HOTS Zone : Cauchy Schwarz

Table of Contents

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Cauchy Schwarz. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

STANDARSNBTHOTS

No.

Diberikan bilangan real x dan y sehingga memenuhi persamaan 4x² + y² = 4x − 2y + 7. Jika diketahui nilai maksimum dan minimum dari 5x + 6y adalah berturut-turut A dan B, maka carilah nilai |A| + |B| (|x| menyatakan nilai muthlak dari x)

SUMBER

ALTERNATIF PENYELESAIAN

\(\begin{aligned} 4x^2+y^2&=4x^2-2y+7\\ 4x^2-4x+y^2+2y&=7\\ (2x-1)^2+(y+1)^2&=3^2 \end{aligned}\)
Misal
\(2x-1=a\longrightarrow x=\dfrac{a+1}2\)
\(y+1=b\longrightarrow y=b-1\)

\(\begin{aligned} 5x+6y&=5\cdot\dfrac{a+1}2+6(b-1)\\[3.8pt] &=\dfrac{5a+5}2+6b-6\\[3.8pt] &=\dfrac{5a+12b-7}2 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} (5a+12b)^2&\leq(5^2+12^2)(a^2+b^2)\\ &\leq(13^2)(3^2)\\ &\leq39^2 \end{aligned}\)
\(\begin{array}{rcccl} -39&\leq&5a+12b&\leq&39\\ -39&\leq&5(2x-1)+12(y+1)&\leq&39\\ -39&\leq&10x-5+12y+12&\leq&39\\ -39&\leq&10x+12y+7&\leq&39\\ -46&\leq&10x+12y&\leq&32\\ -23&\leq&5x+6y&\leq&16 \end{array}\)

\(\begin{aligned} |A|+|B|&=|16|+|-23|\\ &=\boxed{\boxed{39}} \end{aligned}\)

Jadi, |A| + |B| = 39.

---

No.

Misalkan m merupakan nilai terbesar dari z yang memenuhi x + y + z = 5 dan xy + xz + yz = 3. Jika m dapat dituliskan sebagai \(m =\dfrac{p}q\), dengan p dan q merupakan bilangan bulat positif yang relatif prima, nilai dari p + q adalah ....

Grup whatsapp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

\(\begin{aligned} x^2+y^2+z^2&=(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)\\ &=5^2-2(3)\\ &=25-6\\ &=19 \end{aligned}\)

Dengan menggunakan Cauchy Schwarz Inequality,
\(\begin{aligned} \left(x^2+y^2\right)\left(1^2+1^2\right)&\geq(x+y)^2\\ \left(19-z^2\right)\left(2\right)&\geq(5-z)^2\\ 38-2z^2&\geq25-10z+z^2\\ 3z^2-10z-13&\leq0\\ (3z-13)(z+1)&\leq0 \end{aligned}\)
\(-1\leq z\leq \dfrac{13}3\)

p = 13, q = 3,
p + q = 13 + 3 = 16

Jadi, p + q = 16.

---