HOTS Zone : Faktor Positif
Table of Contents
Tipe:
No.
Tentukan banyak pasanganab = 20245
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal a = 2m, dan b = 2n, dengan m > n.
\(\begin{aligned} ab&=2024^5\\ (2m)(2n)&=\left(2^3\cdot11\cdot23\right)^5\\ 2^2mn&=2^{15}\cdot11^5\cdot23^5\\ mn&=2^{13}\cdot11^5\cdot23^5 \end{aligned}\)
Banyak faktor positif dari213 ⋅ 115 ⋅ 235 adalah
(13 + 1)(5 + 1)(5 + 1) = 504
Sehingga banyaknya pasangan(a, b) sama dengan banyaknya pasangan (m, n) , yaitu
$\dfrac{504}2=252$
\(\begin{aligned} ab&=2024^5\\ (2m)(2n)&=\left(2^3\cdot11\cdot23\right)^5\\ 2^2mn&=2^{15}\cdot11^5\cdot23^5\\ mn&=2^{13}\cdot11^5\cdot23^5 \end{aligned}\)
Banyak faktor positif dari
(13 + 1)(5 + 1)(5 + 1) = 504
Sehingga banyaknya pasangan
$\dfrac{504}2=252$
Jadi, banyak pasangan (a, b) dengan a > b dan a, b genap positif yang memenuhi persamaan
ab = 20245
ada 252.No.
Banyaknya faktor positif genap dari bilangan 20243 adalah ....ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
\dfrac{2024^3}2&=\dfrac{\left(2^3\cdot11\cdot23\right)^3}2\\[4pt]
&=\dfrac{2^9\cdot11^3\cdot23^3}2\\[4pt]
&=2^8\cdot11^3\cdot23^3
\end{aligned}\)
(8 + 1)(3 + 1)(3 + 1) = 144
(8 + 1)(3 + 1)(3 + 1) = 144
Jadi, banyaknya faktor positif genap dari bilangan 20243 adalah 144.
No.
Pada papan tertulis 90 bilangan asli 1, 1, ..., 1, a, b (ada sebanyak 88 bilangan 1). Hasil penjumlahan seluruh bilangan di papan adalah A dan demikian juga hasil perkalian semua bilangan di papan adalah A. Nilai A adalah ....ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
1+1+\cdots+1+a+b&=1\cdot1\cdots1\cdot a\cdot b\\
88+a+b&=ab\\
89&=ab-a-b+1\\
89&=(a-1)(b-1)
\end{aligned}\)
89 adalah bilangan prima sehingga nilai(a − 1) ada 2 kemungkinan yaitu 1 atau 89.
a − 1 = 1 ⟶ a = 2
b − 1 = 89 ⟶ b = 90
ab = 2×90 =180
Untuk nilai a − 1 = 89, akan menghasilkan nilai ab yang sama.
89 adalah bilangan prima sehingga nilai
a − 1 = 1 ⟶ a = 2
b − 1 = 89 ⟶ b = 90
ab = 2×90 =
Untuk nilai a − 1 = 89, akan menghasilkan nilai ab yang sama.
Jadi, A = 180.
No.
Misalkan k adalah bilangan bulat positif terkecil kelipatan 2034 yang memiliki 28 faktor positif. Sisa hasil bagi k oleh 100 adalah ....ALTERNATIF PENYELESAIAN
2034 = 2⋅32⋅113
2034 punya 3 faktor prima, sehingga 28 kita susun jadi perkalian minimal 3 bilangan lebih dari 1.
28 = (1 + 1)(1 + 1)(6 + 1)
Ternyata maksimal 3 bilangan, sehingga k mempunyai faktor prima yang sama dengan 2034, dan pangkatnya harus 1, 1, dan 6. Karena pangkat dari 3 tidak bisa diperkecil, maka faktor prima 3 harus berpangkat 6, sehingga k adalah
\(\begin{aligned} 2034\cdot3^4&\equiv34\cdot81\mod100\\ &\equiv(30+4)(80+1)\mod100\\ &\equiv(30+320+4)\mod100\\ &\equiv54\mod100 \end{aligned}\)
2034 punya 3 faktor prima, sehingga 28 kita susun jadi perkalian minimal 3 bilangan lebih dari 1.
28 = (1 + 1)(1 + 1)(6 + 1)
Ternyata maksimal 3 bilangan, sehingga k mempunyai faktor prima yang sama dengan 2034, dan pangkatnya harus 1, 1, dan 6. Karena pangkat dari 3 tidak bisa diperkecil, maka faktor prima 3 harus berpangkat 6, sehingga k adalah
\(\begin{aligned} 2034\cdot3^4&\equiv34\cdot81\mod100\\ &\equiv(30+4)(80+1)\mod100\\ &\equiv(30+320+4)\mod100\\ &\equiv54\mod100 \end{aligned}\)
Jadi,
JAWAB:
JAWAB:
Post a Comment