Home Aljabar Soal dan Pembahasan Tingkat HOTS

HOTS Zone : Aljabar [3]

Image
Idham Muqoddas
Updated: • 0 • min read
Table of Contents
Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Aljabar. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

STANDARSNBTHOTS

No.

x(x + y + z) = 3
y(x + y + z) = 6
z(x + y + z) = 9
cari nilai xyz
Grup Matematika Idhamdaz
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned} x(x+y+z)&=3\\ y(x+y+z)&=6\\ z(x+y+z)&=9&{\color{red}+}\\\hline (x+y+z)(x+y+z)&=18\\ (x+y+z)^2&=18\\ x+y+z&=3\sqrt2 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} x(x+y+z)\cdot y(x+y+z)\cdot z(x+y+z)&=3\cdot6\cdot9\\ xyz(x+y+z)^3&=162\\ xyz\left(3\sqrt2\right)^3&=162\\ xyz\left(108\sqrt2\right)&=162\\ xyz&=\dfrac{162}{108\sqrt2}\\ &=\boxed{\boxed{\dfrac34\sqrt2}} \end{aligned}\)
Jadi, \(xyz=\dfrac34\sqrt2\).

No.

Dua tim A dan B bertanding sepak bola sebanyak 13 kali. Tiap pertandingan, tim yang berhasil mencetak 5 gol pertama adalah pemenang dan tidak ada pertandingan yang berakhir seri. Selama 13 pertandingan, Tim A menang lebih banyak dari B, sedangkan gol tim B lebih banyak dari tim A. Selisih total gol terbesar antara kedua tim tersebut adalah ....
OSK 2023 SMA
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Kita buat jumlah gol tim A seminimal mungkin dan jumlah gol tim B semaksimal mungkin. Tim A paling sedikit menang 7 kali, dan tim B paling banyak menang 6 kali. Agar jumlah gol tim A minimal, maka tim A tidak menggolkan sama sekali pada 6 pertandingan. Agar jumlah gol tim B maksimal, maka tim B membuat 4 gol di setiap pertandingan dalam 7 pertandingan. Misal jumlah gol tim A adalah A, dan jumlah hol tim B adalah B. \begin{aligned} B-A&=(6\cdot5+4\cdot7)-(7\cdot5)\\ &=(58)-(35)\\ &=\boxed{\boxed{23}} \end{aligned}
Jadi, selisih total gol terbesar antara kedua tim tersebut adalah 23.

No.

Jika \(a=\sqrt{\dfrac{b}{1-b}}\), maka b dinyatakan dalam a adalah ....
  1. b = 1 + a2
  2. \(b=\dfrac{1+a^2}{a^2}\)
  3. \(b=\dfrac{a^2}{1+a^2}\)
  1. \(b=\dfrac{1-a^2}{a^2}\)
  2. \(b=\dfrac{a^2}{1-a^2}\)
OSK SMP 2004
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\begin{aligned} a&=\sqrt{\dfrac{b}{1-b}}\\[3.7pt] a^2&\dfrac{b}{1-b}\\[3.7pt] a^2-a^2b&=b\\ a^2&=b+a^2b\\ a^2&=b\left(1+a^2\right)\\[3.7pt] \dfrac{a^2}{1+a^2}&=b\\[3.7pt] b&=\dfrac{a^2}{1+a^2} \end{aligned}
Jadi, b dinyatakan dalam a adalah \(b=\dfrac{a^2}{1+a^2}\).
JAWAB: C

No.

Bilangan segitiga adalah bilangan yang berbentuk \(\dfrac{n(n+1)}2\), dengan n adalah bilangan asli. Banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah ....
  1. 8
  2. 9
  3. 10
  1. 13
  2. 15
OSK SMP 2004
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\begin{aligned} \dfrac{n(n+1)}2&\lt100\\ n(n+1)&\lt200 \end{aligned} Kita cari bilangan kuadrat yang mendekati 200, yaitu 142 = 196.
Karena 14(15) = 210 maka n terbesar adalah 13.
Jadi, banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah 13.
JAWAB: D

No.

Jika \(a\star b=a^2+ab-\dfrac{3a}b\), maka jumlah semua nilai berbeda \(x\) sehingga \(6\star x=24\) adalah ....
  1. 2
  2. 4
  1. −2
  2. −4
KTOM - TO OSK SMP 2023
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\begin{aligned} 6\star x&=24\\ 6^2+6x-\dfrac{3\cdot6}x&=24&{\color{red}\times\dfrac{x}6}\\ 6x+x^2-3&=4x\\ x^2+2x-3&=0 \end{aligned} \begin{aligned} x_1+x_2&=\dfrac{-2}1\\ &=\boxed{\boxed{-2}} \end{aligned}
Jadi, jumlah semua nilai berbeda \(x\) sehingga \(6\star x=24\) adalah −2.
JAWAB: D

No.

Diberikan pasangan bilangan real (a1, b1) dan (a2, b2) yang memenuhi sistem persamaan \begin{cases}a\sqrt{2ab}+b\sqrt{2ab}&=2\\a^2+4ab+b^2&=5.\end{cases} Nilai dari a1 + a2 + b1 + b2 adalah ...
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  1. 4
  2. 5
Grup WhatsApp
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal p = a + b, dan \(q=\sqrt{2ab}\gt0\).

pq = 2 → p > 0

p2 + q2 = 5

\(\begin{aligned} p^2+2pq+q^2&=4+5\\ (p+q)^2&=9\\ p+q&=3 \end{aligned}\)
didapat p = 1 dan q = 2, atau q = 1 dan p = 2
  • p = 1
    a + b = 1

    \(\begin{aligned} q&=2\\ \sqrt{2ab}&=2\\ ab&=2 \end{aligned}\)
    tidak ada nilai a dan b real yang memenuhi.

  • p = 2
    a + b = 2

    \(\begin{aligned} q&=1\\ \sqrt{2ab}&=1\\ ab&=\dfrac12 \end{aligned}\)

    a dan b adalah akar dari
    \(x^2-2x+\dfrac12=0\)
    akar-akarnya adalah (a, b) atau (b, a), sehingga a1 = b2 dan a2 = b1
    \(\begin{aligned} a_1+a_2+b_1+b_2&=2(a_1+b_1)\\ &=2(2)\\ &=4 \end{aligned}\)
Jadi,
JAWAB:

No.

Pernyataan manakah yang benar ?
  1. Jika x < 0 maka x2 > x
  2. Jika x2 > 0 maka x > 0
  3. Jika x2 > x maka x > 0
  1. Jika x2 > x maka x < 0
  2. Jika x < 1 maka x2 < x
OSK SMA 2002
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Dasar teori :
Jika x < 0 maka x2 > x
Jika 0 < x < 1 maka x2 < x
Jika x > 1 maka x2 > x
  1. Benar
  2. Salah karena jika x2 > 0 dimungkinkan x < 0 atau x > 0
  3. Salah. Karena x2 > x maka x(x − 1) > 0 sehingga x < 0 atau x > 1
  4. Salah. Alasan sama dengan opsi C
  5. Salah. Karena ika x < 0 < 1 maka x2 > x
Jadi, pernyataan yang benar adalah jika x < 0 maka x2 > x.
JAWAB: A

No.

\(a=-\sqrt3+\sqrt5+\sqrt7\)
\(b=\sqrt3-\sqrt5+\sqrt7\)
\(c=\sqrt3+\sqrt5-\sqrt7\)

\(\dfrac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^4}{(b-a)(b-c)}+\dfrac{c^4}{(c-a)(c-b)}=\) ....
Grup Telegram
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned} \dfrac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^4}{(b-a)(b-c)}+\dfrac{c^4}{(c-a)(c-b)}&=\dfrac{-a^4}{(a-b)(c-a)}+\dfrac{-b^4}{(a-b)(b-c)}+\dfrac{-c^4}{(c-a)(b-c)}\\[4pt] &=\dfrac{-a^4(b-c)-b^4(c-a)-c^4(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\\[4pt] &=\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)\left((a+b)^2+(b+c)^2+(a+c)^2\right)}{2(a-b)(b-c)(c-a)}\\[4pt] &=\dfrac{(a+b)^2+(b+c)^2+(a+c)^2}2\\[4pt] &=\dfrac{\left(2\sqrt7\right)^2+\left(2\sqrt3\right)^2+\left(2\sqrt5\right)^2}2\\[4pt] &=\dfrac{28+12+20}2\\[4pt] &=\dfrac{60}2\\ &=\boxed{\boxed{30}} \end{aligned}\)
Jadi, \(\dfrac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^4}{(b-a)(b-c)}+\dfrac{c^4}{(c-a)(c-b)}=30\).

No.

Misalkan x−n sama dengan \(\left(\dfrac1x\right)^n\) untuk setiap bilangan real x. Maka a3 − a−3 sama dengan ....
  1. \(\left(a-\dfrac1a\right)\left(a^2+1+\dfrac1{a^2}\right)\)
  2. \(\left(\dfrac1a-a\right)\left(a^2-1+\dfrac1{a^2}\right)\)
  3. \(\left(a-\dfrac1a\right)\left(a^2-2+\dfrac1{a^2}\right)\)
  1. \(\left(\dfrac1a-a\right)\left(\dfrac1{a^2}+1+a^2\right)\)
  2. bukan diantara A, B, C dan D
OSK SMA 2002
ALTERNATIF PENYELESAIAN
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

\(\begin{aligned} a^3-a^{-3}&=a^3-\left(\dfrac1a\right)^3\\[4pt] &=\left(a-\dfrac1a\right)\left(a^2+a\cdot\dfrac1a+\left(\dfrac1a\right)^2\right)\\ &=\boxed{\boxed{\left(a-\dfrac1a\right)\left(a^2+1+\dfrac1{a^2}\right)}} \end{aligned}\)
Jadi, \(a^3-a^{-3}=\left(a-\dfrac1a\right)\left(a^2+1+\dfrac1{a^2}\right)\).
JAWAB: A

No.

Jika untuk setiap x, y bilangan real berlaku x$y = xy − x + y maka (x + y)$(x − y) sama dengan ....
  1. x2 − y2 + 2x
  2. x2 − y2 − 2x
  3. x2 − y2 + 2y
  1. x2 − y2 − 2y
  2. x2 − y2
OSK SMA 2002
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned} (x+y)\$(x-y)&=(x+y)(x-y)-(x+y)+(x-y)\\ &=x^2-y^2-x-y+x-y\\ &=\boxed{\boxed{x^2-y^2-2y}} \end{aligned}\)
Jadi, (x + y)$(x − y) = x2 − y2 − 2y.
JAWAB: D


Post a Comment