HOTS Zone : Bilangan Bulat [4]

Table of Contents

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Bilangan Bulat. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

STANDARSNBTHOTS

No.

Sebuah bilangan bulat positif dikatakan wah jika bilangan tersebut terdiri dari 3 digit, dan semua digit-digitnya ialah bilangan prima. Contoh bilangan wah ialah 232 dan 777. Banyaknya bilangan wah yang berbeda ada sebanyak ....

1. 27
2. 64

3. 81
4. 125

KTOM - TO OSK SMP 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Bilangan prima 1 digit adalah 2, 3, 5, dan 7. Ada 4 bilangan. Masing-masing posisi digit pada bilangan wah ada 4 kemungkinan, sehingga banyaknya bilangan wah ada:
4 × 4 × 4 = 64

Jadi, tanyaknya bilangan wah yang berbeda ada sebanyak 64.
JAWAB : B

---

No.

Jika x11y4 adalah suatu bilangan yang habis dibagi 792. Tentukan x dan y!

1. 6 dan 4
2. 4 dan 8

3. 8 dan 4

Facebook

ALTERNATIF PENYELESAIAN

792 = 8 ⋅ 9 ⋅ 11

Habis dibagi 8 jika 3 angka terakhir habis dibagi 8. Nilai y yang memenuhi adalah 0, 4, atau 8. 0 tidak ada di opsi sehingga y bernilai 4 atau 8.

Habis dibagi 9 jika jumlah semua digitnya habis dibagi 9.
x + 1 + 1 + y + 4 = x + y + 6.
Jika y = 4 maka x = 8.
Jika y = 8 maka x = 4.

Habis dibagi 11 jika (x − 1 + 1 − y + 4) habis dibagi 11.

Jika y = 4 maka x = 0 (TM).
Jika y = 8 maka x = 4 (SESUAI).

Jadi, x = 4 dan y = 8.
JAWAB: B

---

No.

Berapa banyak pasang bilangan bulat positif (a, b) yang memenuhi \(\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac16\)?

1. 1
2. 2
3. 3

4. 4
5. 5

OSK SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

CARA BIASA

\(\begin{aligned} \dfrac1a+\dfrac1b&=\dfrac16\\[4pt] \dfrac{a+b}{ab}&=\dfrac16\\[4pt] 6a+6b&=ab\\ ab-6a-6b&=0\\ ab-6a-6b+36&=36\\ (a-6)(b-6)&=36=2^2\cdot3^2 \end{aligned}\)

Banyak faktor positif:
(2 + 1)(2 + 1) = 9

CARA CEPAT

Ingat bahwa jika n = p₁^k₁ ⋅ p₂^k₂ ⋅ p₃^k₃ ⋯ dan \(\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac1n\), maka banyaknya pasangan (a, b) yang memenuhi ada:

(2k₁ + 1)(2k₂ + 1)(2k₂ + 1)⋯

6 = 2 ⋅ 3

banyak pasang bilangan bulat positif (a, b):
(2⋅1 + 1)(2⋅1 + 1) = 9

Jadi, banyak pasang bilangan bulat positif (a, b) yang memenuhi \(\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac16\) ada 9.
JAWAB: -

---

No.

Digit 1, 9, 9, 8 dalam 1998 mempunyai jumlah total 1 + 9 + 9 + 8 = 27. Bilangan berikutnya yang mempunyai jumlah digit 27 terjadi di antara ....

1. 2500 dan 2700
2. 2701 dan 2900
3. 2901 dan 3100

4. 3101 dan 9900
5. 9901 dan 9999

OSK SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal bilangannya adalah \(\overline{a_0a_1a_2a_3}\). Perhatikan bahwa 1 + 9 + 9 + 9 ≠ 27 dan 2 + 9 + 9 + 9 > 27, maka a₀ = 2.
a₁ + a₂ + a₃ = 25
Kita minimalkan a₁, sehingga kita maksimalkan a₃, yaitu a₃ = 9.
a₁ + a₂ = 16
Karena masih lebih dari 9, maka a₂ = 9, didapat a₁ = 7.
Bilangannya adalah 2799.

Jadi, bilangan berikutnya yang mempunyai jumlah digit 27 terjadi di antara 2701 dan 2900.
JAWAB: B

---

No.

Berapa banyak bilangan positif yang kurang dari 10.000 yang berbentuk x⁸ + y⁸ untuk suatu bilangan bulat x > 0 dan y > 0 ?

OSK SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Kita tahu bahwa 4⁸ = 65536 > 10000, sehingga 1 ≤ x,y ≤ 3. Misal x ≥ y.

\(C_2^3+3=6\)

3⁸ + 3⁸ = 13122 > 10000
3⁸ + 2⁸ = 6817 < 10000

Banyak pasangan yang memenuhi: 6 − 1 = 5

Jadi, ada 5 bilangan positif yang kurang dari 10.000 yang berbentuk x⁸ + y⁸ untuk suatu bilangan bulat x > 0 dan y > 0.

---

No.

Bilangan bulat positif p ≥ 2 disebut bilangan prima jika ia hanya mempunyai faktor 1 dan p. Tentukan nilai penjumlahan semua bilangan prima diantara 1 dan 100 yang sekaligus bersifat :
satu lebihnya dari suatu bilangan kelipatan 5 dan satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6.

OSK SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

CARA 1

\(\begin{aligned} 5a+1&=6b-1\\ 5a&=6b-2\\ a&=\dfrac{6b-2}5\\[4pt] &=b+\dfrac{b-2}5 \end{aligned} \)

b = 5c + 2

\(\begin{aligned} p&=6(5c+2)-1\\ &=30c+11 \end{aligned}\)
p ∈ {11, 41, 71}
11 + 41 + 71 = 123

CARA 2

satuan dari kelipatan 5 adalah 0 atau 5, jadi satu lebihnya dari suatu bilangan kelipatan 5 mempunyai satuan 1 atau 6. Karena bilangan dengan satuan 6 bukan prima, pasti bilangan prima tersebut bersatuan 1.
satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6 berarti bilangan prima tersebut ditambah 1 akan bersatuan 2 dan bilangan bersatuan 2 yang kelipatan 6 adalah {12, 42, 72}, sehingga bilangan primanya adalah 11, 41, dan 71.
11 + 41 + 71 = 123

Jadi, nilai penjumlahan semua bilangan prima tersebut adalah 123.

---

No.

Untuk suatu bilangan bulat positif n, didefinisikan B(n) sebagai bilangan bulat terkecil yang habis dibagi oleh semua bilangan bulat 1. 2. ..., n. Sebagai contoh, B(5) = 60, habis dibagi oleh 1, 2, 3, 4, dan 5. Untuk 1 ≤ n ≤ 25, banyaknya kemungkinan n yang memenuhi B(n) = B(n + 2) adalah ....

1. 1
2. 2
3. 3

4. 4
5. 5

Grup WhatsApp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Jika n = p dimana p bilangan prima, maka B(n) = p ˙ B(n − 1).
Jika n = p^k, dimana p bilangan prima dan k bilangan bulat positif, maka B(n) ≥ p ˙ B(n − 1).
JIka n bukan keduanya, maka B(n) = B(n − 1). Kita cari semua bilangan yang memenuhi ketentuan ini, yaitu {6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24}. Kita ambil bilangan-bilangan yang berurutan,
{14, 15} dan {20, 21, 22}
B(15) = B(14) = B(13)
B(22) = B(21) = B(20) = B(19).
ada 3 nilai n yang memenuhi B(n) = B(n + 2), yaitu 13, 19, dan 20.

Jadi, banyaknya kemungkinan n yang memenuhi B(n) = B(n + 2) adalah 3.
JAWAB: C

---

No.

Misalkan M dan m berturut-turut menyatakan bilangan terbesar dan bilangan terkecil di antara semua bilangan 4-angka yang jumlah keempat angkanya adalah 9. Berapakah faktor prima terbesar dari M − m?

OSP SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Untuk mendapatkan bilangan terbesar, digit pertama kita taruh 9, sehingga digit-digit lainnya adalah 0.
M = 9000

Untuk mendapatkan bilangan terkecil, maka digit pertama adalah 1, 2 digit berikutnya adalah 0, sehingga digit terakhir adalah 8.
m = 1008

M − m = 9000 − 1008 = 7992 = 2³ ⋅ 3³ ⋅ 37

Jadi, faktor prima terbesar dari M − m adalah 37.

---

No.

Jika 2002 = a₁ + a₂ ⋅ 2! + a₃ ⋅ 3! + ⋅⋅⋅ + a_n ⋅ n!, dimana a_k adalah bilangan bulat, 0 ≤ a_k ≤ k, k = 1, 2, ⋅⋅⋅, n, dan a_n ≠ 0, tentukan pasangan terurut (n, a_n).

OSP SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal T = a₁ + a₂ ⋅ 2! + a₃ ⋅ 3! + ⋅⋅⋅ + a_n ⋅ n!
Karena 7! = 5040 dan 6! = 720 maka n_maks = 6.

Jika n = 5 maka
\(\begin{aligned} T_{\max}&=1 + 2⋅2! + 3⋅3! + 4⋅4! + 5⋅5! \\ &=1 + 4 + 18 + 96 + 600\\ &=719 \lt 2002 \end{aligned}\)
T = 2002 hanya jika n = 6
Karena untuk n = 5, T_Maks = 719 maka 2002 − 719 = 1283 ≤ a₆⋅6! ≤ 2002 yang dipenuhi hanya jika a₆ = 2

Maka a₁ + a₂ ⋅ 2! + a₃ ⋅ 3! + a₄ ⋅ 4! + a₅ ⋅ 5! = 2002 − 2⋅6! = 562
Jika n = 4 maka T_maks = 1 + 2⋅2! + 3⋅3! + 4⋅4! = 119
562 − 119 = 443 ≤ a₅⋅5! ≤ 562 yang dipenuhi hanya jika a₅ = 4

Maka a₁ + a₂ ⋅ 2! + a₃ ⋅ 3! + a₄ ⋅ 4! = 562 − 4⋅5! = 562 − 480 = 82
Jika n = 3 maka T_maks = 1 + 2⋅2! + 3⋅3! = 23
82 − 23 = 59 ≤ a₄⋅4! ≤ 82 yang dipenuhi hanya jika a₄ = 3

Maka a₁ + a₂ ⋅ 2! + a₃ ⋅ 3! = 82 − 3⋅4! = 82 − 72 = 10
Jika n = 2 maka T_maks = 1 + 2⋅2! = 9
10 − 9 = 1 ≤ a₃⋅3! ≤ 10 yang dipenuhi hanya jika a₃ = 1

Maka a₁ + a₂ ⋅ 2! = 10 − 1⋅3! = 10 − 6 = 4
Jika n = 1 maka T_maks = 1 = 1 4 − 1 = 3 ≤ a₂⋅2! ≤ 4 yang dipenuhi hanya jika a₂ = 2

Maka a₁ = 4 − 2⋅2! = 4 − 4 = 0

Jadi, Pasangan terurut (n, a_n) adalah { (1,0) ; (2,2) ; (3,1) ; (4,3) ; (5,4) ; (6,2) }

---

No.

Misalkan n adalah suatu bilangan sehingga n − 36 habis membagi 15n − 2023. Tentukan nilai terbesar dari n.

Grup WhatsApp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

\(\begin{aligned} \dfrac{15n-2023}{n-36}&=\dfrac{15n-540-1483}{n-36}\\[4pt] &=15-\dfrac{1483}{n-36} \end{aligned}\)
n − 36 merupakan faktor dari 1483. Agar memperoleh nilai n terbesar, maka n − 36 merupakan faktor terbesar dari 1483, yaitu 1483 sendiri.
n = 1483 + 36 = 1519.

Jadi, nilai terbesar dari n adalah 1519.

---