HOTS Zone : Segitiga [3]

Table of Contents

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Segitiga. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Matematika Idhamdaz.

Tipe:

STANDARSNBTHOTS

123

No. 21

Pada suatu segitiga ABC, jika (a + b + c)(b + c − a) = 3bc, maka besar sudut A adalah ....

1. 15°
2. 30°

3. 45°
4. 60°

5. 120°

KPATN 2024 Jenjang Guru

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}(a+b+c)(b+c-a)& =3bc\\ (b+c+a)(b+c-a)& =3bc\\ (b+c{)}^2-a^2& =3bc\\ b^2+2bc+c^2-a^2& =3bc\\ b^2+c^2-bc& =a^2\\ b^2+c^2-2bc\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}& =a^2\\ b^2+c^2-2bc\cdot \cos 60°& =a^2\end{array}$

Jadi, besar sudut A adalah 60°.
JAWAB: D

---

No. 22

Pada segitiga ABC, terdapat titik D pada BC dan E, F pada AC sehingga A, F, E, C berurutan pada garis tersebut, serta memenuhi kondisi:

∠BAD = ∠BFD = 40°, ∠ABF = 80°, ∠FEB = 2∠CBE = 2∠EBF

Tentukan besar ∠ACB.

Latihan OSK 2024 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misalkan $\angle FBE=\angle EBD=\dfrac12\angle FEB=x°$.
Perhatikan bahwa karena ∠BAD = ∠BFD, maka ABDF adalah segiempat siklik. Perhatikan juga bahwa
$\begin{array}{rl}3x°& =\mathrm{\angle }FBE+\mathrm{\angle }FEB\\ & =\mathrm{\angle }AFB\\ & =\mathrm{\angle }ADB\\ & =180°-\mathrm{\angle }BAD-\mathrm{\angle }ABD\\ & =180°-40°-(80°+2x°)\\ & =60°-2x°\\ 5x°& =60°\\ x& =12\end{array}$

$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }ACB+\mathrm{\angle }CBE& =\mathrm{\angle }BEA\\ \mathrm{\angle }ACB+x°& =2x°\\ \mathrm{\angle }ACB& =x°\\ & =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black12°}}}}\end{array}$

Jadi, ∠ACB = 12°.

---

No. 23

Misalkan ABC adalah segitiga dengan AB = 9, BC = 20, dan CA = 16. Titik D terletak pada segmen BC sehingga DB = DA. Garis bagi luar ∠BAC memotong perpanjangan BC di titik E. Misalkan F adalah titik tengah DE. Jika panjang FA dapat dinyatakan dalam bentuk $\dfrac{p}q$ dengan p dan q adalah bilangan asli yang relatif prima, hitung nilai dari p + q.

Latihan OSK 2024 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}\cos \mathrm{\angle }BAD& =\cos \mathrm{\angle }ABD\\ & =\cos \mathrm{\angle }ABC\\ & ={\displaystyle \frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}}\\ & ={\displaystyle \frac{9^2+{20}^2-{16}^2}{2\cdot 9\cdot 20}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{8}}\end{array}$

$AD=BD=\dfrac{36}5$

$\begin{array}{rl}\cos \mathrm{\angle }BAC& ={\displaystyle \frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}}\\ & =-{\displaystyle \frac{14}{64}}\\ & ={\displaystyle \frac{50}{64}}-1\\ & =2{\cos }^2\mathrm{\angle }BAD-1\\ & =\cos 2\mathrm{\angle }BAD\\ \mathrm{\angle }BAC& =2\mathrm{\angle }BAD\end{array}$
maka AD adalah garis bagi ∠BAC. Karena AE dan AD merupakan garis bagi,
∠EAD = 90°
FE = FD = FA

Karena AE garis bagi, maka
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{BE}{EC}}& ={\displaystyle \frac{AB}{AC}}\\ {\displaystyle \frac{BE}{BE+20}}& ={\displaystyle \frac{9}{16}}\\ BE& ={\displaystyle \frac{180}{7}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}FA& ={\displaystyle \frac{EB+BD}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{180}{7}}+{\displaystyle \frac{36}{5}}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{576}{35}}\end{array}$

p + q = 576 + 35 = 611

Jadi, p + q = 611.

---

No. 24

Segitiga ABC dengan panjang AB = 12 dan BC = 9. Titik D dan E pada AC sehingga AD = 6, DE = 6, dan EC = 3. Besar ∠DBE adalah .... derajat.

Evaluasi GMOM Februari 2025 tingkat SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

α + θ + β = 90°

∠BED = ∠ABE = α + θ, ∠BDE = ∠CBD = θ + β. Dari segitiga BDE,
$\begin{array}{rl}\mathrm{\angle }DBE+\mathrm{\angle }BED+\mathrm{\angle }BDE& =180°\\ \theta +\alpha +\theta +\theta +\beta & =180°\\ 2\theta +\alpha +\theta +\beta & =180°\\ 2\theta +90°& =180°\\ 2\theta & =90°\\ \theta & =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black45°}}}}\end{array}$

Jadi, besar ∠DBE adalah 45°.

---

No. 25

Pada segitiga ABC dengan AB = 10, AC = 8, dan BC = 6, titik P, Q, R berturut-turut pada BC, AC, dan AB, sehingga AP, BQ, dan CR konkuren. RQ dan BC diperpanjang sehingga berpotongan di S. Jika BR = BP = 4, maka PS adalah ....

Evaluasi GMOM Februari 2024 tingkat SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Dengan menggunakan teorema Ceva,
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{CQ}{QA}}\cdot {\displaystyle \frac{AR}{RB}}\cdot {\displaystyle \frac{BP}{PC}}& =1\\ {\displaystyle \frac{CQ}{QA}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{2}}& =1\\ {\displaystyle \frac{CQ}{QA}}& ={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$

Dengan menggunakan teorema Menelaus,
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{BS}{SC}}\cdot {\displaystyle \frac{CQ}{QA}}\cdot {\displaystyle \frac{AR}{RB}}& =1\\ {\displaystyle \frac{SC+6}{SC}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{4}}& =1\\ (1+{\displaystyle \frac{6}{SC}}){\displaystyle \frac{1}{2}}& =1\\ 1+{\displaystyle \frac{6}{SC}}& =2\\ SC& =6\end{array}$

PS = PC + CS = 2 + 6 = 8

Jadi, PS = 8.

---

No. 26

Diberikan segitiga ACE siku-siku di C. Titik B, D, dan F berturut-turut terletak pada segmen AC, CE, dan AE sedemikian sehingga BCDF adalah persegi. Jika diketahui AE = 15 dan DF = 5, luas ABF + luas DEF adalah ....

1. $\dfrac{25\left(\sqrt{10}-1\right)}2$
2. $\dfrac{25\sqrt5}2$
3. $\dfrac{25\left(3\sqrt2-2\right)}2$

4. 29
5. $\dfrac{175}2$

Grup WhatsApp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal AB = x, dan DE = y.

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{AB}{FD}}& ={\displaystyle \frac{BF}{DE}}\\ {\displaystyle \frac{x}{5}}& ={\displaystyle \frac{5}{y}}\\ xy& =25\end{array}$

Related: loading

$\begin{array}{rl}A{C}^2+C{E}^2& =A{E}^2\\ (x+5{)}^2+(y+5{)}^2& ={15}^2\\ x^2+10x+25+y^2+10y+25& =225\\ x^2+y^2+10x+10y& =175\\ (x+y{)}^2-2xy+10(x+y)& =175\\ (x+y{)}^2-2(25)+10(x+y)& =175\\ (x+y{)}^2-50+10(x+y)& =175\\ (x+y{)}^2+10(x+y)& =225\\ (x+y{)}^2+10(x+y)+25& =250\\ {(x+y+5)}^2& =250\\ x+y+5& =\sqrt{250}\\ x+y+5& =5\sqrt{10}\\ x+y& =5\sqrt{10}-5\end{array}$

$\begin{array}{rl}\left[ABF\right]+[DEF]& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 5\cdot x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 5\cdot y\\ & ={\displaystyle \frac{5}{2}}(x+y)\\ & ={\displaystyle \frac{5}{2}}(5\sqrt{10}-5)\\ & =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black{\displaystyle \frac{25(\sqrt{10}-1)}{2}}}}}}\end{array}$

Jadi, $\left[ABF\right]+[DEF]=\dfrac{25\left(\sqrt{10}-1\right)}2$.
JAWAB: A

---

No. 27

Diberikan segitiga ABC dengan AB = 7 dan AC = 8. Titik D pada BC sehingga BD = 6 dan DC = 3. Jika Luas dari segitiga ADC adalah k, maka k² = ...

Evaluasi GMOM September 2024

ALTERNATIF PENYELESAIAN

untuk segitiga ABC,
$s=\dfrac{7+8+9}2=12$

$\begin{array}{rl}\left[ABC\right]& =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ & =\sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)}\\ & =\sqrt{12(5)(4)(3)}\\ & =12\sqrt{5}\end{array}$

Karena $\dfrac{DC}{BC}=\dfrac39=\dfrac13$, maka
$\begin{array}{rl}\left[ADC\right]& ={\displaystyle \frac{1}{3}}[ABC]\\ k& ={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(12\sqrt{5}\right)\\ & =4\sqrt{5}\\ k^2& =4^2(5)\\ & =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black80}}}}\end{array}$

Jadi, k² = 80.

---

No. 28

Diberikan segitiga ABC dengan garis bagi sudut A memotong sisi BC di titik D. Jika panjang AB = AD = 15 dan BD = 10, maka CD adalah ...

Evaluasi GMOM September 2024

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal AB = c = 15, AD = d = 15, BD = m = 10, dan CD = n.

$k=\dfrac{c}m=\dfrac{15}{10}=\dfrac32$

$\begin{array}{rl}{d}^2& =mn(k^2-1)\\ {15}^2& =10\cdot n({\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2-1)\\ 45& =2n({\displaystyle \frac{9}{4}}-1)\\ 45& ={\displaystyle \frac{5}{2}}n\\ n& =18\end{array}$

Jadi, CD = 18.

---

No. 29

Diberikan segitiga siku-siku △ABC dengan ∠ACB = 90°. Misalkan titik D dan E terletak pada garis BC dan AC berturut-turut, sehingga AD dan BE keduanya tegak lurus terhadap AB. Misal garis AE memotong lingkaran luar △ABD di titik F, dengan F ≠ A. Jika nilai $\frac{CB}{CA}=\frac12$, tentukan nilai dari $\frac{EF}{EC}$.

Grup WhatsApp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal CB = 1
CA = 2
$AB=\sqrt5$

$\begin{array}{rl}B{C}^2& =CE\cdot AC\\ 1^2& =CE\cdot 2\\ CE& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

Karena BD diameter, maka CF = CA = 2

$EF=2-\dfrac12=\dfrac32$

$\dfrac{EF}{EC}=\dfrac{\frac32}{\frac12}=3$

Jadi, $\frac{EF}{EC}=3$.

---

123