HOTS Zone : Modulo
Table of Contents
Tipe:
No.
Berapa sisaALTERNATIF PENYELESAIAN
φ(64) = 32
\begin{aligned}
5^{2021}+11^{2022}\pmod {64}&=5^{2021\pmod{32}}+11^{2022\pmod{32}}&\pmod {64}\\
&=5^5+11^6&\pmod {64}\\
&=5^3\cdot5^2+\left(11^2\right)^3&\pmod {64}\\
&=125\cdot25+\left(121\right)^3&\pmod {64}\\
&=(-3)\cdot25+\left(-7\right)^3&\pmod {64}\\
&=-75-343&\pmod {64}\\
&=-11-23&\pmod {64}\\
&=-34&\pmod {64}\\
&=\boxed{\boxed{30}}&\pmod {64}
\end{aligned}
Jadi, sisa 52021 + 112022 dibagi oleh 64 adalah 30.
No.
Tentukan angka satuan dari bilanganALTERNATIF PENYELESAIAN
Untuk n ≥ 5, n! mod 10 ≡ 0 mod 10 .
\(\varphi(10)=10\left(1-\dfrac12\right)\left(1-\dfrac15\right)=10\left(\dfrac12\right)\left(\dfrac45\right)=4\)
2023 ≡ 3 mod 4
2023! ≡ 0 mod 4
\(\begin{aligned} \left(2023!+2023\right)^{2023}\times2023^{2023!+2023}&\equiv3^3\times3^3\pmod{10}\\ &\equiv27\times27\pmod{10}\\ &\equiv7\times7\pmod{10}\\ &\equiv49\pmod{10}\\ &\equiv9\pmod{10}\\ \end{aligned}\)
\(\varphi(10)=10\left(1-\dfrac12\right)\left(1-\dfrac15\right)=10\left(\dfrac12\right)\left(\dfrac45\right)=4\)
2023 ≡ 3 mod 4
2023! ≡ 0 mod 4
\(\begin{aligned} \left(2023!+2023\right)^{2023}\times2023^{2023!+2023}&\equiv3^3\times3^3\pmod{10}\\ &\equiv27\times27\pmod{10}\\ &\equiv7\times7\pmod{10}\\ &\equiv49\pmod{10}\\ &\equiv9\pmod{10}\\ \end{aligned}\)
Jadi, angka satuan dari bilangan (2023! + 2023)2023 × 20232023! + 2023 adalah 9.
No.
Jumlah lima digit terakhir dari 20! adalah .....ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\left\lfloor\dfrac{20}2\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{20}{2^2}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{20}{2^3}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{20}{2^4}\right\rfloor=18\)
\(\left\lfloor\dfrac{20}3\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{20}{3^2}\right\rfloor=8\)
\(\left\lfloor\dfrac{20}5\right\rfloor=4\)
\(\left\lfloor\dfrac{20}7\right\rfloor=2\)
20! = 218 ⋅ 38 ⋅ 54 ⋅ 72 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 = 24 ⋅ 54 (214 ⋅ 38 ⋅ 72 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19)
Kita lihat bahwa 4 digit terakhir adalah 0, sehingga kita cukup mencari 1 digit terakhir dari(214 ⋅ 38 ⋅ 72 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19) .
\(\begin{aligned} 2^{14}\cdot3^8\cdot7^2\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19&\equiv4\cdot1\cdot9\cdot1\cdot3\cdot7\cdot9&\pmod{10}\\ &\equiv4\cdot1\cdot(-1)\cdot1\cdot1\cdot(-1)&\pmod{10}\\ &\equiv4&\pmod{10} \end{aligned}\)
\(\left\lfloor\dfrac{20}3\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{20}{3^2}\right\rfloor=8\)
\(\left\lfloor\dfrac{20}5\right\rfloor=4\)
\(\left\lfloor\dfrac{20}7\right\rfloor=2\)
20! = 218 ⋅ 38 ⋅ 54 ⋅ 72 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 = 24 ⋅ 54 (214 ⋅ 38 ⋅ 72 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19)
Kita lihat bahwa 4 digit terakhir adalah 0, sehingga kita cukup mencari 1 digit terakhir dari
\(\begin{aligned} 2^{14}\cdot3^8\cdot7^2\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19&\equiv4\cdot1\cdot9\cdot1\cdot3\cdot7\cdot9&\pmod{10}\\ &\equiv4\cdot1\cdot(-1)\cdot1\cdot1\cdot(-1)&\pmod{10}\\ &\equiv4&\pmod{10} \end{aligned}\)
Jadi, jumlah lima digit terakhir dari 20! adalah 4.
No.
\[5^{\displaystyle\sum_{n=2023}^{3000}n}\mod1000\equiv....\]ALTERNATIF PENYELESAIAN
3000 − 2023 + 1 = 978
\(\begin{aligned} 5^{\displaystyle\sum_{n=2023}^{3000}n}\mod1000&\equiv5^{\frac{978}2(2023+3000)}\mod1000\\ &\equiv5^{489\cdot5023}\mod\left(5^3\cdot8\right)\\ &\equiv5^3\left(5^{489\cdot5023-3}\mod8\right)\mod1000 \end{aligned}\)
φ(8) = 4
\(\begin{aligned} (489\cdot5023-3)\mod4&\equiv(1\cdot3-3)\mod4\\ &\equiv0\mod4 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 5^3\left(5^{489\cdot5023-3}\mod8\right)\mod1000&\equiv5^3\left(1\mod8\right)\mod1000\\ &\equiv \color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}125\mod1000}} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 5^{\displaystyle\sum_{n=2023}^{3000}n}\mod1000&\equiv5^{\frac{978}2(2023+3000)}\mod1000\\ &\equiv5^{489\cdot5023}\mod\left(5^3\cdot8\right)\\ &\equiv5^3\left(5^{489\cdot5023-3}\mod8\right)\mod1000 \end{aligned}\)
φ(8) = 4
\(\begin{aligned} (489\cdot5023-3)\mod4&\equiv(1\cdot3-3)\mod4\\ &\equiv0\mod4 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 5^3\left(5^{489\cdot5023-3}\mod8\right)\mod1000&\equiv5^3\left(1\mod8\right)\mod1000\\ &\equiv \color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}125\mod1000}} \end{aligned}\)
Jadi, $5^{\displaystyle\sum_{n=2023}^{3000}n}\mod1000\equiv125\mod1000$.
No.
Tentukan sisa pembagianALTERNATIF PENYELESAIAN
φ(2n) = 2n − 1 → φ(1024) = 512
\(\begin{aligned} 1+3^3+5^5+\cdots+1023^{1023}&\equiv 1+3^3+5^5+\cdots+511^{511}+513+515^3+517^5+\cdots+1023^{511}\pmod{1024}\\ &\equiv 1+3^3+5^5+\cdots+511^{511}+(512+1)+(512+3)^3+(512+5)^5+\cdots+(512+511)^{511}\pmod{1024}\\ &\equiv 1+3^3+5^5+\cdots+511^{511}+512+1+3\cdot512+3^3+5\cdot512+5^5+\cdots+511\cdot512+511^{511}\pmod{1024}\\ &\equiv 2\left(1+3^3+5^5+\cdots+511^{511}\right)+512(1+3+5+\cdots+511)\pmod{1024}\\ &\equiv 2\left(1+3^3+5^5+\cdots+511^{511}\right)\pmod{1024}\\ &\equiv 2\left(1+3^3+5^5+\cdots+511^{511}\pmod{512}\right)\pmod{1024}\\ &\equiv 2\left(2\left(1+3^3+5^5+\cdots+255^{255}\pmod{256}\right)\pmod{512}\right)\pmod{1024}\\ &\equiv \cdots\\ &\equiv 2\left(2\left(\cdots\left(2\left(1+3^3\pmod{4}\right)\pmod{8}\right)\cdots\right)\pmod{512}\right)\pmod{1024}\\ &\equiv 2\left(2\left(\cdots\left(2\left(0\pmod{4}\right)\pmod{8}\right)\cdots\right)\pmod{512}\right)\pmod{1024}\\ &\equiv 0\pmod{1024}\\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 1+3^3+5^5+\cdots+1023^{1023}&\equiv 1+3^3+5^5+\cdots+511^{511}+513+515^3+517^5+\cdots+1023^{511}\pmod{1024}\\ &\equiv 1+3^3+5^5+\cdots+511^{511}+(512+1)+(512+3)^3+(512+5)^5+\cdots+(512+511)^{511}\pmod{1024}\\ &\equiv 1+3^3+5^5+\cdots+511^{511}+512+1+3\cdot512+3^3+5\cdot512+5^5+\cdots+511\cdot512+511^{511}\pmod{1024}\\ &\equiv 2\left(1+3^3+5^5+\cdots+511^{511}\right)+512(1+3+5+\cdots+511)\pmod{1024}\\ &\equiv 2\left(1+3^3+5^5+\cdots+511^{511}\right)\pmod{1024}\\ &\equiv 2\left(1+3^3+5^5+\cdots+511^{511}\pmod{512}\right)\pmod{1024}\\ &\equiv 2\left(2\left(1+3^3+5^5+\cdots+255^{255}\pmod{256}\right)\pmod{512}\right)\pmod{1024}\\ &\equiv \cdots\\ &\equiv 2\left(2\left(\cdots\left(2\left(1+3^3\pmod{4}\right)\pmod{8}\right)\cdots\right)\pmod{512}\right)\pmod{1024}\\ &\equiv 2\left(2\left(\cdots\left(2\left(0\pmod{4}\right)\pmod{8}\right)\cdots\right)\pmod{512}\right)\pmod{1024}\\ &\equiv 0\pmod{1024}\\ \end{aligned}\)
Jadi, sisa pembagian 1 + 33 + 55 + 77 + ⋯ + 10231023 oleh 1024 adalah 0.
No.
Berapakah sisa pembagian 434343 oleh 100 ?ALTERNATIF PENYELESAIAN
$\varphi(100)=100\left(1-\dfrac12\right)\left(1-\dfrac15\right)=40$
$\varphi(40)=40\left(1-\dfrac12\right)\left(1-\dfrac15\right)=16$
43 mod 16 ≡ 11 mod 16
\(\begin{aligned} 3^{11}\mod40&\equiv \left(\left(3^4\right)^2\cdot3^3\right)\mod40\\ &\equiv \left(\left(81\right)^2\cdot27\right)\mod40\\ &\equiv27\mod40 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 43^{27}\mod100&\equiv \left(\left(43^2\right)^{13}\cdot43\right)\mod100\\ &\equiv \left(\left(2\cdot4\cdot3\cdot10+3^2\right)^{13}\cdot43\right)\mod100\\ &\equiv \left(\left(49\right)^{13}\cdot43\right)\mod100\\ &\equiv \left(\left(-51\right)^{13}\cdot43\right)\mod100\\ &\equiv \left(\left((-51)^2\right)^6\cdot49\cdot43\right)\mod100\\ &\equiv \left(\left(2501\right)^6\cdot2107\right)\mod100\\ &\equiv 7\mod100\\ \end{aligned}\)
$\varphi(40)=40\left(1-\dfrac12\right)\left(1-\dfrac15\right)=16$
43 mod 16 ≡ 11 mod 16
\(\begin{aligned} 3^{11}\mod40&\equiv \left(\left(3^4\right)^2\cdot3^3\right)\mod40\\ &\equiv \left(\left(81\right)^2\cdot27\right)\mod40\\ &\equiv27\mod40 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 43^{27}\mod100&\equiv \left(\left(43^2\right)^{13}\cdot43\right)\mod100\\ &\equiv \left(\left(2\cdot4\cdot3\cdot10+3^2\right)^{13}\cdot43\right)\mod100\\ &\equiv \left(\left(49\right)^{13}\cdot43\right)\mod100\\ &\equiv \left(\left(-51\right)^{13}\cdot43\right)\mod100\\ &\equiv \left(\left((-51)^2\right)^6\cdot49\cdot43\right)\mod100\\ &\equiv \left(\left(2501\right)^6\cdot2107\right)\mod100\\ &\equiv 7\mod100\\ \end{aligned}\)
Jadi, sisa pembagian 434343 oleh 100 adalah 7.
No.
Tentukan tiga digit terakhir dari 789100ALTERNATIF PENYELESAIAN
789100 = 789
φ(1000) = 400
\(\begin{aligned} 8^9\mod(400)&\equiv\left(2^{27}\right)\mod\left(2^4\cdot25\right)\\ &\equiv2^4\left(2^{23}\mod(25)\right)\mod\left(400\right) \end{aligned}\)
φ(25) = 20
\(\begin{aligned} 2^4\left(2^{23}\mod(25)\right)\mod\left(400\right)&\equiv2^4\left(2^3\mod(25)\right)\mod\left(400\right)\\ &\equiv128\mod\left(400\right) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 7^{128}\mod(1000)&\equiv\left(7^4\right)^{32}\mod(1000)\\ &\equiv\left(2401\right)^{32}\mod(1000)\\ &\equiv\left(401\right)^{32}\mod(1000)\\ &\equiv\left(4\cdot10^2+1\right)^{32}\mod(1000)\\ &\equiv\left(32\cdot4\cdot10^2+1\right)\mod(1000)\\ &\equiv\left(12800+1\right)\mod(1000)\\ &\equiv801\mod(1000) \end{aligned}\)
φ(1000) = 400
\(\begin{aligned} 8^9\mod(400)&\equiv\left(2^{27}\right)\mod\left(2^4\cdot25\right)\\ &\equiv2^4\left(2^{23}\mod(25)\right)\mod\left(400\right) \end{aligned}\)
φ(25) = 20
\(\begin{aligned} 2^4\left(2^{23}\mod(25)\right)\mod\left(400\right)&\equiv2^4\left(2^3\mod(25)\right)\mod\left(400\right)\\ &\equiv128\mod\left(400\right) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 7^{128}\mod(1000)&\equiv\left(7^4\right)^{32}\mod(1000)\\ &\equiv\left(2401\right)^{32}\mod(1000)\\ &\equiv\left(401\right)^{32}\mod(1000)\\ &\equiv\left(4\cdot10^2+1\right)^{32}\mod(1000)\\ &\equiv\left(32\cdot4\cdot10^2+1\right)\mod(1000)\\ &\equiv\left(12800+1\right)\mod(1000)\\ &\equiv801\mod(1000) \end{aligned}\)
Jadi, tiga digit terakhir dari 789100 adalah 801.
No.
Olimpiade Kreativitas Siswa (OKSI) tingkat SMP yang diselenggarakan oleh OSIS SMA Negeri 2 lintongnihuta tahun 2024 dilaksanakan hari Sabtu tanggal 24 Februari tahun 2024. Jika 2024 hari lagi akan dilaksanakan kegiatan OKSI berikutnya, maka OKSI berikutnya akan dilaksanakan pada hari...- Sabtu
- Minggu
- Senin
- Selasa
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Untuk menentukan hari apakah n hari lagi, kita dapat menentukan hari dengan membagi n dengan 7, karena ada 7 hari dalam seminggu, sehingga akan ada pengulangan hari setiap 7 hari.
2024 = 7×289 + 1
2024 hari lagi sama dengan 1 hari setelah Sabtu yaitu Minggu.
2024 = 7×289 + 1
2024 hari lagi sama dengan 1 hari setelah Sabtu yaitu Minggu.
Jadi, OKSI berikutnya akan dilaksanakan pada hari Minggu.
JAWAB: B
JAWAB: B
No.
Sisa pembagian 20242024 olehALTERNATIF PENYELESAIAN
CARA 1
\(\begin{aligned} 2024^{2024}\mod(1+4+4+5)&\equiv2024^{2024}\mod14\\ &=8^{2024}\mod14\\ &=\left(2^{2024}\cdot4^{2024}\right)\mod(2\cdot7)\\ &=2\left(\left(2^{2023}\cdot4^{2024}\right)\mod7\right)\mod14\\ &=2\left(\left(2\cdot4^2\right)\mod7\right)\mod14\\ &=2\left(32\mod7\right)\mod14\\ &=2\left(4\mod7\right)\mod14\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}8\mod14}} \end{aligned}\)CARA 2
Perhatikan bahwa\(\begin{aligned} 2024^{2024}\mod14&\equiv8^{2024}\mod14\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}8\mod14}} \end{aligned}\)
Jadi, sisa pembagian 20242024 oleh (1 + 4 + 4 + 5) adalah 8.
No.
Bilangan asli terkecil yang digit-digitnya adalah 5 dan 7 serta merupakan kelipatan 45 adalah ....ALTERNATIF PENYELESAIAN
45 = 5⋅9.
Ciri bilangan kelipatan 5 adalah satuannya 0 atau 5. Karena digitnya hanya 5 dan 7, maka satuannya adalah 5.
Ciri bilangan kelipatan 9 adalah jumlah semua digitnya adalah 9.
Misal banyaknya digit 7 ada a buah, dan banyaknya digit 5 selain satuan ada b buah.
7a + 5b ≡ 4 mod 9
Jika a = 1,
\(\begin{aligned} 7+5b&\equiv4\mod9\\ 5b&\equiv-3\mod9\\ 5b&\equiv15\mod9\\ b&\equiv3\mod9 \end{aligned}\)
Bilangan terkecil dengan 4 digit 5, dan 1 digit 7 dengan satuannya 5 adalah 55575.
Jika a = 2, agar memperoleh bilangan yang lebih kecil dari 55575, makab ≤ 2
\(\begin{aligned} 14+5b&\equiv4\mod9\\ 5b&\equiv-10\mod9\\ b&\equiv-2\mod9\\ b&\equiv7\mod9 \end{aligned}\)
Bilangan yang bisa dibentuk pasti lebih dari 55575.
Jika a = 3, agar memperoleh bilangan yang lebih kecil dari 55575, makab = 0
21 ≡ 3 mod 9 ≠ 4 mod 9.
Ciri bilangan kelipatan 5 adalah satuannya 0 atau 5. Karena digitnya hanya 5 dan 7, maka satuannya adalah 5.
Ciri bilangan kelipatan 9 adalah jumlah semua digitnya adalah 9.
Misal banyaknya digit 7 ada a buah, dan banyaknya digit 5 selain satuan ada b buah.
7a + 5b ≡ 4 mod 9
Jika a = 1,
\(\begin{aligned} 7+5b&\equiv4\mod9\\ 5b&\equiv-3\mod9\\ 5b&\equiv15\mod9\\ b&\equiv3\mod9 \end{aligned}\)
Bilangan terkecil dengan 4 digit 5, dan 1 digit 7 dengan satuannya 5 adalah 55575.
Jika a = 2, agar memperoleh bilangan yang lebih kecil dari 55575, maka
\(\begin{aligned} 14+5b&\equiv4\mod9\\ 5b&\equiv-10\mod9\\ b&\equiv-2\mod9\\ b&\equiv7\mod9 \end{aligned}\)
Bilangan yang bisa dibentuk pasti lebih dari 55575.
Jika a = 3, agar memperoleh bilangan yang lebih kecil dari 55575, maka
21 ≡ 3 mod 9 ≠ 4 mod 9.
Jadi, bilangan asli terkecil yang digit-digitnya adalah 5 dan 7 serta merupakan kelipatan 45 adalah 55575.
Post a Comment