HOTS Zone : Aljabar [4]

\(\begin{aligned} \dfrac{a}b+\dfrac{a+10b}{b+10a}&=2\\[4pt] \dfrac{a}b+\dfrac{\dfrac{a}b+10}{1+10\dfrac{a}b}&=2 \end{aligned}\)
Misal \(\dfrac{a}b=x\)
\(\begin{aligned} x+\dfrac{x+10}{1+10x}&=2\\[4pt] x+10x^2+x+10&=2+20x\\ 10x^2-18x+8&=0\\ 5x^2-9x+4&=0\\ (5x-4)(x-1)&=0\\ x&=\boxed{\boxed{\dfrac54}} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} S&=(x-2)^4+8(x-2)^3+24(x-2)^2+32(x-2)+16\\ &=(x-2)^4+4\cdot2(x-2)^3+6\cdot2^2(x-2)^2+4\cdot2^3(x-2)+2^4\\ &=(x-2+2)^4\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}x^4}} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \dfrac{7^{777}}{5^{777}}\times\sqrt{\dfrac{5^{1554}+30^{1554}}{7^{1554}+42^{1554}}}&=\dfrac{7^{777}}{5^{777}}\times\sqrt{\dfrac{5^{1554}+5^{1554}\cdot6^{1554}}{7^{1554}+7^{1554}\cdot6^{1554}}}\\[4pt] &=\dfrac{7^{777}}{5^{777}}\times\sqrt{\dfrac{5^{1554}\left(1+6^{1554}\right)}{7^{1554}\left(1+6^{1554}\right)}}\\[4pt] &=\dfrac{7^{777}}{5^{777}}\times\dfrac{5^{777}}{7^{777}}\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}1}} \end{aligned}\)

perhatikan bahwa persamaan berlaku saat x² = x⁴ = x, didapat x = 0 dan x = 1.

Untuk x < 0

x < x² dan x < x⁴
$\Rightarrow \dfrac{x+1}{x^2+1}+\dfrac{x+1}{x^4+1}\lt1+1=2$

Untuk 0 < x < 1

x > x² > x⁴
$\Rightarrow \dfrac{x+1}{x^2+1}+\dfrac{x+1}{x^4+1}\gt1+1=2$

Untuk x > 1

x < x² < x⁴
$\Rightarrow \dfrac{x+1}{x^2+1}+\dfrac{x+1}{x^4+1}\lt1+1=2$

Kita lihat bahwa (0, 0, 0) merupakan salah satu solusi. Untuk a, b, c ≠ 0,
\(\begin{aligned} ac&=b\\ a(ab)&=b\\ a^2b&=b\\ a^2&=1\\ \end{aligned}\)
ada 2 kemungkinan nilai a.

\(\begin{aligned} bc&=a\\ b(ab)&=a\\ b^2&=1\\ \end{aligned}\)
ada 2 kemungkinan nilai b.

Untuk a, b, c ≠ 0, ada 2×2 = 4 kemungkinan.

Perhatikan bahwa $a^3+b^3+c^3-3abc=\dfrac12(a+b+c)\left((a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2\right)$.
Untuk a = x; b = y; dan c = −2,
\(\begin{aligned} x^3+y^3-8+6xy&=0\\ x^3+y^3+(-2)^3-3xy(-2)&=0\\ \dfrac12(x+y+(-2))\left((x-y)^2+(y-(-2))^2+(x-(-2))^2\right)&=0\\[4pt] \dfrac12(x+y-2)\left((x-y)^2+(y+2)^2+(x+2)^2\right)&=0\\[4pt] (x-y)^2+(y+2)^2+(x+2)^2&=0 \end{aligned}\)
didapat x = y = −2

\(\begin{aligned} x&=-5+2\sqrt{-4}\\ x+5&=2\sqrt{-4}\\ (x+5)^2&=\left(2\sqrt{-4}\right)^2\\ x^2+10x+25&=4\cdot(-4)\\ x^2+10x+25&=-16\\ x^2+10x&=-41 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} x^4+9x^3+35x^2-x+4&=x^4+10x^3+41x^2-x^3-6x^2-x+4\\ &=x^2\left(x^2+10x+41\right)-x^3-10x^2-41x+4x^2+40x+4\\ &=-x\left(x^2+10x+41\right)+4\left(x^2+10x\right)+4\\ &=4(-41)+4\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}-160}} \end{aligned}\)

Karena jelas bahwa 2022abc adalah bilangan genap, maka a² + b² + c² juga haruslah bilangan genap. Agar a² + b² + c² bilangan genap, maka terdapat dua kasus yang mungkin, yaitu:

Kasus 1. Tepat 1 diantara a, b, dan c adalah bilangan genap.

WLOG a bilangan genap. Maka, b dan c adalah bilangan ganjil.
Sehingga, a² + b² + c² ≡ 0 + 1 + 1 (mod 4) ≡ 2 (mod 4). Sedangkan 2022abc ≡ 0 (mod 4), kontradiksi.
Maka, untuk kasus ini, tidak ada solusi a, b, c yang memenuhi.

Kasus 2. a, b, dan c bilangan genap.

Definisikan v₂(k) = x sebagai pangkat terbesar dari 2 yang habis membagi k (2^x | k, 2^{x + 1} ∤ k)
WLOG min(v₂(a), v₂(b), v₂(c)) = v₂(a) = n ≥ 1
Misalkan a = 2ⁿa₁, b = 2ⁿb₁, c = 2ⁿc₁
Maka,
\(\begin{aligned} \left(2^na_1\right)^2+\left(2^nb_1\right)^2+\left(2^nc_1\right)^2&=2022\left(2^na_1\right)\left(2^nb_1\right)\left(2^nc_1\right)\\ 2^{2n}\left(a_1^2+b_1^2+c_1^2\right)&=2^{3n}\cdot2022a_1b_1c_1\\ a_1^2+b_1^2+c_1^2&=2^n\cdot2022a_1b_1c_1 \end{aligned}\)
Karena v₂(a) = n dan a = 2ⁿa₁, maka a₁ ganjil.
Perhatikan bahwa karena 2ⁿ ⋅ 2022a₁b₁c₁ genap maka a₁² + b₁² + c₁² juga haruslah genap.
Lihat pula bahwa karena a₁ ganjil, maka tepat satu dari b₁ dan c₁ genap, dan yang lainnya ganjil.
Sehingga a₁² + b₁² + c₁² ≡ 1 + 0 + 1 (mod 4) ≡ 2 (mod 4). Sedangkan, 2ⁿ ⋅ 2022a₁b₁c₁ ≡ 0 (mod 4), kontradiksi.
Kasus 2 juga tidak memiliki solusi.

Misal suatu kelompok membentuk barisan persegi panjang dengan ukuran a × b.
Banyaknya siswa di bagian dalam adalah (a − 2)(b − 2), jumlahnya setengah dari keseluruhan.
\(\begin{aligned} (a-2)(b-2)&=\dfrac12ab\\[3.8pt] ab-2a-2b+4&=\dfrac12ab\\[3.8pt] 2ab-4a-4b+8&=ab\\ ab-4a-4b&=-8\\ (a-4)(b-4)&=8=8\cdot1=4\cdot2 \end{aligned}\)

a − 4 = 8 ⟶ a = 12
b − 4 = 1 ⟶ b = 5

a − 4 = 4 ⟶ a = 8
b − 4 = 2 ⟶ b = 6

Kelompok 1 ada 12×5 = 60 siswa, kelompok 2 ada 8×6 = 48 siswa.
60 + 48 = 108.

\(\begin{aligned} x&=\dfrac{\sqrt{111}-1}2\\[4pt] 2x+1&=\sqrt{111}\\ (2x+1)^2&=111\\ 4x^2+4x+1&=111\\ 4x^2+4x&=110\\ 2x^2+2x-55&=0 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \left(2x^5+2x^4-53x^3-57x+54\right)^{2024}&=\left(2x^5+2x^4-55x^3+2x^3+2x^2-55x-2x^2-2x+55-1\right)^{2024}\\ &=\left(x^3\left(2x^2+2x-55\right)+x\left(2x^2+2x-55\right)-\left(2x^2+2x-55\right)-1\right)^{2024}\\ &=\left(-1\right)^{2024}\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}1}} \end{aligned}\)