = 285660
Misal
p + r + t = 44
\(C^{44+3-1}_{44}=1035\)
q + s + u = 22
\(C^{22+3-1}_{22}=276\)
1035 × 276 = 285660
Jadi, banyaknya tripel bilangan bulat positif terurut (a, b, c) yang memenuhi abc = 2022 adalah 285660.
No.
Misalkan S(n) menyatakan jumlah digit dari n. Sebagai contohALTERNATIF PENYELESAIAN
2023 = 2⋅1012 − 1
\(\begin{aligned} S(1)-S(2)+S(3)-S(4)+\cdots+S(2023)-S(2024)&=-1+(-1)+\cdots+(-1)\\ &=-1\cdot1012\\ &=\boxed{\boxed{-1012}} \end{aligned}\)
Jadi, nilai dari S(1) − S(2) + S(3) − S(4) + ⋯ + S(2023) − S(2024) adalah −1012.
No.
Palindrom adalah bilangan yang sama dibaca dari depan atau dari belakang. Sebagai contoh 12321 dan 32223 merupakan palindrom. Palindrom 5 digit terbesar yang habis dibagi 303 adalah ....ALTERNATIF PENYELESAIAN
303 = 101⋅3
Agar menghasilkan bilangan 5 digit, 101 harus dikalikan dengan bilangan 3 digit.
\(101\times\overline{ABC}=\begin{cases}\overline{AB(A+C)BC},\text{ jika }A+C\lt10\\[3pt]\overline{A(B+1)(A+C)BC},\text{ jika }A+C\geq10\end{cases}\)
Agar menghasilkan bilangan palindrom, makaA = C dan A + C = 2A < 10 .
Nilai A terbesar adalah 4. Sehingga bilangan palindromnya adalah \(\overline{4B8B4}\).
Agar bilangan tersebut habis dibagi 3, maka \begin{aligned} 4+B+8+B+4&=3k\\ 2B+16&=3k \end{aligned} 2B ∈ {2, 5, 8, 11, 14, 17} atau
B ∈ {1, 4, 7}
Nilai B terbesar adalah 7.
Agar menghasilkan bilangan 5 digit, 101 harus dikalikan dengan bilangan 3 digit.
\(101\times\overline{ABC}=\begin{cases}\overline{AB(A+C)BC},\text{ jika }A+C\lt10\\[3pt]\overline{A(B+1)(A+C)BC},\text{ jika }A+C\geq10\end{cases}\)
Agar menghasilkan bilangan palindrom, maka
Nilai A terbesar adalah 4. Sehingga bilangan palindromnya adalah \(\overline{4B8B4}\).
Agar bilangan tersebut habis dibagi 3, maka \begin{aligned} 4+B+8+B+4&=3k\\ 2B+16&=3k \end{aligned} 2B ∈ {2, 5, 8, 11, 14, 17} atau
B ∈ {1, 4, 7}
Nilai B terbesar adalah 7.
Jadi, palindrom 5 digit terbesar yang habis dibagi 303 adalah 47874.
No.
Suatu bilangan empat digit 8ab9 merupakan suatu bilangan kuadrat. Nilai dariALTERNATIF PENYELESAIAN
90 < 8ab9 < 100
karena satuannya 9, bilangan kuadrat tersebut satuannya 3 atau 7, dan yang lebih dekat ke 90 adalah 93.
932 = 8649
6 + 4 = 10
karena satuannya 9, bilangan kuadrat tersebut satuannya 3 atau 7, dan yang lebih dekat ke 90 adalah 93.
932 = 8649
6 + 4 = 10
Jadi, nilai dari a + b adalah 10.
No.
Banyak bilangan 4 digit yang habis dibagi 3 dan memuat angka 6 adalah ....ALTERNATIF PENYELESAIAN
Oleh Pak Anang
Perhatikan, bilangan \(\overline{abcd}\) adalah bilangan 4-digit yang habis dibagi 3 dan memuat angka 6.
Pertama kita cari dulu bilangan 4-digit yang habis dibagi 3, yaitu bilangan mulai dari 1002 sampai 9999. Banyak bllangan seperti inl adalah \begin{aligned} U_n&=a+(n-1)b\\ 9999&=1002+(n-1)3\\ 8997&=(n-1)3\\ 2999&=n-1\\ 3000&=n \end{aligned} Lalu, kita cari bilangan 4-dlglt yang habls d1bagl 3, dan tidak memuat bllangan 6.3 × (8 × 9 × 9) = 1944.
Jadi, dengan demikian diperoleh banyaknya bilangan 4-digit yang habis dibagi 3 dan memuat angka 6 adalah3000 − 1944 = 1056.
Perhatikan, bilangan \(\overline{abcd}\) adalah bilangan 4-digit yang habis dibagi 3 dan memuat angka 6.
Pertama kita cari dulu bilangan 4-digit yang habis dibagi 3, yaitu bilangan mulai dari 1002 sampai 9999. Banyak bllangan seperti inl adalah \begin{aligned} U_n&=a+(n-1)b\\ 9999&=1002+(n-1)3\\ 8997&=(n-1)3\\ 2999&=n-1\\ 3000&=n \end{aligned} Lalu, kita cari bilangan 4-dlglt yang habls d1bagl 3, dan tidak memuat bllangan 6.
- Digit ribuan dapat diisi angka 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9. Ada 8 angka yang dapat mengisi digit ribuan.
- Digit ratusan dapat diisi angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9. Ada 9 angka dapat mengisi digit ratusan.
- Digit puluhan dapat diisl angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9. Ada 9 angka dapat mengisl digit puluhan.
- Perhatlkan bahwa apabila \(\overline{abc}\) bilangan 3-digit, maka akan ada 3 kemungkinan digit satuan dari bllangan 4-diglt \(\overline{abcd}\) yang habis dlbagl 3. Digit satuan tersebut dapat dlisi salah satu dari tiga kemungkinan pasangan bilangan berikut (0/3/9), (1/4/7), (2/5/8).
Jadi, dengan demikian diperoleh banyaknya bilangan 4-digit yang habis dibagi 3 dan memuat angka 6 adalah
Jadi, banyak bilangan 4 digit yang habis dibagi 3 dan memuat angka 6 adalah 1056.
No.
Suatu bilangan empat digit 7ab9 merupakan suatu bilangan kuadrat. Nilai dariALTERNATIF PENYELESAIAN
802 < 7ab9 < 902
karena satuannya 9, akar bilangan kuadrat tersebut satuannya 3 atau 7.
832 = 6889
872 = 7569
a + b = 5 + 6 = 11
karena satuannya 9, akar bilangan kuadrat tersebut satuannya 3 atau 7.
832 = 6889
872 = 7569
a + b = 5 + 6 = 11
Jadi, nilai dari a + b adalah 11.
No.
Andi sedang kebosanan, ia sedang memikirkan sebuah hal mengenai pembagian. Ia ingin mencari banyaknya bilangankuadrat kurang dari 1000 yang habis dibagi 8 tapi ketika dibagi 5 bersisa 1, ia menyebut bilangan-bilangan itu sebagai turu apabila memenuhi hal-hal tersebut. Banyaknya bilangan turu yang dapat Andi temukan adalah ....- 3
- 4
- 5
- 6
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal bilangan kuadrat yang habis dibagi 8 adalah n2, maka n = 22k = 4k dengan k bilangan bulat. Kita lihat bahwa n2 adalah bilangan genap dimana n habis dibagi 4
n2 < 1000 ⟶ n ≤ 31
Bilangan yang ketika dibagi 5 bersisa 1 mempunyai satuan 1 atau 6. Karena bilangan kuadrat tersebut bilangan genap, maka satuannya 6. Jika satuan dari n2 adalah 6 maka satuan dari n adalah 4 atau 6.
Nilai n ≤ 31 yang habis dibagi 4 dan mempunyai satuan 4 atau 6 adalah 4, 16, dan 24.
Bilangan yang ketika dibagi 5 bersisa 1 mempunyai satuan 1 atau 6. Karena bilangan kuadrat tersebut bilangan genap, maka satuannya 6. Jika satuan dari n2 adalah 6 maka satuan dari n adalah 4 atau 6.
Nilai n ≤ 31 yang habis dibagi 4 dan mempunyai satuan 4 atau 6 adalah 4, 16, dan 24.
Jadi, banyaknya bilangan turu yang dapat Andi temukan adalah 3.
JAWAB: A
JAWAB: A
No.
Bilangan segitiga adalah bilangan yang berbentuk \(\dfrac{n(n+1)}2\), dengan n adalah bilangan asli. Banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah ....- 8
- 9
- 10
- 13
- 15
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\begin{aligned}
\dfrac{n(n+1)}2&\lt;100\\
n(n+1)&\lt;200
\end{aligned}
Kita cari bilangan kuadrat yang mendekati 200, yaitu 142 = 196.
Karena14(15) = 210 maka n terbesar adalah 13.
Karena
Jadi, banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah 13.
JAWAB: D
JAWAB: D
Post a Comment