HOTS Zone : Geometri (Bidang Datar) [2]
Table of Contents
Tipe:
No.
Diketahui r adalah jari-jari dan O adalah pusat setengah lingkaran. Tanpa menggunakan trigonometri, berapakah panjang garis merah dalam bentuk r?ALTERNATIF PENYELESAIAN
Segitiga ADO kongruen dengan segitiga BCO, sehingga ∠AOB = ∠DOC = 60°.
AO = BO maka segitiga AOB sama sisi.
∴ AB = AO = r
∴ AB = AO = r
Jadi, panjang garis merah adalah r.
No.
Sebuah segitiga samasisi, sebuah lingkaran dan sebuah persegi memiliki keliling yang sama. Di antara ketiga bangun tersebut, manakah yang memiliki luas terbesar ?ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal a adalah panjang sisi segitiga, r adalah panjang jari-jari lingkaran, dan s adalah panjang sisi persegi.
3a = 2πr = 4s
9a2 = 4π2r2 = 16s2
\(\begin{aligned} \dfrac{L_\bigtriangleup}{L_\bigcirc}&=\dfrac{\dfrac14a^2\sqrt3}{\pi r^2}\\[4pt] &=\dfrac{\sqrt3}{4\pi}\cdot\dfrac{a^2}{r^2}\\[4pt] &=\dfrac{\sqrt3}{4\pi}\cdot\dfrac{4\pi^2}{9}\\[4pt] &=\dfrac{\pi\sqrt3}9\lt\dfrac{4\cdot2}9\lt1\\[4pt] L_\bigtriangleup&\lt L_\bigcirc \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \dfrac{L_\square}{L_\bigcirc}&=\dfrac{s^2}{\pi r^2}\\[4pt] &=\dfrac1{\pi}\cdot\dfrac{s^2}{r^2}\\[4pt] &=\dfrac1{\pi}\cdot\dfrac{\pi^2}{4}\\[4pt] &=\dfrac{\pi}4\\[4pt] &\lt1\\ L_\square&\lt L_\bigcirc \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \dfrac{L_\bigtriangleup}{L_\bigcirc}&=\dfrac{\dfrac14a^2\sqrt3}{\pi r^2}\\[4pt] &=\dfrac{\sqrt3}{4\pi}\cdot\dfrac{a^2}{r^2}\\[4pt] &=\dfrac{\sqrt3}{4\pi}\cdot\dfrac{4\pi^2}{9}\\[4pt] &=\dfrac{\pi\sqrt3}9\lt\dfrac{4\cdot2}9\lt1\\[4pt] L_\bigtriangleup&\lt L_\bigcirc \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \dfrac{L_\square}{L_\bigcirc}&=\dfrac{s^2}{\pi r^2}\\[4pt] &=\dfrac1{\pi}\cdot\dfrac{s^2}{r^2}\\[4pt] &=\dfrac1{\pi}\cdot\dfrac{\pi^2}{4}\\[4pt] &=\dfrac{\pi}4\\[4pt] &\lt1\\ L_\square&\lt L_\bigcirc \end{aligned}\)
Jadi, yang memiliki luas terbesar adalah lingkaran.
No.
Segitiga ABC memiliki panjang sisiALTERNATIF PENYELESAIAN
s2 = 3s1
\(\begin{aligned} \dfrac{L_2}{L_1}&=\left(\dfrac{s_2}{s_1}\right)^2\\[4pt] &=\left(3\right)^2\\ &=9 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \dfrac{L_2}{L_1}&=\left(\dfrac{s_2}{s_1}\right)^2\\[4pt] &=\left(3\right)^2\\ &=9 \end{aligned}\)
Jadi, segitiga yang terbentuk memiliki luas 9 kali luas ∆ABC.
No.
Garis tengah sebuah setengah lingkaran berimpit dengan alas AB dari ∆ABC. Titik sudut C bergerak sedemikian rupa, sehingga titik tengah sisi AC selalu terletak pada setengah lingkaran. Berupa apakah lengkungan tempat kedudukan titik C ?ALTERNATIF PENYELESAIAN
Karena
Karena BC = AB = diameter lingkaran yang berarti bernilai tetap dan B adalah titik yang tetap maka lengkung yang terjadi adalah berupa setengah lingkaran dengan pusat titik B.
Jadi, berupa setengah lingkaran lengkungan tempat kedudukan titik C.
No.
Diberikan segiempat ABCD dengan luas segitiga AED sama dengan luas segitiga BEC. Jika
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Karena [AED] = [BEC] dan ∠BEC = ∠AED, maka
\(\begin{aligned} AE\cdot ED&=BE\cdot EC\\ \dfrac{AE}{EC}&=\dfrac{BE}{ED} \end{aligned}\)
∴ △ABE ~ △CED
EC = AC − AE = 108 − 45 = 63
\(\begin{aligned} \dfrac{AB}{CD}&=\dfrac{AE}{EC}\\[4pt] \dfrac{50}{CD}&=\dfrac{45}{63}\\[4pt] \dfrac{50}{CD}&=\dfrac57\\ CD&=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}70}} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} AE\cdot ED&=BE\cdot EC\\ \dfrac{AE}{EC}&=\dfrac{BE}{ED} \end{aligned}\)
∴ △ABE ~ △CED
EC = AC − AE = 108 − 45 = 63
\(\begin{aligned} \dfrac{AB}{CD}&=\dfrac{AE}{EC}\\[4pt] \dfrac{50}{CD}&=\dfrac{45}{63}\\[4pt] \dfrac{50}{CD}&=\dfrac57\\ CD&=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}70}} \end{aligned}\)
Jadi, CD = 70.
No.
Persegi ABCD dengan panjang sisinya adalah 8, seperti ditunjukkan pada gambar berikut Jika garid DE menyinggung setengah lingkaran berdiameter AB, panjang DE adalah ....ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal DE menyinggung setengah lingkaran tersebut di F.
DA = DF = 8
MisalFE = BE = x.
DE = DF + FE = 8 + x CE = 8 − x
Dari segitiga CDE,
\(\begin{aligned} DC^2+CE^2&=DE^2\\ 8^2+(8-x)&=(8+x)^2\\ 64+64-16x+x^2&=64+16x+x^2\\ 64&=32x\\ x&=2 \end{aligned}\)
DE = 8 + 2 = 10
DA = DF = 8
Misal
DE = DF + FE = 8 + x CE = 8 − x
Dari segitiga CDE,
\(\begin{aligned} DC^2+CE^2&=DE^2\\ 8^2+(8-x)&=(8+x)^2\\ 64+64-16x+x^2&=64+16x+x^2\\ 64&=32x\\ x&=2 \end{aligned}\)
DE = 8 + 2 = 10
Jadi, DE = 10.
No.
Perhatikan gambar berikut Diketahui- 8
- 9
- 10
- 7
- 3
ALTERNATIF PENYELESAIAN
$AB=\sqrt2$
$AD=CE=\sqrt2-1$
MisalEI = IF = IH = HC = r
\(\begin{aligned} CI&=\sqrt2-1-r\\ r\sqrt2&=\sqrt2-1-r\\ r&=\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}\\[4pt] &=3-2\sqrt2 \end{aligned}\)
3 + 2 + 2 = 7
$AD=CE=\sqrt2-1$
Misal
\(\begin{aligned} CI&=\sqrt2-1-r\\ r\sqrt2&=\sqrt2-1-r\\ r&=\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}\\[4pt] &=3-2\sqrt2 \end{aligned}\)
3 + 2 + 2 = 7
Jadi, a + b + c = 7.
JAWAB: D
JAWAB: D
No.
Luas △Biru?ALTERNATIF PENYELESAIAN
DF2 = 52 + 102 = 125
DE ⋅ DF = DG2 = 52 = 25
\(\begin{aligned} \dfrac{DE\cdot DF}{DF^2}&=\dfrac{25}{125}\\[4pt] \dfrac{DE}{DF}&=\dfrac15\to \dfrac{EF}{DF}=\dfrac45 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \left[EFG\right]&=\dfrac45[DFG]\\[4pt] &=\dfrac45\cdot\dfrac12\cdot5\cdot5\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}10}} \end{aligned}\)
DE ⋅ DF = DG2 = 52 = 25
\(\begin{aligned} \dfrac{DE\cdot DF}{DF^2}&=\dfrac{25}{125}\\[4pt] \dfrac{DE}{DF}&=\dfrac15\to \dfrac{EF}{DF}=\dfrac45 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \left[EFG\right]&=\dfrac45[DFG]\\[4pt] &=\dfrac45\cdot\dfrac12\cdot5\cdot5\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}10}} \end{aligned}\)
Jadi, luas △Biru = 10.
No.
Pada gambar berikut, ABCD, BEFGC, dan CGHIJK berturut-turut adalah persegi, segi lima beraturan, dan segi enam beraturan. Besar ∠ CDK = ....°.
- 60
- 69
- 71
- 73
- 75
ALTERNATIF PENYELESAIAN
∠BCD = 90°
\(\begin{aligned} \angle BCG&=180°-\dfrac{360°}5\\[4pt] &=108° \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \angle GCK&=180°-\dfrac{360°}6\\[4pt] &=120° \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \angle DCK&=360°-(90°+108°+120°)\\ &=360°-318°\\ &=42° \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \angle CDK&=\dfrac{180°-42°}2\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}69°}} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \angle BCG&=180°-\dfrac{360°}5\\[4pt] &=108° \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \angle GCK&=180°-\dfrac{360°}6\\[4pt] &=120° \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \angle DCK&=360°-(90°+108°+120°)\\ &=360°-318°\\ &=42° \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \angle CDK&=\dfrac{180°-42°}2\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}69°}} \end{aligned}\)
Jadi, besar ∠ CDK = 69 °.
JAWAB: B
JAWAB: B
Post a Comment