HOTS Zone : Fungsi Kuadrat (Parabola)

Table of Contents

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Fungsi Kuadrat (Parabola). Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

STANDARSNBTHOTS

No.

Titik (a,b) terletak pada grafik y = bx² + (1 − b²)x − 56. Jika a − b = 7, maka nilai ab adalah ....

1. 7
2. 5
3. 1

4. −1
5. −5

Grup Matematika Idhamdaz

ALTERNATIF PENYELESAIAN

\begin{aligned} y&=bx^2+\left(1-b^2\right)x-56\\ b&=ba^2+\left(1-b^2\right)a-56\\ 56&=ba^2+a-b^2a-b\\ 56&=a^2b+-ab^2+a-b\\ 56&=ab(a-b)+a-b\\ 56&=ab(7)+7\\ 49&=7ab\\ ab&=\boxed{\boxed{7}} \end{aligned}

Jadi, nilai ab adalah 7.
JAWAB: A

---

No.

Fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c dengan koefisien bilangan real, memenuhi:

x² − 2x + 2 ≤ P(x) ≤ 2x² − 4x + 3

untuk setiap bilangan real x. Jika P(11) = 181 maka nilai dari P(16) = ....

Grup Telegram

ALTERNATIF PENYELESAIAN

\(\begin{array}{rcccl} x^2-2x+2&\leq &P(x)&\leq&2x^2-4x+3\\ x^2-2x+1+1&\leq &P(x)&\leq&2x^2-4x+2+1\\ (x-1)^2+1&\leq &P(x)&\leq&2\left(x^2-2x+1\right)+1\\ (x-1)^2+1&\leq &P(x)&\leq&2(x-1)^2+1\\ (x-1)^2&\leq &P(x)-1&\leq&2(x-1)^2 \end{array}\)

Sehingga,
\(\eqalign{ P(x)-1&=a(x-1)^2\\ P(x)&=a(x-1)^2+1 }\)
dengan 1 ≤ a ≤ 2

\(\eqalign{ P(11)&=181\\ a(11-1)^2+1&=181\\ a(10)^2&=180\\ 100a&=180\\ a&=\dfrac{180}{100}\\ &=\dfrac95 }\)

\(\eqalign{ P(16)&=\dfrac95(16-1)^2+1\\ &=\dfrac95(15)^2+1\\ &=\dfrac95(225)+1\\ &=405+1\\ &=\boxed{\boxed{406}} }\)

Jadi, nilai dari P(16) = 406.

---

No.

Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c yang memenuhi f(4) = 16 dan f(7) = 49. Jika a ̸= 1, nilai dari \(\dfrac{c-b}{a-1}\) adalah ....

OSK 2023 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

f(k) = k² untuk k ∈ {4, 7}. Sehingga bisa ditulis:\[f(x)=p(x-4)(x-7)+x^2=(p+1)x^2-11px+28p\] untuk p konstanta. \begin{aligned} \dfrac{c-b}{a-1}&=\dfrac{28p-(-11p)}{p+1-1}\\[3.8pt] &=\dfrac{39p}{p}\\ &=\boxed{\boxed{39}}

Jadi, nilai dari \(\dfrac{c-b}{a-1}\) adalah 39.

---

No.

Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c yang memenuhi f(5) = 25 dan f(6) = 36. Jika a ≠ 1, maka nilai dari \(\dfrac{c-b}{a-1}\) adalah ....

OSK SMA 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Kita lihat bahwa f(5) = 25 = 5² dan f(6) = 36 = 6², sehingga f(x) bisa ditulis:
\(\begin{aligned} f(x)&=p(x-5)(x-6)+x^2\\ ax^2+bx+c&=p\left(x^2-11x+30\right)+x^2\\ ax^2+bx+c&=px^2-11px+30p+x^2\\ ax^2+bx+c&=(p+1)x^2-11px+30p \end{aligned}\)
a = p + 1, b = −11p, c = 30p

\(\begin{aligned} \dfrac{c-b}{a-1}&=\dfrac{30p-(-11p)}{p+1-1}\\[4pt] &=\dfrac{41p}{p}\\ &=\boxed{\boxed{41}} \end{aligned}\)

Jadi, \(\dfrac{c-b}{a-1}=41\).

---

No.

Untuk nilai a yang manakah garis lurus y = 6x memotong parabola y = x² + a tepat di satu titik?

1. 7
2. 8
3. 9

4. 10
5. 11

OSK SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

\(\begin{aligned} 6x&=x^2+a\\ x^2-6x+a&=0 \end{aligned}\)
Agar memotong di satu titik atau menyinggung maka:
\(\begin{aligned} D&=0\\ (-6)^2-4(1)(a)&=0\\ 36-4a&=0\\ a&=\boxed{\boxed{9}} \end{aligned}\)

Jadi, a = 9.
JAWAB: C

---

No.

Nilai minimum fungsi f(x) = (x − 3a)² + b² + b untuk a > 0 adalah 3 dan memotong garis y = 10x + 18 di titik berabsis 1, maka a + b + b² = ....

1. 2
2. 3
3. 4

4. 5
5. 6

Grup WhatsApp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Nilai minimum dari (x − p)² + q adalah q, sehingga b² + b = 3.

f(x) = (x − 3a)² + 3

Untuk x = 1,
\(\begin{aligned} (1-3a)^2+3&=10(1)+18\\ (1-3a)^2+3&=28\\ (1-3a)^2&=25\\ 1-3a&=\pm5\\ 3a&=1\pm5 \end{aligned}\)

• 3a = 1 + 5
  \(\begin{aligned} 3a&=6\\ a&=2 \end{aligned}\)
  
  
• 3a = 1 − 5
  \(\begin{aligned} 3a&=-4\\ a&=-\dfrac42\ (TM) \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} a+b+b^2&=2+3\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}5}} \end{aligned}\)

Jadi, a + b + b² = 5.
JAWAB: D

---