HOTS Zone : Permutasi dan Kombinasi [2]

Idham Muqoddas

Updated: 22 Apr, 2024 • 0 • 3 min read

Table of Contents

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Permutasi dan Kombinasi. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

STANDAR SNBTHOTS

1 2 3

No. 11

Tentukan banyaknya cara memilih 3 huruf berbeda (tanpa memperhatikan urutan) dari kata BERSATU, dengan syarat tidak semuanya huruf vokal dan tidak semuanya huruf konsonan.

KTOM Agustus 2023

ALTERNATIF PENYELESAIAN

1 Vokal 2 Konsonan
$\begin{aligned} C_{1}^{3} \cdot C_{2}^{4} & = \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \\ = \frac{3 \cdot 2!}{2! 1} \cdot \frac{4^{2} \cdot 3 \cdot 2!}{2! 2 \cdot 1} \\ = 18 \end{aligned}$
2 Vokal 1 Konsonan
$\begin{aligned} C_{2}^{3} \cdot C_{1}^{4} & = \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \\ = \frac{3 \cdot 2!}{1 2!} \cdot \frac{4 \cdot 3!}{3! 1} \\ = 12 \end{aligned}$

18 + 12 = 30

Jadi, banyaknya cara memilih 3 huruf berbeda (tanpa memperhatikan urutan) dari kata BERSATU, dengan syarat tidak semuanya huruf vokal dan tidak semuanya huruf konsonan ada 30 cara.

No. 12

Terdapat sebuah rapat yang terdiri dari 40 kursi yang dihadiri oleh 16 tamu undangan. Untuk menghindari penularan COVID-19, maka setiap tamu undangan harus dibatasi minimal dengan 1 kursi. Tentukan banyaknya susunan mereka duduk.

KSNK 2021 SMP

ALTERNATIF PENYELESAIAN

CARA BIASA

Beri nomor kursi-kursi tersebut dengan nomor 1, 2, 3, 4, ..., 39, dan 40 (misalkan) dari ujung kiri ke ujung kanan dalam urutan tersebut. Misalkan a₁, a₂, a₃, ..., a₁₆ adalah nomor-nomor kursi yang diduduki oleh 16 orang tersebut dimana a_i ∈ {1, 2, 3, ..., 40} untuk setiap bilangan asli 1 ≤ i ≤ 16, lalu pandang himpunan {a₁, a₂, a₃, ..., a₁₆}. Definisikan pula w_j = a_j − a_{j − 1} dimana w_j ≥ 2 untuk setiap bilangan asli 2 ≤ j ≤ 16. Perhatikan bahwa

a₁ + w₂ + w₃ + ⋯ + w₁₆ = a₁₆ ≤ 40

Maka terdapat bilangan asli k sehingga

\begin{aligned} a_{1} + w_{2} + w_{3} + \dots + w_{16} & = 41 - k \\ a_{1} + w_{2} + w_{3} + \dots + w_{16} + k & = 41 \end{aligned}

Misalkan w_j = x_j + 1 dimana x_j bilangan asli. Maka kita punya

\begin{aligned} a_{1} + w_{2} + w_{3} + \dots + w_{16} + k & = 41 \\ a_{1} + (x_{2} + 1) + (x_{3} + 1) + \dots + (x_{16} + 1) + k & = 41 \\ a_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{16} + k & = 26 & \color r e d (*) \end{aligned}

Kita tahu bahwa a_j bijektif dengan x_j, sehingga banyak himpunan {a₁, a₂, ⋯, a₁₆} sama dengan menentukan banyak solusi dari (*). Dengan star and bar theorem, maka ada

C (26 - 1, 17 - 1) = C (25, 16)

Karena posisi 16 orang tersebut dapat ditukar-tukar (dipermutasi), maka banyaknya posisi duduk yang dapat disusun adalah 16! × C(25, 16).

CARA CEPAT

n = 40, m = 16

\begin{aligned} m! \times C (n - m + 1, m) & = 16! \times C (40 - 16 + 1, 16) \\ = 16! \times C (25, 16) \end{aligned}

Jadi,
JAWAB:

No. 13

Dalam sebuah acara reuni dapat dihitung bahwa telah terjadi 120 kali jabat tangan (bersalam-salaman) antara para partisipan. Jika untuk setiap 2 orang berjabat tepat satu kali saja. maka banyaknya orang yang hadir pada acara reuni tersebut adalah ... orang.

OMITS 16th - SMP

ALTERNATIF PENYELESAIAN

\begin{aligned} C_{2}^{n} & = 120 \\ \frac{n (n - 1)}{2} & = 120 \\ n^{2} - n - 240 & = 0 \\ (n + 15) (n - 16) & = 0 \\ n & = 16 \end{aligned}

Jadi, banyaknya orang yang hadir pada acara reuni tersebut adalah 16 orang.
JAWAB: B

No. 14

Sebuah acara rapat dihadiri oleh empat siswa perwakilan kelas 7, tiga siswa kelas 8, dua siswa kelas 9. seorang guru dan ketua OS1S. Acara tersebut berlangsung di salah satu ruangan yang menggunakan meja bundar. Jika perwakilan siswa harus duduk bersamaan sesuai kelasnya dan ketua OSIS harus duduk berdekatan di sebelah guru, maka banyak susunan duduk berbeda yang dapat diatur oleh panitia acara adalah .. . susunan.

3456

2023

4045

2348

2876

OMITS 16th - SMP

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Kita anggap ada 4 kelompok. Kelompok 1 ada 4 orang (kelas 7), kelompok 2 ada 3 orang (kelas 8), kelompok 3 ada 2 orang (kelas 9), dan kelompok 4 ada 2 orang (seorang guru dan ketua OSIS). Banyak susunan adalah

\begin{aligned} (4 - 1)! \cdot 4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 2! & = 6 \cdot 24 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 2 \\ = 3456 \end{aligned}

Jadi, banyak susunan duduk berbeda yang dapat diatur oleh panitia acara adalah 3456 susunan.
JAWAB: A

No. 15

Sebanyak n orang pengurus sebuah organisasi akan dibagi ke dalam empat komisi mengikuti ketentuan berikut : (i) setiap anggota tergabung ke dalam tepat dua komisi, dan (ii) setiap dua komisi memiliki tepat satu anggota bersama. Berapakah n ?

OSP SMA 2002

ALTERNATIF PENYELESAIAN

soal ini sama halnya mencari berapa garis yang bisa dibuat dari 4 titik, dimana tidak ada 3 titik yang segaris. Garis-garis tersebut menggambarkan orang, dan 4 titik menggambarkan komisi.
$C_2^4=6$

Jadi, n = 6.

No. 16

Terdapat 5 kotak yang disusun seperti berikut.

Pada setiap kotak akan diberi nomor diantara 1, 2, 3, 4, 5 sehingga setiap kotak memiliki nomor berbeda. Banyak cara penomoran sehingga kotak dengan bilangan genap tidak bersebelahan (tidak ada sisi yang berimpit) adalah ....

Evaluasi GMOM Februari 2024 tingkat SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal P adalah tempat bilangan genap, dan J adalah tempat bilangan ganjil. Agar kedua bilangan genap tidak bersebelahan, maka kemungkinan posisinya adalah sebagai berikut.

3 ⋅ 2! ⋅ 3! = 36

Jadi, banyak cara penomoran sehingga kotak dengan bilangan genap tidak bersebelahan (tidak ada sisi yang berimpit) adalah 36.

No. 17

Banyaknya bilangan asli 3 digit abc sehingga a ≥ b ≥ c adalah ....

Evaluasi GMOM Februari 2024 tingkat SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Jika a > b > c

Dari 10 digit (0, 1, ..., 9) kita pilih 3 digit. Perhatikan bahwa terpilih digit (1, 2, 3) sama dengan terpilih digit (2, 3, 1) karena akan menjadi bilangan yang sama yaitu 321. Karena tidak memperhatikan urutan maka menggunakan kombinasi.

\begin{aligned} C_{3}^{10} & = \frac{10!}{(10 - 3)! \cdot 3!} \\ = \frac{10 \cdot \cancelto 39 \cdot \cancelto 48 \cdot \cancel 7!}{\cancel 7! \cdot \cancel 3 \cdot \cancel 2} \\ = 120 \end{aligned}

Jika a = b > c

Dari 10 digit kita pilih 2 tanpa memperhatikan urutan.

\begin{aligned} C_{2}^{10} & = \frac{10!}{(10 - 2)! \cdot 2!} \\ = \frac{\cancelto 510 \cdot 9 \cdot \cancel 8!}{\cancel 8! \cdot \cancel 2} \\ = 45 \end{aligned}

Jika a > b = c

Banyaknya bilangan akan sama pada kasus a = b > c yaitu 45.

Jika a = b = c

Ada 9 bilangan.

120 + 45 + 45 + 9 = 219.

Jadi, banyaknya bilangan asli 3 digit abc sehingga a ≥ b ≥ c adalah 219.

No. 18

Budi akan membuat bilangan 3 digit yang digit-digitnya berbeda dan tidak memuat digit 0. Jika bilangan tersebut harus memuat angka 7, 8, atau 9, maka banyak bilangan yang bisa dibuat Budi ada sebanyak ....

Evaluasi GMOM Februari 2024 tingkat SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Banyak bilangan 3 digit yang digit-digitnya berbeda dan tidak memuat digit 0 adalah
9×8×7 = 504

Related: loading

Banyak bilangan 3 digit yang digit-digitnya berbeda, tidak memuat digit 0, 7, 8, atau 9, atau dengan kata lain memuat digit 1, 2, ..., 6 adalah
6×5×4 = 120

Sehingga, banyak bilangan 3 digit yang digit-digitnya berbeda, tidak memuat digit 0, memuat angka 7, 8, atau 9, adalah
504 − 120 = 384

Jadi, banyak bilangan yang bisa dibuat Budi ada sebanyak 384.

No. 19

Banyaknya penyusunan kata 4 huruf yang hurufnya diambil dari K, E, L, I, N, C, I adalah ....

Evaluasi GMOM Februari 2024 tingkat SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Memuat paling banyak 1 huruf I

Banyak kata 4 huruf dari K, E, L, I, N, C

\begin{aligned} P_{4}^{6} & = \frac{6!}{(6 - 4)!} \\ = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cancel 2!}{\cancel 2!} \\ = 360 \end{aligned}

Memuat 2 huruf I

Kita pilih 2 huruf lagi dari K, E, L, N, C tanpa memperhatikan urutan, kemudian permutasikan.

\begin{aligned} C_{2}^{5} \cdot \frac{4!}{2!} & = \frac{5!}{(5 - 2)! \cdot 2!} \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot \cancel 2!}{\cancel 2!} \\ = \frac{5 \cdot \cancelto 24 \cdot \cancel 3!}{\cancel 3! \cdot \cancel 2} \cdot 12 \\ = 120 \end{aligned}

360 + 120 = 480

Jadi, banyaknya penyusunan kata 4 huruf yang hurufnya diambil dari K, E, L, I, N, C, I adalah 480.

No. 20

Sekelompok orang akan berjabat tangan. Setiap orang hanya dapat melakukan jabat tangan sekali. Tidak boleh melakukan jabat tangan dengan dirinya sendiri. Jika dalam sekelompok orang tersebut terdapat 190 jabat tangan, maka banyaknya orang dalam kelompok ada berapa?

OSK SMA 2011

ALTERNATIF PENYELESAIAN

\begin{aligned} C_{2}^{n} & = 190 \\ \frac{n!}{(n - 2)! 2!} & = 190 \\ \frac{n \cdot (n - 1) \cdot \cancel (n - 2)!}{\cancel (n - 2)! \cdot 2} & = 10 \cdot 19 \\ \frac{n (n - 1)}{2} & = 10 \cdot 19 \\ n (n - 1) & = 2 \cdot 10 \cdot 19 \\ n (n - 1) & = 20 \cdot 19 \\ n & = \color b l u e \color b l a c k 20 \end{aligned}

Jadi, banyaknya orang dalam kelompok ada 20 orang.

1 2 3

Matematika Idhamdaz

HOTS Zone : Permutasi dan Kombinasi [2]

Tipe:

No. 11

1 Vokal 2 Konsonan

2 Vokal 1 Konsonan

No. 12

CARA BIASA

CARA CEPAT

No. 13

No. 14

No. 15

No. 16

No. 17

Jika a > b > c

Jika a = b > c

Jika a > b = c

Jika a = b = c

No. 18

No. 19

Memuat paling banyak 1 huruf I

Memuat 2 huruf I

No. 20

Post a Comment