Fungsi Totient Euler (Fungsi Phi)

Table of Contents

Dalam teori bilangan, fungsi totient Euler menghitung banyaknya bilangan bulat positif yang kurang dari bilangan bulat n dan relatif prima terhadap n. Fungsi ini disimbolkan dengan huruf Yunani phi yaitu ϕ(n) atau φ(n), dan juga sering disebut fungsi phi Euler. Dengan kata lain, fungsi ini menentukan banyaknya bilangan bulat k dalam rentang 1 ≤ k ≤ n di mana gcd(n, k) sama dengan 1. Bilangan bulat k ini kadang-kadang disebut sebagai totatif dari n.
Misalnya, banyaknya totatif dari n = 9 ada 6 bilangan yaitu 1, 2, 4, 5, 6, 7, dan 8. Semuanya relatif prima dengan 9. Bilangan 3, 6, dan 9 tidak termasuk karena gcd(9, 3) = gcd(9, 6) = 3 dan gcd(9, 9) = 9, sehingga φ(9) = 6.

Rumus Fungsi Totient Euler

Jika n = p₁^k₁p₂^k₂p₃^k₃⋯, dengan p_i adalah faktor prima dari n, maka banyaknya totatif dari n dapat menggunakan rumus:

\[\varphi(n)=n\prod_{p|n}\left(1-\dfrac1p\right)\]

   ✍️CONTOH SOAL

No. 1

Tentukan banyaknya bilangan bulat yang kurang dari 12 dan relatif prima dengan 12.

ALTERNATIF PENYELESAIAN

12 = 2² ⋅ 3

\(\begin{aligned} \varphi(12)&=12\left(1-\dfrac12\right)\left(1-\dfrac13\right)\\[4pt] &=12\left(\dfrac12\right)\left(\dfrac23\right)\\[4pt] &=4 \end{aligned}\)

Jadi, banyaknya bilangan bulat yang kurang dari 12 dan relatif prima dengan 12 ada 4 bilangan.

---

No. 2

Tentukan nilai dari φ(30)

ALTERNATIF PENYELESAIAN

30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5

\(\begin{aligned} \varphi(30)&=30\left(1-\dfrac12\right)\left(1-\dfrac13\right)\left(1-\dfrac15\right)\\[4pt] &=30\left(\dfrac12\right)\left(\dfrac23\right)\left(\dfrac45\right)\\[4pt] &=8 \end{aligned}\)

Jadi, φ(30) = 8.

---

Sifat-Sifat Fungsi Totient Euler (Fungsi Phi)

• φ(1) = 1
• φ(p) = p − 1, jika p bilangan prima
• \(\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\cdot\dfrac{d}{\varphi(d)}\), dengan d = gcd(m, n)
• \(\displaystyle\sum_{d|n}\varphi(d)=n\), d adalah pembagi positif dari n.