HOTS Zone : Kombinasi dengan Pengulangan (Combination with Repetition)

Table of Contents

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Kombinasi dengan Pengulangan. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

STANDARSNBTHOTS

No. 1

Diberikan bilangan asli a, b, c, d dimana a + b + c + d = 10. Jika a < 3 dan c > 3, maka banyak pasangan (a, b, c, d) yang mungkin adalah ....

Komunitas Pendidik Matematika

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal a = a' + 1, b = b' + 1, c = c' + 4, dan d = d' + 1, sehingga
$\begin{array}{rl}{a}^{\prime }+1+b^{\prime }+1+c^{\prime }+4+d^{\prime }+1& =10\\ a^{\prime }+b^{\prime }+c^{\prime }+d^{\prime }& =3\end{array}$
a' < 2

Jika a' = 0, b' + c' + d' = 3
$C_3^{3+3-1}=10$

Jika a' = 1, b' + c' + d' = 2
$C_2^{3+2-1}=6$

10 + 6 = 16

Jadi, banyak pasangan (a, b, c, d) yang mungkin adalah 16.

---

No. 2

Diberikan bilangan asli a, b, c, d dimana 2a + 2b + 2c + d = 15. Maka banyak pasangan (a, b, c, d) yang mungkin adalah ....

Komunitas Pendidik Matematika

ALTERNATIF PENYELESAIAN

d harus ganjil. Misal a = a' + 1, b = b' + 1, c = c' + 1, dan d = 2d' + 1, sehingga

Related: loading

$\begin{array}{rl}2(a^{\prime }+1)+2(b^{\prime }+1)+2(c^{\prime }+1)+2d^{\prime }+1& =15\\ 2a^{\prime }+2+2b^{\prime }+2+2c^{\prime }+2+2d^{\prime }+1& =15\\ 2a^{\prime }+2b^{\prime }+2c^{\prime }+2d^{\prime }& =8\\ a^{\prime }+b^{\prime }+c^{\prime }+d^{\prime }& =4\end{array}$

$C_4^{4+4-1}=\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 35}}}}$

Jadi, banyak pasangan (a, b, c, d) yang mungkin adalah 35.

---

No. 3

Bilangan OSK adalah bilangan 4 angka yang tidak dimulai dengan angka 0 dan hasil penjumlahan semua digitnya adalah 8. Sebagai contoh, 2024 merupakan bilangan OSK. Banyaknya bilangan OSK adalah ....

OSK SMA 2024

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal bilangannya adalah $\overline{abcd}$ dengan a ≥ 1; b, c, d ≥ 0. Misal a = a' + 1.
$\begin{array}{rl}a+b+c+d& =8\\ (a^{\prime }+1)+b+c+d& =8\\ a^{\prime }+b+c+d& =7\end{array}$

$\begin{array}{rl}{C}_7^{7+4-1}& =C_7^{10}\\ & ={\displaystyle \frac{10!}{(10-7)!\cdot 7!}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\cdot \text{cancelto}39\cdot \text{cancelto}48\cdot \text{cancel}7!}{\text{cancel}3\text{cancel}2\cdot \text{cancel}7!}}\\ & =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black120}}}}\end{array}$

Jadi, banyaknya bilangan OSK adalah 120.

---

No. 4

Tentukan banyaknya tripel bilangan asli (a, b, c), dimana ketiganya tidak habis dibagi 3, sedemikin sehingga a + b + c = 60.

Grup WhatsApp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

• Jika a, b, c ≡ 1 mod 3

  $\begin{array}{rl}a+b+c& =60\\ (3k+1)+(3l+1)+(3m+1)& =60\\ k+l+m& =19\end{array}$
  banyak tripel = $\binom{19+3-1}{3-1}=210$
  

• Jika a, b, c ≡ 2 mod 3

  $\begin{array}{rl}a+b+c& =60\\ (3k+2)+(3l+2)+(3m+2)& =60\\ k+l+m& =18\end{array}$
  banyak tripel = $\binom{18+3-1}{3-1}=190$
  

210 + 190 = 400

Jadi, banyaknya tripel bilangan asli (a, b, c), dimana ketiganya tidak habis dibagi 3, sedemikin sehingga a + b + c = 60 adalah 400.

---