Home Bilangan Bilangan Asli Bilangan Bulat Soal dan Pembahasan Tingkat HOTS

HOTS Zone : Bilangan Asli (Bilangan Bulat Positif) [3]

Image
Idham Muqoddas
Updated: • 0 • min read
Table of Contents
Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Bilangan Asli. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Matematika Idhamdaz.

Tipe:

STANDARSNBTHOTS

No.

Banyaknya bilangan asli m, n yang memenuhi m2 − n2 = 307 adalah ....
Evaluasi GMOM Februari 2024 tingkat SMA
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned} m^2-n^2&=30^7\\ (m+n)(m-n)&=(2\cdot3\cdot5)^7\\ (m+n)(m-n)&=2^7\cdot3^7\cdot5^7 \end{aligned}\)

Perhatikan bahwa (m + n) dan (m − n) pasti genap.
Misal m + n = 2p dan m − n = 2q, dengan (2p)(2q) = 27⋅37⋅57, atau pq = 25⋅37⋅57, dan p > q.
Banyak faktor positifnya,
(5 + 1)(7 + 1)(7 + 1) = 384
Banyak pasangan (m, n) sama dengan banyak pasangan (p, q) yaitu
$\dfrac{384}2=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}192}}$
Jadi, banyaknya bilangan asli m, n yang memenuhi m2 − n2 = 307 adalah 192.

No.

Pada papan tertulis 90 bilangan asli 1, 1, ..., 1, a, b (ada sebanyak 88 bilangan 1). Hasil penjumlahan seluruh bilangan di papan adalah A dan demikian juga hasil perkalian semua bilangan di papan adalah A. Nilai A adalah ....
OSK SMA 2024
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned} 1+1+\cdots+1+a+b&=1\cdot1\cdots1\cdot a\cdot b\\ 88+a+b&=ab\\ 89&=ab-a-b+1\\ 89&=(a-1)(b-1) \end{aligned}\)
89 adalah bilangan prima sehingga nilai (a − 1) ada 2 kemungkinan yaitu 1 atau 89.

a − 1 = 1 ⟶ a = 2
b − 1 = 89 ⟶ b = 90
ab = 2×90 = 180
Untuk nilai a − 1 = 89, akan menghasilkan nilai ab yang sama.
Jadi, A = 180.

No.

Banyak bilangan dua digit $\overline{ab}$ dengan a, b ≠ 0 sehingga $\overline{ab}+\overline{ba}$ merupakan kelipatan 66 adalah ....
OSK SMA 2024
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned} \overline{ab}+\overline{ba}&=66k\\ 10a+b+10b+a&=66k\\ 11a+11b&=66k\\ a+b&=6k \end{aligned}\)

Kasus 1: a + b = 6

a ∈ {1, 2, ..., 5}. Ada 5 bilangan.

Kasus 2: a + b = 12

a ∈ {3, 4, ..., 9}. Ada 7 bilangan.

Kasus 3: a + b = 18

a = b = 9. Ada 1 bilangan.

Total ada 5 + 7 + 1 = 13 bilangan.
Jadi, banyak bilangan dua digit $\overline{ab}$ dengan a, b ≠ 0 sehingga $\overline{ab}+\overline{ba}$ merupakan kelipatan 66 adalah 13 bilangan.

No.

Diketahui bilangan bulat positif k sehingga $\dfrac{5k+1}{3k-18}$ juga bilangan bulat positif. Dua nilai k yang memenuhi adalah ....
SUMBER
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned} \dfrac{5k+1}{3k-18}&=\dfrac13\left(\dfrac{5k+1}{k-6}\right)\\[4pt] &=\dfrac13\left(5+\dfrac{31}{k-6}\right) \end{aligned}\)
k − 6 merupakan faktor dari 31, dan $\dfrac{31}{k-6}\equiv1\mod3$.
k − 6 = 1 ⟹ k = 7.
$\dfrac{31}{1}=31\equiv1\mod 3$ (M).

k − 6 = 31 ⟹ k = 37.
$\dfrac{31}{31}=1\equiv1\mod 3$ (M).

Jadi, dua nilai k yang memenuhi adalah 7 dan 37.

No.

Sebuah bilangan asli n dikatakan wibu jika untuk setiap a pembagi positif n berlaku a + 1 membagi n + 1. Banyaknya bilangan wibu yang kurang dari atau sama dengan 100 adalah ....
  1. 25
  2. 27
  3. 26
  1. 28
  2. 29
LMNAS ke-28 SMA
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal n = ak, dengan a ≤ k, maka
a + 1 | ak + 1 = ak + k − (k − 1)
a + 1 | k − 1

Dengan cara yg sama, didapat
k + 1 | a − 1

Yang memenuhi kedua persamaan hanyalah a = 1 sehingga n = k, maka n merupakan bilangan prima.
Banyak bilangan prima yang kurang dari 100 ada sebanyak 25 bilangan.
Jadi, banyaknya bilangan wibu yang kurang dari atau sama dengan 100 adalah 25.
JAWAB: A

No.

Banyaknya bilangan asli n sehingga 2n + 12n + 211n merupakan kuadrat sempurna adalah ....
  1. Tak hingga
  2. 0
  3. 2
  1. 1
  2. 4
LMNAS Ke-28 SMA
ALTERNATIF PENYELESAIAN

Jika n = 1,

21 + 121 + 2111 = 225 = 152, merupakan bilangan kuadrat.

Jika n ≥ 2

Perhatikan bahwa m2 ≡ 0 atau 1 mod 3, atau
m2 ≡ 0 atau 1 mod 4,
untuk m bilangan asli.

Jika n genap ≥ 2

2n + 12n + 211n ≡ (-1)n + 0 + 1n ≡ 2 mod 3, bukan bilangan kuadrat.

Jika n ganjil ≥ 3

2n + 12n + 211n ≡ 0 + 0 + (-1)n ≡ 3 mod 4, bukan bilangan kuadrat.
Jadi, banyaknya bilangan asli n sehingga 2n + 12n + 211n merupakan kuadrat sempurna adalah 1.
JAWAB: D

No.

Misalkan A, N, T, I, B, O, dan K adalah bilangan asli satu digit yang saling berbeda. Apabila m dan M berturut-turut adalah nilai minimum dan maksimum yang mungkin dari A + N + T + I + B + I + O + T + I + K, tentukan nilai dari m + M.
KTOM Januari 2025
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Jumlah huruf I adalah yang terbanyak. Untuk mencapai minimum, maka I haruslah yang terkecil yaitu I = 1. Huruf T terbanyak ke-2, maka T = 2. Huruf-huruf lain bernilai (tidak harus berurutan) 3, 4, 5, 6, dan 7.
m = 3⋅1 + 2⋅2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 32.

Untuk mencapai maksimum, maka I haruslah yang terbesar yaitu I = 9. Huruf T terbanyak ke-2, maka T = 8. Huruf-huruf lain bernilai (tidak harus berurutan) 7, 6, 5, 4, dan 3.
M = 3⋅9 + 2⋅8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 = 68.

m + M = 32 + 68 = 100.
Jadi, m + M = 100.

Post a Comment