HOTS Zone : Aljabar [6]

Table of Contents

• Tipe
• No. 51
• No. 52
• No. 53
• No. 54
• No. 55
• No. 56
• No. 57
• No. 58

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Aljabar. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Matematika Idhamdaz.

Tipe

STANDARSNBTHOTS

123456

No. 51

Selesaikan persamaan $x^2+{\displaystyle \frac{x^2}{(x+1{)}^2}}=3$, untuk x ∈ ℝ

Canadian MO 1992

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{x}^2+{\displaystyle \frac{x^2}{(x+1{)}^2}}& =3\\ (x+1-1{)}^2+{\displaystyle \frac{(x+1-1{)}^2}{(x+1{)}^2}}& =3\\ (x+1{)}^2-2(x+1)+1+{\displaystyle \frac{(x+1{)}^2-2(x+1)+1}{(x+1{)}^2}}& =3\\ (x+1{)}^2-2(x+1)+1+1-{\displaystyle \frac{2}{x+1}}+{\displaystyle \frac{1}{(x+1{)}^2}}& =3\\ (x+1{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{(x+1{)}^2}}-2((x+1)+{\displaystyle \frac{1}{x+1}})+2& =3\\ {((x+1)+{\displaystyle \frac{1}{x+1}})}^2-2-2((x+1)+{\displaystyle \frac{1}{x+1}})+2& =3\\ {((x+1)+{\displaystyle \frac{1}{x+1}})}^2-2((x+1)+{\displaystyle \frac{1}{x+1}})-3& =0\\ ((x+1)+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}+1)((x+1)+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}-3)& =0\end{array}$

• $(x+1)+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}+1=0\text{color}red\times (x+1)$
  $\begin{array}{rl}{x}^2+2x+1+1+x+1& =0\\ x^2+3x+3& =0\end{array}$
  D < 0 sehingga tidak ada nilai x yang memenuhi.
  
  
• $(x+1)+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}-3=0\text{color}red\times (x+1)$
  $\begin{array}{rl}{x}^2+2x+1+1-3x-3& =0\\ x^2-x-1& =0\\ x& ={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{(-1{)}^2-4(1)(-1)}}{2(1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+4}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}}\end{array}$

Jadi, $x={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ atau $x={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$.

---

No. 52

Definisikan sebuah operasi ↑ di mana $$a\uparrow b=\frac{a^3}{a-b}$$ untuk setiap bilangan real a ≠ b. Berapakah nilai dari (10 ↑ 100) + (100 ↑ 10)?

1. 9100
2. 10110

3. 9010
4. 11100

MaQC TOC 12

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Tinjau bahwa
$\begin{array}{rl}(a\uparrow b)+(b\uparrow a)& ={\displaystyle \frac{a^3}{a-b}}+{\displaystyle \frac{b^3}{b-a}}\\ & ={\displaystyle \frac{a^3}{a-b}}-{\displaystyle \frac{b^3}{a-b}}\\ & ={\displaystyle \frac{a^3-b^3}{a-b}}\\ & =a^2+ab+b^2\end{array}$

$\begin{array}{rl}(10\uparrow 100)+(100\uparrow 10)& ={10}^2+10\cdot 100+{100}^2\\ & =100+1000+10000\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 11100}}}}\end{array}$

Jadi, (10 ↑ 100) + (100 ↑ 10) = 11100.
JAWAB: D

---

No. 53

$$x^2+3+{\displaystyle \frac{49}{x^2+3}}=14$$ Tentukan nilai x.

Grup Whatsapp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

CARA 1

Misal x² + 3 = y
$\begin{array}{rl}y+{\displaystyle \frac{49}{y}}& =14\\ y^2+49& =14y\\ y^2-14y+49& =0\\ (y-7{)}^2& =0\\ y& =7\\ x^2+3& =7\\ x^2& =4\\ x& =\pm 2\end{array}$

CARA 2

$x^2+3+\dfrac{7^2}{x^2+3}=2\cdot7$
$\begin{array}{rl}{x}^2+3& =7\\ x^2& =4\\ x& =\pm 2\end{array}$

Jadi, x = −2 atau x = 2.

---

No. 54

Banyaknya pasangan bilangan bulat positif m dan n dengan m < n ≤ 50 yang memenuhi $${\displaystyle \frac{m+n}{2}}-\sqrt{mn}=1$$ adalah ....

1. 1
2. 2
3. 3

4. 4
5. 6

Grup Whatsapp

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal m = a², n = b².
$\begin{array}{rlr}{\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}}-ab& =1& \text{color}red\times 2\\ a^2+b^2-2ab& =2\\ (b-a{)}^2& =2\\ b-a& =\sqrt{2}\\ b& =a+\sqrt{2}\\ b^2& =a^2+2a\sqrt{2}+2\end{array}$
Perhatikan bahwa b² merupakan bilangan bulat sehingga $a=c\sqrt2$, dengan c merupakan bilangan bulat positif.
$\begin{array}{rl}{b}^2& =(c\sqrt{2}{)}^2+2(c\sqrt{2})\sqrt{2}+2\\ n& =2c^2+4c+2\\ n& =2(c+1{)}^2\le 50\\ c+1& \le 5\\ c& \le 4\end{array}$

Jadi, banyaknya pasangan bilangan bulat positif m dan n dengan m < n ≤ 50 yang memenuhi $${\displaystyle \frac{m+n}{2}}-\sqrt{mn}=1$$ adalah 4 pasangan.
JAWAB: D

---

No. 55

Jika $x^{\frac13}+x^{-\frac13}=2$, maka nilai dari $x^2+\dfrac1{x^2}=$ ....

Evaluasi GMOM September 2024

ALTERNATIF PENYELESAIAN

misal $x^{\frac13}=p$,

$p+\dfrac1p=2$

$\begin{array}{rl}{p}^2+{\displaystyle \frac{1}{p^2}}& ={(p+{\displaystyle \frac{1}{p}})}^2-2\\ & =2^2-2\\ & =2\end{array}$

Related: loading

$\begin{array}{rl}{p}^4+{\displaystyle \frac{1}{p^4}}& ={(p^2+{\displaystyle \frac{1}{p^2}})}^2-2\\ & =2\end{array}$

$\begin{array}{rl}(p^2+{\displaystyle \frac{1}{p^2}})(p^4+{\displaystyle \frac{1}{p^4}})& =(2)(2)\\ p^6+{\displaystyle \frac{1}{p^6}}+p^2+{\displaystyle \frac{1}{p^2}}& =4\\ p^6+{\displaystyle \frac{1}{p^6}}+2& =4\\ p^6+{\displaystyle \frac{1}{p^6}}& =4-2\\ x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}& =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black2}}}}\end{array}$

Jadi,
JAWAB:

---

No. 56

Diberikan bilangan real x yang memenuhi $\left(x+\dfrac1x\right)^2=3$. Bentuk sederhana dari x²⁰¹⁷ + x⁶⁷ + x⁴⁴ + x³¹ + x²⁶ + x + 6 adalah ....

1. x
2. 6
3. x + x²

4. 0
5. 3

Penyisihan LMNAS Ke-28 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^2& =3\\ x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}+2& =3\\ x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}& =1\\ x^4+1& =x^2\\ x^4& =x^2-1\\ x^6& =x^4-x^2\\ x^6& =-1\end{array}$

$\begin{array}{rl}{x}^{2017}+x^{67}+x^{44}+x^{31}+x^{26}+x+6& ={\left(x^6\right)}^{336}\cdot x+{\left(x^6\right)}^{11}\cdot x+{\left(x^6\right)}^7\cdot x^2+{\left(x^6\right)}^5\cdot x+{\left(x^6\right)}^4\cdot x^2+x+6\\ & ={(-1)}^{336}\cdot x+{(-1)}^{11}\cdot x+{(-1)}^7\cdot x^2+{(-1)}^5\cdot x+{(-1)}^4\cdot x^2+x+6\\ & =x-x-x^2-x+x^2+x+6\\ & =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black6}}}}\end{array}$

Jadi, bentuk sederhana dari x²⁰¹⁷ + x⁶⁷ + x⁴⁴ + x³¹ + x²⁶ + x + 6 adalah 6.
JAWAB: B

---

No. 57

Dalam suatu permainan, jika menang mendapat nilai 1, jika kalah mendapat nilai −1. (a, b) menyatakan a putaran permainan dan b menyatakan total nilai seorang pemain. Maka seluruh kemungkinan (a, b) pada putaran ke 20 adalah ....

OSK SMA 2011

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misalkan banyaknya menang = x, x ≥ 0
Banyaknya kalah = y, y ≥ 0
sehingga
$\begin{array}{rl}x+y& =a=20\\ x-y& =b& +\\ 2x& =20+b\\ b& =2x-20\end{array}$

Karena 0 ≤ x ≤ 20, maka ada 21 kemungkinan nilai x.

Jadi, ada 21 kemungkinan (a, b) pada putaran ke 20.

---

No. 58

Diketahui a, b, c adalah bilangan riil dengan $\dfrac{a}{c}=8$. Nilai terkecil dari $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}$ adalah ....

1. 1
2. 4
3. 8

4. 16
5. 65

Penyisihan OGM 10 Tingkat SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{({\displaystyle \frac{a}{b}}-{\displaystyle \frac{b}{c}})}^2& \ge 0\\ {\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}-2{\displaystyle \frac{a}{b}}{\displaystyle \frac{b}{c}}+{\displaystyle \frac{b^2}{c^2}}& \ge 0\\ {\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}-2{\displaystyle \frac{a}{c}}+{\displaystyle \frac{b^2}{c^2}}& \ge 0\\ {\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}-16+{\displaystyle \frac{b^2}{c^2}}& \ge 0\\ {\displaystyle \frac{a^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{b^2}{c^2}}& \ge 16\end{array}$

Jadi, nilai terkecil dari $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}$ adalah 16.
JAWAB: D

---

123456