HOTS Zone : Modulo [2]
Table of Contents
Tipe
No.
Sisa pembagian 17202 oleh 100 adalah ....ALTERNATIF PENYELESAIAN
φ(100) = 40
202 mod 40 ≡ 2 mod 40
\(\begin{aligned} 17^{202}\mod100&\equiv17^2\mod100\\ &\equiv289\mod100\\ &\equiv89\mod100 \end{aligned}\)
202 mod 40 ≡ 2 mod 40
\(\begin{aligned} 17^{202}\mod100&\equiv17^2\mod100\\ &\equiv289\mod100\\ &\equiv89\mod100 \end{aligned}\)
Jadi, sisa pembagian 17202 oleh 100 adalah 89.
No.
Tentukan bilangan asli terkecil yang merupakan kelipatan 84 yang angka-angkanya hanya 6 atau 7.ALTERNATIF PENYELESAIAN
84 = 3 × 4 × 7
Agar habis dibagi 4, maka 2 digit terakhir adalah 76.
Agar habis dibagi 3, digit 7-nya dibutuhkan 2 buah lagi. Tapi bilangan 7776 tidak habis dibagi 7. Agar habis dibagi 7, maka kita cari6⋅10n ≡ 1 mod 7 , untuk 1 ≤ n ≤ 4 , atau 3n ≡ − 1 mod 7.
3 ≡ −4 mod 7
32 = 9 ≡ 2 mod 7 ≡ −5 mod 7
33 = 27 ≡ 6 mod 7 ≡ −1 mod 7
Kita tempatkan digit 6 di tempat ribuan. Sehingga bilangan yang dicari adalah 76776.
Agar habis dibagi 4, maka 2 digit terakhir adalah 76.
Agar habis dibagi 3, digit 7-nya dibutuhkan 2 buah lagi. Tapi bilangan 7776 tidak habis dibagi 7. Agar habis dibagi 7, maka kita cari
Kita tempatkan digit 6 di tempat ribuan. Sehingga bilangan yang dicari adalah 76776.
Jadi, bilangan asli terkecil yang merupakan kelipatan 84 yang angka-angkanya hanya 6 atau 7 adalah 76776.
No.
Berapa sisa pembagian 112024 oleh 111ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned}
11^{2024}\mod111&\equiv\left(11^2\right)^{1012}\mod111\\
&\equiv121^{1012}\mod111\\
&\equiv10^{1012}\mod111\\
&\equiv10^{3n}\cdot10\mod111\\
&\equiv1000^{n}\cdot10\mod111\\
&\equiv1^{n}\cdot10\mod111\\
&\equiv10\mod111
\end{aligned}\)
Jadi, sisa pembagian 112024 oleh 111 adalah 10.
No.
Suatu barisan bilangan an didefinisikan sebagai berikut. \[a_n=\begin{cases}4,\text{ jika }n\text{ habis dibagi 2 atau 17}\\2,\text{ untuk }n\text{ lainnya}\end{cases}\] Nilai dari $\displaystyle\sum_{n=1}^{2024}a_n$ adalah ....ALTERNATIF PENYELESAIAN
Kita cari terlebih dahulu banyak bilangan dari 1 hingga 2024 yang habis dibagi 2 atau 17.
Habis dibagi 2
$\left\lfloor\dfrac{2024}2\right\rfloor=1012$Habis dibagi 17
$\left\lfloor\dfrac{2024}{17}\right\rfloor=119$Habis dibagi 2 dan 17
alias habis dibagi 34.
$\left\lfloor\dfrac{2024}{34}\right\rfloor=59$
1012 + 119 − 59 = 1072
Banyak bilangan yang tidak habis dibagi 2 atau 17,
2024 − 1072 = 952
\(\begin{aligned} \displaystyle\sum_{n=1}^{2024}a_n&=4\cdot1072+2\cdot952\\ &=4288+1904\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}6192}} \end{aligned}\)
Banyak bilangan yang tidak habis dibagi 2 atau 17,
2024 − 1072 = 952
\(\begin{aligned} \displaystyle\sum_{n=1}^{2024}a_n&=4\cdot1072+2\cdot952\\ &=4288+1904\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}6192}} \end{aligned}\)
Jadi, $\displaystyle\sum_{n=1}^{2024}a_n=6192$.
No.
Tentukanlah sisa dari1 + 7 + 72 + ⋯ + 72404
jika dibagi 1000.
ALTERNATIF PENYELESAIAN
φ(1000) = 400
$\dfrac{2400}{400}=6$
\(\begin{aligned} 1+7+7^2+\cdots+7^{2404}&\equiv6\left(1+7+7^2+\cdots+7^{399}\right)+1+7+7^2+7^3+7^4\mod1000\\ &\equiv6\left(\dfrac{7^{400}-1}{7-1}\right)+1+7+49+343+2401\mod1000\\ &\equiv7^{400}-1+2801\mod1000\\ &\equiv1-1+801\mod1000\\ &\equiv \color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}801\mod1000}} \end{aligned}\)
$\dfrac{2400}{400}=6$
\(\begin{aligned} 1+7+7^2+\cdots+7^{2404}&\equiv6\left(1+7+7^2+\cdots+7^{399}\right)+1+7+7^2+7^3+7^4\mod1000\\ &\equiv6\left(\dfrac{7^{400}-1}{7-1}\right)+1+7+49+343+2401\mod1000\\ &\equiv7^{400}-1+2801\mod1000\\ &\equiv1-1+801\mod1000\\ &\equiv \color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}801\mod1000}} \end{aligned}\)
Jadi, sisa dari
1 + 7 + 72 + ⋯ + 72404
jika dibagi 1000 adalah 801.No.
Berapakah digit kedua dari belakang dari 111112113?ALTERNATIF PENYELESAIAN
φ(100) = 40
112 mod 40 ≡ 32 mod 40
φ(40) = 16
113 mod 16 ≡ 1 mod 16
\(\begin{aligned} 111^{112^{113}}\mod100&\equiv11^{32^1}\mod100\\ &\equiv11^{32}\mod100\\ &\equiv(10+1)^{32}\mod100\\ &\equiv\left(32\cdot10+1^{32}\right)\mod100\\ &\equiv(320+1)\mod100\\ &\equiv21\mod100 \end{aligned}\)
112 mod 40 ≡ 32 mod 40
φ(40) = 16
113 mod 16 ≡ 1 mod 16
\(\begin{aligned} 111^{112^{113}}\mod100&\equiv11^{32^1}\mod100\\ &\equiv11^{32}\mod100\\ &\equiv(10+1)^{32}\mod100\\ &\equiv\left(32\cdot10+1^{32}\right)\mod100\\ &\equiv(320+1)\mod100\\ &\equiv21\mod100 \end{aligned}\)
Jadi, digit kedua dari belakang dari 111112113 adalah 2.
No.
Berapakah sisa ketika 72025 dibagi 11?- 1
- 4
- 5
- 7
- 10
ALTERNATIF PENYELESAIAN
7 dan 11 saling prima. Karena 2025 ≡ 5 mod 10 maka
\(\begin{aligned} 7^{2025}\mod11&\equiv7^5\mod11\\ &\equiv\left(7^2\right)\left(7^3\right)\mod11\\ &\equiv(49)(343)\mod11\\ &\equiv(5)(2)\mod11\\ &\equiv10\mod11 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 7^{2025}\mod11&\equiv7^5\mod11\\ &\equiv\left(7^2\right)\left(7^3\right)\mod11\\ &\equiv(49)(343)\mod11\\ &\equiv(5)(2)\mod11\\ &\equiv10\mod11 \end{aligned}\)
Jadi, sisa ketika 72025 dibagi 11 adalah 10.
JAWAB: E
JAWAB: E
Post a Comment