Exercise Zone : Persamaan Lingkaran
Table of Contents
Tipe:
No.
Persamaan lingkaran yang berpusatx2 + y2 + 6x − 6y − 14 = 0 x2 + y2 + 8x − 8y − 14 = 0 x2 + y2 + 6x − 8y − 22 = 0
x2 + y2 + 6x − 8y − 24 = 0 x2 + y2 + 8x − 8y − 24 = 0
ALTERNATIF PENYELESAIAN
a = −3
b = 4
$r=\dfrac{14}2=7$
Persamaan lingkarannya adalah
\(\begin{aligned} (x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\ (x+3)^2+(y-4)^2&=7^2\\ x^2+6x+9+y^2-8y+16&=49\\ x^2+y^2+6x-8y-24&=0 \end{aligned}\)
b = 4
$r=\dfrac{14}2=7$
Persamaan lingkarannya adalah
\(\begin{aligned} (x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\ (x+3)^2+(y-4)^2&=7^2\\ x^2+6x+9+y^2-8y+16&=49\\ x^2+y^2+6x-8y-24&=0 \end{aligned}\)
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat (−3, 4) dan diameter 14 adalah x2 + y2 + 6x − 8y − 24 = 0 .
JAWAB: D
JAWAB: D
No.
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di sepanjang garisALTERNATIF PENYELESAIAN
Titik pusat lingkaran berada di (3, q) , dengan jari-jari r = q .
$\begin{aligned} y&=2x+1\\ q&=2(3)+1\\ q&=6+1\\ q&=7 \end{aligned} $
Persamaan lingkaran dengan titik pusat(3, 7) dengan jari-jari 7 adalah
$\begin{aligned} (x-3)^2+(y-7)^2&=7^2\\ x^2-6x+9+y^2-14y+49&=49\\ x^2+y^2-6x-14y+9&=0 \end{aligned} $
$\begin{aligned} y&=2x+1\\ q&=2(3)+1\\ q&=6+1\\ q&=7 \end{aligned} $
Persamaan lingkaran dengan titik pusat
$\begin{aligned} (x-3)^2+(y-7)^2&=7^2\\ x^2-6x+9+y^2-14y+49&=49\\ x^2+y^2-6x-14y+9&=0 \end{aligned} $
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di sepanjang garis y = 2x + 1 dan menyinggung sumbu-x pada titik ( 3 ,0) adalah x2 + y2 − 6x − 14y + 9 = 0.
No.
Titik pusat sebuah lingkaran berada pada garis $y=\sqrt3$. Lingkaran tersebut menyinggung sumbu Y dan garis ${\sqrt3x-3y=0}$. Tentukanlah persamaan lingkaran.ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal titik pusatnya adalah $\left(p,\sqrt3\right)$.
Menyinggung sumbu Y artinyar = |p| .
Jari-jari r adalah jarak titik pusat $\left(p,\sqrt3\right)$ ke garis ${\sqrt3x-3y=0}$.
$\begin{aligned} r&=\left|\dfrac{\sqrt3p-3\sqrt3}{\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2+(-3)^2}}\right|\\ |p|&=\left|\dfrac{\sqrt3(p-3)}{\sqrt{3+9}}\right|\\ |p|&=\left|\dfrac{\sqrt3(p-3)}{\sqrt{12}}\right|\\ |p|&=\left|\dfrac{\sqrt3(p-3)}{2\sqrt3}\right|\\ |p|&=\left|\dfrac{p-3}2\right|\\ p&=\pm\dfrac{p-3}2 \end{aligned}$
Menyinggung sumbu Y artinya
Jari-jari r adalah jarak titik pusat $\left(p,\sqrt3\right)$ ke garis ${\sqrt3x-3y=0}$.
$\begin{aligned} r&=\left|\dfrac{\sqrt3p-3\sqrt3}{\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2+(-3)^2}}\right|\\ |p|&=\left|\dfrac{\sqrt3(p-3)}{\sqrt{3+9}}\right|\\ |p|&=\left|\dfrac{\sqrt3(p-3)}{\sqrt{12}}\right|\\ |p|&=\left|\dfrac{\sqrt3(p-3)}{2\sqrt3}\right|\\ |p|&=\left|\dfrac{p-3}2\right|\\ p&=\pm\dfrac{p-3}2 \end{aligned}$
| $\begin{aligned}
p&=\dfrac{p-3}2\\
2p&=p-3\\
p&=-3
\end{aligned}$ Persamaan lingkaran dengan titik pusat $\left(-3,\sqrt3\right)$ dan jari-jari 3 $\begin{aligned} (x-p)^2+(y-q)^2&=r^2\\ (x-(-3))^2+(y-\sqrt3)^2&=3^2\\ (x+3)^2+(y-\sqrt3)^2&=9\\ x^2+6x+9+y^2-2\sqrt3y+3-9&=0\\ x^2+y^2+6x-2\sqrt3y+3&=0 \end{aligned}$ |
$\begin{aligned}
p&=-\dfrac{p-3}2\\
2p&=-p+3\\
3p&=3\\
p&=1
\end{aligned}$ Persamaan lingkaran dengan titik pusat $\left(1,\sqrt3\right)$ dan jari-jari 1 $\begin{aligned} (x-p)^2+(y-q)^2&=r^2\\ (x-1)^2+(y-\sqrt3)^2&=1^2\\ x^2-2x+1+y^2-2\sqrt3y+3&=1\\ x^2+y^2-2x-2\sqrt3y+3&=0 \end{aligned}$ |
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $x^2+y^2+6x-2\sqrt3y+3=0$ atau $x^2+y^2-2x-2\sqrt3y+3=0$.
No.
Jari-jari dan titik pusat lingkaran- $\dfrac32$ dan $\left(-\dfrac12,1\right)$
- $\dfrac32$ dan $\left(-\dfrac12,\dfrac32\right)$
- $\dfrac32$ dan $\left(\dfrac12,\dfrac32\right)$
- 3 dan
(1, 3) - 3 dan
(−1, 3)
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
4x^2+4y^2+4x-12x+1&=0&\color{red}:4\\
x^2+y^2+x-3x+\dfrac14&=0
\end{aligned}\)
A = 1; B = −3; $C=\dfrac14$
A = 1; B = −3; $C=\dfrac14$
Titik Pusat
\(\begin{aligned} \left(-\dfrac12A,-\dfrac12B\right)&=\left(-\dfrac12(1),-\dfrac12(-3)\right)\\[4pt] &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}\left(-\dfrac12,\dfrac32\right)}} \end{aligned}\)Jari-Jari
\(\begin{aligned} r&=\sqrt{\left(-\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac32\right)^2-\dfrac14}\\ &=\sqrt{{\color{red}\dfrac14}+\left(\dfrac32\right)^2-{\color{red}\dfrac14}}\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}\dfrac32}} \end{aligned}\)Jadi, jari-jari dan titik pusat lingkaran 4x2 + 4y2 + 4x − 12y + 1 = 0 adalah $\dfrac32$ dan $\left(-\dfrac12,\dfrac32\right)$.
JAWAB: B
JAWAB: B
No.
Persamaan lingkaran yang melalui (0, 0) dan- x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0
- x2 + y2 + 4x − 2y − 5 = 0
- x2 + y2 + 4x + y + 5 = 0
- x2 + y2 − 4x − 2y = 0
- x2 + y2 + 4x + 2y = 0
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal persamaan lingkarannya adalah
\(\begin{aligned} (x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\ (x-a)^2+(y-b)^2&=\left(\sqrt5\right)^2\\ (x-a)^2+(y-b)^2&=5 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} (x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\ (x-a)^2+(y-b)^2&=\left(\sqrt5\right)^2\\ (x-a)^2+(y-b)^2&=5 \end{aligned}\)
Melalui (0, 0)
\(\begin{aligned} (0-a)^2+(0-b)^2&=5\\ a^2+b^2&=5&{\color{red}(1)}\\ \end{aligned}\)Melalui (1, −1)
\(\begin{aligned} (1-a)^2+(-1-b)^2&=5\\ 1-2a+a^2+1+2b+b^2&=5\\ 2a-2b&=2\\ a&=b+1 \end{aligned}\)Substitusikan ke persamaan (1)
\(\begin{aligned} (b+1)^2+b^2&=5\\ b^2+2b+1+b^2&=5\\ 2a^2+2b-4&=0\\ b^2+b-2&=0\\ (b+2)(b-1)&=0\\ \end{aligned}\)b = −2, atau b = 1
a = −1
b = 1 − (−1) = 2\(\begin{aligned} (x+1)^2+(y-2)^2&=5\\ x^2+2x+1+y^2-4y+4&=5\\ x^2+y^2+2x-4y&=0 \end{aligned}\)
a = 2
b = 1 − 2 = −1\(\begin{aligned} (x-2)^2+(y+1)^2&=5\\ x^2+y^2-4x+2y&=0 \end{aligned}\)
Jadi,
JAWAB:
JAWAB:
Post a Comment