HOTS Zone : Bilangan Asli (Bilangan Bulat Positif) [3]
Tipe:
No.
Banyaknya bilangan asli m, n yang memenuhiALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
m^2-n^2&=30^7\\
(m+n)(m-n)&=(2\cdot3\cdot5)^7\\
(m+n)(m-n)&=2^7\cdot3^7\cdot5^7
\end{aligned}\)
Perhatikan bahwa(m + n) dan (m − n) pasti genap.
Misalm + n = 2p dan m − n = 2q, dengan (2p)(2q) = 27⋅37⋅57, atau pq = 25⋅37⋅57, dan p > q.
Banyak faktor positifnya,
(5 + 1)(7 + 1)(7 + 1) = 384
Banyak pasangan(m, n) sama dengan banyak pasangan (p, q) yaitu
$\dfrac{384}2=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}192}}$
Perhatikan bahwa
Misal
Banyak faktor positifnya,
(5 + 1)(7 + 1)(7 + 1) = 384
Banyak pasangan
$\dfrac{384}2=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}192}}$
Jadi, banyaknya bilangan asli m, n yang memenuhi m2 − n2 = 307 adalah 192.
No.
Pada papan tertulis 90 bilangan asli 1, 1, ..., 1, a, b (ada sebanyak 88 bilangan 1). Hasil penjumlahan seluruh bilangan di papan adalah A dan demikian juga hasil perkalian semua bilangan di papan adalah A. Nilai A adalah ....ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
1+1+\cdots+1+a+b&=1\cdot1\cdots1\cdot a\cdot b\\
88+a+b&=ab\\
89&=ab-a-b+1\\
89&=(a-1)(b-1)
\end{aligned}\)
89 adalah bilangan prima sehingga nilai(a − 1) ada 2 kemungkinan yaitu 1 atau 89.
a − 1 = 1 ⟶ a = 2
b − 1 = 89 ⟶ b = 90
ab = 2×90 =180
Untuk nilai a − 1 = 89, akan menghasilkan nilai ab yang sama.
89 adalah bilangan prima sehingga nilai
a − 1 = 1 ⟶ a = 2
b − 1 = 89 ⟶ b = 90
ab = 2×90 =
Untuk nilai a − 1 = 89, akan menghasilkan nilai ab yang sama.
Jadi, A = 180.
No.
Banyak bilangan dua digit $\overline{ab}$ denganALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
\overline{ab}+\overline{ba}&=66k\\
10a+b+10b+a&=66k\\
11a+11b&=66k\\
a+b&=6k
\end{aligned}\)
Total ada 5 + 7 + 1 =13 bilangan.
Kasus 1: a + b = 6
a ∈ {1, 2, ..., 5}. Ada 5 bilangan.Kasus 2: a + b = 12
a ∈ {3, 4, ..., 9}. Ada 7 bilangan.Kasus 3: a + b = 18
a = b = 9. Ada 1 bilangan.Total ada 5 + 7 + 1 =
Jadi, banyak bilangan dua digit $\overline{ab}$ dengan a, b ≠ 0 sehingga $\overline{ab}+\overline{ba}$ merupakan kelipatan 66 adalah 13 bilangan.
No.
Diketahui bilangan bulat positif k sehingga $\dfrac{5k+1}{3k-18}$ juga bilangan bulat positif. Dua nilai k yang memenuhi adalah ....ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
\dfrac{5k+1}{3k-18}&=\dfrac13\left(\dfrac{5k+1}{k-6}\right)\\[4pt]
&=\dfrac13\left(5+\dfrac{31}{k-6}\right)
\end{aligned}\)
k − 6 merupakan faktor dari 31, dan $\dfrac{31}{k-6}\equiv1\mod3$.
k − 6 = 1 ⟹ k = 7 .
$\dfrac{31}{1}=31\equiv1\mod 3$ (M).
k − 6 = 31 ⟹ k = 37 .
$\dfrac{31}{31}=1\equiv1\mod 3$ (M).
k − 6 merupakan faktor dari 31, dan $\dfrac{31}{k-6}\equiv1\mod3$.
$\dfrac{31}{1}=31\equiv1\mod 3$ (M).
$\dfrac{31}{31}=1\equiv1\mod 3$ (M).
Jadi, dua nilai k yang memenuhi adalah 7 dan 37.
Post a Comment