HOTS Zone : Pangkat (Eksponen) [2]

Table of Contents

• Tipe
• No. 11
• No. 12
• No. 13
• No. 14
• No. 15
• No. 16
• No. 17
• No. 18
• No. 19
• No. 20

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Pangkat (Eksponen). Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe

STANDARSNBTHOTS

12

No. 11

Agar bilangan yang berbentuk 2¹³ + 2¹⁰ + 2ⁿ merupakan bilangan kuadrat, maka tentukanlah bilangan asli n.

Grup WhatsApp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal 2¹³ + 2¹⁰ + 2ⁿ = p²
$\begin{array}{rl}{2}^{10}(2^3+1)+2^n& =p^2\\ 2^{10}\left(9\right)+2^n& =p^2\\ 2^{10}\cdot 3^2+2^n& =p^2\\ 2^n& =p^2-2^{10}\cdot 3^2\\ 2^{a+b}& =p^2-{(2^5\cdot 3)}^2& \text{color}red\text{misal }n=a+b\\ 2^a\cdot 2^b& =(p+2^5\cdot 3)(p-2^5\cdot 3)\end{array}$

$\begin{array}{rl}{2}^a& =p+2^5\cdot 3\\ 2^b& =p-2^5\cdot 3& -\\ 2^a-2^b& =2\cdot 2^5\cdot 3\\ 2^b(2^{a-b}-1)& =2^6\cdot 3\end{array}$

b = 6

a − b = 2 ⟶ a = 8

n = a + b = 8 + 6 = 14

Jadi, n = 14.

---

No. 12

Bilangan ${\displaystyle \frac{{\left(2^4\right)}^8}{{\left(4^8\right)}^2}}$ sama dengan

1. ${\displaystyle \frac{1}{4}}$
2. ${\displaystyle \frac{1}{2}}$
3. 1

4. 2
5. 8

OSK SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{{\left(2^4\right)}^8}{{\left(4^8\right)}^2}}& ={\displaystyle \frac{2^{32}}{{\left(2^2\right)}^{16}}}\\ & ={\displaystyle \frac{2^{32}}{2^{32}}}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 1}}}}\end{array}$$

Jadi, bilangan ${\displaystyle \frac{{\left(2^4\right)}^8}{{\left(4^8\right)}^2}}$ sama dengan 1.
JAWAB: C

---

No. 13

2^x = 3^y = 4^z = 24

${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}=$ ....

Grup Telegram

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$2={24}^{\frac{1}{x}}$,   $3={24}^{\frac{1}{y}}$,   $4={24}^{\frac{1}{z}}$

$\begin{array}{rl}{24}^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}& ={24}^{\frac{1}{x}}\cdot {24}^{\frac{1}{y}}\cdot {24}^{\frac{1}{z}}\\ {24}^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}& =2\cdot 3\cdot 4\\ {24}^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}& =24\\ {\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}& =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 1}}}}\end{array}$

Jadi, ${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}=1$.

---

No. 14

Bilangan n terbesar sehingga 8ⁿ membagi 44⁴⁴ adalah ....

1. 8
2. 22
3. 29

4. 44
5. 88

OSK SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{8}^n& ={\left(2^3\right)}^n\\ & =2^{3n}\end{array}$

$\begin{array}{rl}{44}^{44}& ={(2^2\cdot 11)}^{44}\\ & =2^{88}\cdot {11}^{44}\\ & =2^{3\cdot 29+1}\cdot {11}^{44}\\ & =2^{3\cdot 29}\cdot 2\cdot {11}^{44}\end{array}$

Jadi, bilangan n terbesar sehingga 8ⁿ membagi 44⁴⁴ adalah 29.
JAWAB: C

---

No. 15

Berapakah jumlah digit-digit bilangan 2²⁰⁰² ⋅ 5²⁰⁰³ ?

OSK SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{2}^{2002}\cdot 5^{2003}& =2^{2002}\cdot 5^{2002}\cdot 5\\ & =(2\cdot 5{)}^{2002}\cdot 5\\ & ={10}^{2002}\cdot 5\\ & =5\cdot {10}^{2002}\end{array}$

Related: loading

Kita tahu bahwa 5 ⋅ 10²⁰⁰² berupa bilangan dengan 1 digit 5 di kiri, dan 2002 digit 0. Sehingga jumlah digit-digitnya adalah 5.

Jadi, jumlah digit-digit bilangan 2²⁰⁰² ⋅ 5²⁰⁰³ adalah 5.

---

No. 16

Misalkan A = (−1)⁻¹, B = (−1)¹, dan C = 1⁻¹. Berapakah A + B + C?

OSP SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}A& =(-1{)}^{-1}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{-1}}\\ & =-1\end{array}$

$\begin{array}{rl}B& =(-1{)}^1\\ & =-1\end{array}$

$\begin{array}{rl}C& =1^{-1}\\ & =1\end{array}$

$\begin{array}{rl}A+B+C& =-1+(-1)+1\\ & =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black-1}}}}\end{array}$

Jadi, A + B + C = −1.

---

No. 17

$${\displaystyle \frac{7^{777}}{5^{777}}}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{5^{1554}+{30}^{1554}}{7^{1554}+{42}^{1554}}}}=....$$

Grup WhatsApp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{7^{777}}{5^{777}}}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{5^{1554}+{30}^{1554}}{7^{1554}+{42}^{1554}}}}& ={\displaystyle \frac{7^{777}}{5^{777}}}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{5^{1554}+5^{1554}\cdot 6^{1554}}{7^{1554}+7^{1554}\cdot 6^{1554}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{7^{777}}{5^{777}}}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{5^{1554}(1+6^{1554})}{7^{1554}(1+6^{1554})}}}\\ & ={\displaystyle \frac{7^{777}}{5^{777}}}\times {\displaystyle \frac{5^{777}}{7^{777}}}\\ & =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black1}}}}\end{array}$

Jadi, $\dfrac{7^{777}}{5^{777}}\times\sqrt{\dfrac{5^{1554}+30^{1554}}{7^{1554}+42^{1554}}}=1$.

---

No. 18

Carilah semua bilangan asli n sedemikian sehingga

3^{n − 1} + 5^{n − 1} | 3ⁿ + 5ⁿ

Grup WhatsApp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

3(3^{n − 1} + 5^{n − 1}) < 3ⁿ + 5ⁿ < 5(3^{n − 1} + 5^{n − 1})
Sehingga,
$\begin{array}{rl}{3}^n+5^n& =4(3^{n-1}+5^{n-1})\\ 3\cdot 3^{n-1}+5\cdot 5^{n-1}& =4\cdot 3^{n-1}+4\cdot 5^{n-1}\\ 5^{n-1}& =3^{n-1}\\ n-1& =0\\ n& =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black1}}}}\end{array}$

Jadi, n = 1.

---

No. 19

Misalkan N bilangan yang memenuhi persamaan
N = 1¹ × 2² × 3³ × 4⁴ × 5⁵ × 6⁶ × 7⁷ × 8⁸ × 9⁹.
Jika faktorisasi prima dari N adalah 2^a × 3^b × 5^c × 7^d, berapakah nilai dari a + b + c + d?

1. 44
2. 50

3. 49
4. 79

MaQC TOC 12

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Karena kita menghitung hasil penjumlahan semua pangkat primanya, sama seperti kita menghitung berapakah banyaknya prima (belum tentu berbeda) yang perlu dikalikan untuk menghasilkan N. Tinjau bahwa faktorisasi prima dari 2,3,5,7 berisikan 1 bilangan prima, faktorisasi prima dari 4,6, dan 9 berisikan 2 bilangan prima, dan faktorisasi prima 8 berisikan 3 bilangan prima. Maka, banyaknya prima yang diperlukan adalah
(2 + 3 + 5 + 7) × 1 + (4 + 6 + 9) × 2 + (8) × 3 = 17 + 38 + 24 = 79.

Jadi, a + b + c + d = 79.
JAWAB: D

---

No. 20

Hasil dari $\dfrac{1^{-3}+2^{-3}+3^{-3}+4^{-3}+\cdots}{1^{-3}+3^{-3}+5^{-3}+7^{-3}+\cdots}=$ ....

1. $\dfrac78$
2. $\dfrac87$
3. $\dfrac98$

4. $\dfrac{15}{16}$
5. $\dfrac{16}{15}$

Grup Whatsapp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal S = 1⁻³ + 2⁻³ + 3⁻³ + 4⁻³ + ⋯
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1^{-3}+2^{-3}+3^{-3}+4^{-3}+\cdots }{1^{-3}+3^{-3}+5^{-3}+7^{-3}+\cdots }}& ={\displaystyle \frac{1^{-3}+2^{-3}+3^{-3}+4^{-3}+\cdots }{(1^{-3}+2^{-3}+3^{-3}+4^{-3}+5^{-3}+6^{-3}+7^{-3}+\cdots )-(2^{-3}+4^{-3}+6^{-3}+\cdots )}}\\ & ={\displaystyle \frac{1^{-3}+2^{-3}+3^{-3}+4^{-3}+\cdots }{(1^{-3}+2^{-3}+3^{-3}+4^{-3}+\cdots )-2^{-3}(1^{-3}+2^{-3}+3^{-3}+\cdots )}}\\ & ={\displaystyle \frac{S}{S-2^{-3}S}}\\ & ={\displaystyle \frac{S}{S-{\displaystyle \frac{1}{8}}S}}\\ & ={\displaystyle \frac{S}{{\displaystyle \frac{7}{8}}S}}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{8}{7}}}}}}\end{array}$

Jadi, hasil dari $\dfrac{1^{-3}+2^{-3}+3^{-3}+4^{-3}+\cdots}{1^{-3}+3^{-3}+5^{-3}+7^{-3}+\cdots}=\dfrac87$.
JAWAB: B

---

12