HOTS Zone : Aljabar [3]

Table of Contents

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Aljabar. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

STANDARSNBTHOTS

123456

No. 21

x(x + y + z) = 3
y(x + y + z) = 6
z(x + y + z) = 9
cari nilai xyz

Grup Matematika Idhamdaz

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}x(x+y+z)& =3\\ y(x+y+z)& =6\\ z(x+y+z)& =9& \text{color}red+\\ (x+y+z)(x+y+z)& =18\\ (x+y+z{)}^2& =18\\ x+y+z& =3\sqrt{2}\end{array}$

$\begin{array}{rl}x(x+y+z)\cdot y(x+y+z)\cdot z(x+y+z)& =3\cdot 6\cdot 9\\ xyz(x+y+z{)}^3& =162\\ xyz{\left(3\sqrt{2}\right)}^3& =162\\ xyz\left(108\sqrt{2}\right)& =162\\ xyz& ={\displaystyle \frac{162}{108\sqrt{2}}}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{3}{4}}\sqrt{2}}}}}\end{array}$

Jadi, $xyz={\displaystyle \frac{3}{4}}\sqrt{2}$.

---

No. 22

Dua tim A dan B bertanding sepak bola sebanyak 13 kali. Tiap pertandingan, tim yang berhasil mencetak 5 gol pertama adalah pemenang dan tidak ada pertandingan yang berakhir seri. Selama 13 pertandingan, Tim A menang lebih banyak dari B, sedangkan gol tim B lebih banyak dari tim A. Selisih total gol terbesar antara kedua tim tersebut adalah ....

OSK 2023 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Kita buat jumlah gol tim A seminimal mungkin dan jumlah gol tim B semaksimal mungkin. Tim A paling sedikit menang 7 kali, dan tim B paling banyak menang 6 kali. Agar jumlah gol tim A minimal, maka tim A tidak menggolkan sama sekali pada 6 pertandingan. Agar jumlah gol tim B maksimal, maka tim B membuat 4 gol di setiap pertandingan dalam 7 pertandingan. Misal jumlah gol tim A adalah A, dan jumlah hol tim B adalah B. $$\begin{array}{rl}B-A& =(6\cdot 5+4\cdot 7)-(7\cdot 5)\\ & =(58)-(35)\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 23}}}}\end{array}$$

Jadi, selisih total gol terbesar antara kedua tim tersebut adalah 23.

---

No. 23

Jika $a=\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{1-b}}}$, maka b dinyatakan dalam a adalah ....

1. b = 1 + a²
2. $b={\displaystyle \frac{1+a^2}{a^2}}$
3. $b={\displaystyle \frac{a^2}{1+a^2}}$

4. $b={\displaystyle \frac{1-a^2}{a^2}}$
5. $b={\displaystyle \frac{a^2}{1-a^2}}$

OSK SMP 2004

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}a& =\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{1-b}}}\\ a^2& {\displaystyle \frac{b}{1-b}}\\ a^2-a^{2}b& =b\\ a^2& =b+a^{2}b\\ a^2& =b(1+a^2)\\ {\displaystyle \frac{a^2}{1+a^2}}& =b\\ b& ={\displaystyle \frac{a^2}{1+a^2}}\end{array}$$

Jadi, b dinyatakan dalam a adalah $b={\displaystyle \frac{a^2}{1+a^2}}$.
JAWAB: C

---

No. 24

Bilangan segitiga adalah bilangan yang berbentuk ${\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$, dengan n adalah bilangan asli. Banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah ....

1. 8
2. 9
3. 10

4. 13
5. 15

OSK SMP 2004

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}& <100\\ n(n+1)& <200\end{array}$$ Kita cari bilangan kuadrat yang mendekati 200, yaitu 14² = 196.
Karena 14(15) = 210 maka n terbesar adalah 13.

Jadi, banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah 13.
JAWAB: D

---

No. 25

Jika $a\star b=a^2+ab-{\displaystyle \frac{3a}{b}}$, maka jumlah semua nilai berbeda $x$ sehingga $6\star x=24$ adalah ....

1. 2
2. 4

3. −2
4. −4

KTOM - TO OSK SMP 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}6\star x& =24\\ 6^2+6x-{\displaystyle \frac{3\cdot 6}{x}}& =24& \text{color}red\times {\displaystyle \frac{x}{6}}\\ 6x+x^2-3& =4x\\ x^2+2x-3& =0\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{x}_1+x_2& ={\displaystyle \frac{-2}{1}}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle -2}}}}\end{array}$$

Jadi, jumlah semua nilai berbeda $x$ sehingga $6\star x=24$ adalah −2.
JAWAB: D

---

No. 26

Diberikan pasangan bilangan real (a₁, b₁) dan (a₂, b₂) yang memenuhi sistem persamaan $$\{\begin{array}{ll}a\sqrt{2ab}+b\sqrt{2ab}& =2\\ a^2+4ab+b^2& =5.\end{array}$$ Nilai dari a₁ + a₂ + b₁ + b₂ adalah ...

1. 1
2. 2
3. 3

4. 4
5. 5

Grup WhatsApp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal p = a + b, dan $q=\sqrt{2ab}>0$.

pq = 2 → p > 0

p² + q² = 5

$\begin{array}{rl}{p}^2+2pq+q^2& =4+5\\ (p+q{)}^2& =9\\ p+q& =3\end{array}$
didapat p = 1 dan q = 2, atau q = 1 dan p = 2

• p = 1
  a + b = 1
  
  $\begin{array}{rl}q& =2\\ \sqrt{2ab}& =2\\ ab& =2\end{array}$
  tidak ada nilai a dan b real yang memenuhi.
  
  
• p = 2
  a + b = 2
  
  $\begin{array}{rl}q& =1\\ \sqrt{2ab}& =1\\ ab& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$
  
  a dan b adalah akar dari
  $x^2-2x+{\displaystyle \frac{1}{2}}=0$
  akar-akarnya adalah (a, b) atau (b, a), sehingga a₁ = b₂ dan a₂ = b₁
  $\begin{array}{rl}{a}_1+a_2+b_1+b_2& =2(a_1+b_1)\\ & =2(2)\\ & =4\end{array}$

Jadi,
JAWAB:

---

No. 27

Pernyataan manakah yang benar ?

1. Jika x < 0 maka x² > x
2. Jika x² > 0 maka x > 0
3. Jika x² > x maka x > 0

4. Jika x² > x maka x < 0
5. Jika x < 1 maka x² < x

OSK SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Dasar teori :
Jika x < 0 maka x² > x

Related: loading

Jika 0 < x < 1 maka x² < x
Jika x > 1 maka x² > x

1. Benar
2. Salah karena jika x² > 0 dimungkinkan x < 0 atau x > 0
3. Salah. Karena x² > x maka x(x − 1) > 0 sehingga x < 0 atau x > 1
4. Salah. Alasan sama dengan opsi C
5. Salah. Karena ika x < 0 < 1 maka x² > x

Jadi, pernyataan yang benar adalah jika x < 0 maka x² > x.
JAWAB: A

---

No. 28

$a=-\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}$
$b=\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{7}$
$c=\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{7}$

${\displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}}+{\displaystyle \frac{b^4}{(b-a)(b-c)}}+{\displaystyle \frac{c^4}{(c-a)(c-b)}}=$ ....

Grup Telegram

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}}+{\displaystyle \frac{b^4}{(b-a)(b-c)}}+{\displaystyle \frac{c^4}{(c-a)(c-b)}}& ={\displaystyle \frac{-a^4}{(a-b)(c-a)}}+{\displaystyle \frac{-b^4}{(a-b)(b-c)}}+{\displaystyle \frac{-c^4}{(c-a)(b-c)}}\\ & ={\displaystyle \frac{-a^4(b-c)-b^4(c-a)-c^4(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}}\\ & ={\displaystyle \frac{(a-b)(b-c)(c-a)((a+b{)}^2+(b+c{)}^2+(a+c{)}^2)}{2(a-b)(b-c)(c-a)}}\\ & ={\displaystyle \frac{(a+b{)}^2+(b+c{)}^2+(a+c{)}^2}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\left(2\sqrt{7}\right)}^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+{\left(2\sqrt{5}\right)}^2}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{28+12+20}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{60}{2}}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 30}}}}\end{array}$

Jadi, ${\displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}}+{\displaystyle \frac{b^4}{(b-a)(b-c)}}+{\displaystyle \frac{c^4}{(c-a)(c-b)}}=30$.

---

No. 29

Misalkan x⁻ⁿ sama dengan ${\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^n$ untuk setiap bilangan real x. Maka a³ − a⁻³ sama dengan ....

1. $(a-{\displaystyle \frac{1}{a}})(a^2+1+{\displaystyle \frac{1}{a^2}})$
2. $({\displaystyle \frac{1}{a}}-a)(a^2-1+{\displaystyle \frac{1}{a^2}})$
3. $(a-{\displaystyle \frac{1}{a}})(a^2-2+{\displaystyle \frac{1}{a^2}})$

4. $({\displaystyle \frac{1}{a}}-a)({\displaystyle \frac{1}{a^2}}+1+a^2)$
5. bukan diantara A, B, C dan D

OSK SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

$\begin{array}{rl}{a}^3-a^{-3}& =a^3-{\left({\displaystyle \frac{1}{a}}\right)}^3\\ & =(a-{\displaystyle \frac{1}{a}})(a^2+a\cdot {\displaystyle \frac{1}{a}}+{\left({\displaystyle \frac{1}{a}}\right)}^2)\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle (a-{\displaystyle \frac{1}{a}})(a^2+1+{\displaystyle \frac{1}{a^2}})}}}}\end{array}$

Jadi, $a^3-a^{-3}=(a-{\displaystyle \frac{1}{a}})(a^2+1+{\displaystyle \frac{1}{a^2}})$.
JAWAB: A

---

No. 30

Jika untuk setiap x, y bilangan real berlaku x$y = xy − x + y maka (x + y)$(x − y) sama dengan ....

1. x² − y² + 2x
2. x² − y² − 2x
3. x² − y² + 2y

4. x² − y² − 2y
5. x² − y²

OSK SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}(x+y)\mathrm{\$}(x-y)& =(x+y)(x-y)-(x+y)+(x-y)\\ & =x^2-y^2-x-y+x-y\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle x^2-y^2-2y}}}}\end{array}$

Jadi, (x + y)$(x − y) = x² − y² − 2y.
JAWAB: D

---

123456