HOTS Zone : Aljabar [4]

Table of Contents

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Aljabar. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup DI SINI.

Tipe:

STANDARSNBTHOTS

123456

No. 31

Misalkan a dan b bilangan real yang berbeda sehingga $${\displaystyle \frac{a}{b}}+{\displaystyle \frac{a+10b}{b+10a}}=2$$ Tentukan nilai ${\displaystyle \frac{a}{b}}$.

OSK SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{a}{b}}+{\displaystyle \frac{a+10b}{b+10a}}& =2\\ {\displaystyle \frac{a}{b}}+{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a}{b}}+10}{1+10{\displaystyle \frac{a}{b}}}}& =2\end{array}$
Misal ${\displaystyle \frac{a}{b}}=x$
$\begin{array}{rl}x+{\displaystyle \frac{x+10}{1+10x}}& =2\\ x+10x^2+x+10& =2+20x\\ 10x^2-18x+8& =0\\ 5x^2-9x+4& =0\\ (5x-4)(x-1)& =0\\ x& =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{5}{4}}}}}}\end{array}$

Jadi,
JAWAB:

---

No. 32

Misalkan S = (x − 2)⁴ + 8(x − 2)³ + 24(x − 2)² + 32(x − 2) + 16. Apakah S jika dituliskan dalam sesedikit mungkin suku penjumlahan ?

OSP SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}S& =(x-2{)}^4+8(x-2{)}^3+24(x-2{)}^2+32(x-2)+16\\ & =(x-2{)}^4+4\cdot 2(x-2{)}^3+6\cdot 2^2(x-2{)}^2+4\cdot 2^3(x-2)+2^4\\ & =(x-2+2{)}^4\\ & =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black{x}^4}}}}\end{array}$

Jadi, S jika dituliskan dalam sesedikit mungkin suku penjumlahan adalah x⁴.

---

No. 33

$${\displaystyle \frac{7^{777}}{5^{777}}}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{5^{1554}+{30}^{1554}}{7^{1554}+{42}^{1554}}}}=....$$

Grup WhatsApp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{7^{777}}{5^{777}}}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{5^{1554}+{30}^{1554}}{7^{1554}+{42}^{1554}}}}& ={\displaystyle \frac{7^{777}}{5^{777}}}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{5^{1554}+5^{1554}\cdot 6^{1554}}{7^{1554}+7^{1554}\cdot 6^{1554}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{7^{777}}{5^{777}}}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{5^{1554}(1+6^{1554})}{7^{1554}(1+6^{1554})}}}\\ & ={\displaystyle \frac{7^{777}}{5^{777}}}\times {\displaystyle \frac{5^{777}}{7^{777}}}\\ & =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black1}}}}\end{array}$

Jadi, $\dfrac{7^{777}}{5^{777}}\times\sqrt{\dfrac{5^{1554}+30^{1554}}{7^{1554}+42^{1554}}}=1$.

---

No. 34

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x+1}{x^2+1}}+{\displaystyle \frac{x+1}{x^4+1}}=2\\ x\in \mathbb{R}\\ x=?\end{array}$$

Grup WhatsApp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

perhatikan bahwa persamaan berlaku saat x² = x⁴ = x, didapat x = 0 dan x = 1.

Untuk x < 0

x < x² dan x < x⁴
$\Rightarrow \dfrac{x+1}{x^2+1}+\dfrac{x+1}{x^4+1}\lt1+1=2$

Untuk 0 < x < 1

x > x² > x⁴
$\Rightarrow \dfrac{x+1}{x^2+1}+\dfrac{x+1}{x^4+1}\gt1+1=2$

Untuk x > 1

x < x² < x⁴
$\Rightarrow \dfrac{x+1}{x^2+1}+\dfrac{x+1}{x^4+1}\lt1+1=2$

Jadi, x = 0 atau x = 1.

---

No. 35

Banyaknya pasangan bilangan real (a, b, c) yang memenuhi ab = c, ac = b, bc = a ada sebanyak ....

1. 1
2. 3

3. 4
4. 5

5. 7

Festival Sains Nasional 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Kita lihat bahwa (0, 0, 0) merupakan salah satu solusi. Untuk a, b, c ≠ 0,
$\begin{array}{rl}ac& =b\\ a(ab)& =b\\ a^{2}b& =b\\ a^2& =1\end{array}$
ada 2 kemungkinan nilai a.

$\begin{array}{rl}bc& =a\\ b(ab)& =a\\ b^2& =1\end{array}$
ada 2 kemungkinan nilai b.

Untuk a, b, c ≠ 0, ada 2×2 = 4 kemungkinan.

Jadi, banyaknya pasangan bilangan real (a, b, c) yang memenuhi ab = c, ac = b, bc = a ada sebanyak 5.
JAWAB: D

---

No. 36

Tentukan semua pasangan bilangan bulat terurut (x, y), dengan x + y ≠ 2, yang memenuhi persamaan

x³ + y³ + 6xy = 8

Grup WhatsApp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Perhatikan bahwa $a^3+b^3+c^3-3abc=\dfrac12(a+b+c)\left((a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2\right)$.
Untuk a = x; b = y; dan c = −2,
$\begin{array}{rl}{x}^3+y^3-8+6xy& =0\\ x^3+y^3+(-2{)}^3-3xy(-2)& =0\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}(x+y+(-2))((x-y{)}^2+(y-(-2){)}^2+(x-(-2){)}^2)& =0\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}(x+y-2)((x-y{)}^2+(y+2{)}^2+(x+2{)}^2)& =0\\ (x-y{)}^2+(y+2{)}^2+(x+2{)}^2& =0\end{array}$
didapat x = y = −2

Jadi, pasangan bilangan bulat terurut (x, y), dengan x + y ≠ 2, yang memenuhi persamaan

x³ + y³ + 6xy = 8

adalah (−2, −2).

---

No. 37

Jika $x=-5+2\sqrt{-4}$, maka cari nilai x⁴ + 9x³ + 35x² − x + 4

1. −160
2. −80

3. −40
4. −20

5. 0

KPATN 2024 Jenjang Guru

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}x& =-5+2\sqrt{-4}\\ x+5& =2\sqrt{-4}\\ (x+5{)}^2& ={\left(2\sqrt{-4}\right)}^2\\ x^2+10x+25& =4\cdot (-4)\\ x^2+10x+25& =-16\\ x^2+10x& =-41\end{array}$

$\begin{array}{rl}{x}^4+9x^3+35x^2-x+4& =x^4+10x^3+41x^2-x^3-6x^2-x+4\\ & =x^2(x^2+10x+41)-x^3-10x^2-41x+4x^2+40x+4\\ & =-x(x^2+10x+41)+4(x^2+10x)+4\\ & =4(-41)+4\\ & =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black-160}}}}\end{array}$

Jadi, x⁴ + 9x³ + 35x² − x + 4 = −160.
JAWAB: A

---

No. 38

Diketahui bahwa a, b, c adalah bilangan bulat dan abc ≠ 0. Banyaknya solusi persamaan

a² + b² + c² = 2022abc

adalah ....

Latihan OSK 2024 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Karena jelas bahwa 2022abc adalah bilangan genap, maka a² + b² + c² juga haruslah bilangan genap. Agar a² + b² + c² bilangan genap, maka terdapat dua kasus yang mungkin, yaitu:

Kasus 1. Tepat 1 diantara a, b, dan c adalah bilangan genap.

WLOG a bilangan genap. Maka, b dan c adalah bilangan ganjil.
Sehingga, a² + b² + c² ≡ 0 + 1 + 1 (mod 4) ≡ 2 (mod 4). Sedangkan 2022abc ≡ 0 (mod 4), kontradiksi.
Maka, untuk kasus ini, tidak ada solusi a, b, c yang memenuhi.

Kasus 2. a, b, dan c bilangan genap.

Definisikan v₂(k) = x sebagai pangkat terbesar dari 2 yang habis membagi k (2^x | k, 2^{x + 1} ∤ k)
WLOG min(v₂(a), v₂(b), v₂(c)) = v₂(a) = n ≥ 1
Misalkan a = 2ⁿa₁, b = 2ⁿb₁, c = 2ⁿc₁
Maka,
$\begin{array}{rl}{\left(2^n{a}_1\right)}^2+{\left(2^n{b}_1\right)}^2+{\left(2^n{c}_1\right)}^2& =2022\left(2^n{a}_1\right)\left(2^n{b}_1\right)\left(2^n{c}_1\right)\\ 2^{2n}(a_1^2+b_1^2+c_1^2)& =2^{3n}\cdot 2022a_1{b}_1{c}_1\\ a_1^2+b_1^2+c_1^2& =2^n\cdot 2022a_1{b}_1{c}_1\end{array}$

Related: loading

Karena v₂(a) = n dan a = 2ⁿa₁, maka a₁ ganjil.
Perhatikan bahwa karena 2ⁿ ⋅ 2022a₁b₁c₁ genap maka a₁² + b₁² + c₁² juga haruslah genap.
Lihat pula bahwa karena a₁ ganjil, maka tepat satu dari b₁ dan c₁ genap, dan yang lainnya ganjil.
Sehingga a₁² + b₁² + c₁² ≡ 1 + 0 + 1 (mod 4) ≡ 2 (mod 4). Sedangkan, 2ⁿ ⋅ 2022a₁b₁c₁ ≡ 0 (mod 4), kontradiksi.
Kasus 2 juga tidak memiliki solusi.

Jadi, banyaknya solusi persamaan

a² + b² + c² = 2022abc

adalah tidak ada atau 0.

---

No. 39

Dua kelompok siswa sekolah yang mengikuti lomba SCE sedang berkumpul bersama teman satu sekolahnya, jumlah siswa yang mengikuti SCE tiap sekolah berbeda. Pada masing masing kelompok setengahnya memakai seragam dan setengahnya tidak berseragam. Kedua kelompok tersebut masing masing membuat barisan berbentuk persegi panjang dengan aturan : semua siswa yang berseragam berada pada posisi tepi dan yang tidak berseragam menempati posisi didalam. Berapa jumlah keseluruhan siswa dari dua sekolah tersebut?

SCE 2020 Guru

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal suatu kelompok membentuk barisan persegi panjang dengan ukuran a × b.
Banyaknya siswa di bagian dalam adalah (a − 2)(b − 2), jumlahnya setengah dari keseluruhan.
$\begin{array}{rl}(a-2)(b-2)& ={\displaystyle \frac{1}{2}}ab\\ ab-2a-2b+4& ={\displaystyle \frac{1}{2}}ab\\ 2ab-4a-4b+8& =ab\\ ab-4a-4b& =-8\\ (a-4)(b-4)& =8=8\cdot 1=4\cdot 2\end{array}$

a − 4 = 8 ⟶ a = 12
b − 4 = 1 ⟶ b = 5

a − 4 = 4 ⟶ a = 8
b − 4 = 2 ⟶ b = 6

Kelompok 1 ada 12×5 = 60 siswa, kelompok 2 ada 8×6 = 48 siswa.
60 + 48 = 108.

Jadi, jumlah keseluruhan siswa dari dua sekolah tersebut ada 108 siswa.

---

No. 40

Jika $x=\dfrac{\sqrt{111}-1}2$, maka nilai (2x⁵ + 2x⁴ − 53x³ − 57x + 54)²⁰²⁴ adalah ....

1. −10
2. 10
3. 0

4. −1
5. 1

Grup Facebook

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}x& ={\displaystyle \frac{\sqrt{111}-1}{2}}\\ 2x+1& =\sqrt{111}\\ (2x+1{)}^2& =111\\ 4x^2+4x+1& =111\\ 4x^2+4x& =110\\ 2x^2+2x-55& =0\end{array}$

$\begin{array}{rl}{(2x^5+2x^4-53x^3-57x+54)}^{2024}& ={(2x^5+2x^4-55x^3+2x^3+2x^2-55x-2x^2-2x+55-1)}^{2024}\\ & ={(x^3(2x^2+2x-55)+x(2x^2+2x-55)-(2x^2+2x-55)-1)}^{2024}\\ & ={(-1)}^{2024}\\ & =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black1}}}}\end{array}$

Jadi, nilai (2x⁵ + 2x⁴ − 53x³ − 57x + 54)²⁰²⁴ adalah 1.
JAWAB: E

---

123456