HOTS Zone : Modulo [2]

Table of Contents
Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Modulo. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Matematika Idhamdaz.

Tipe


No.

Sisa pembagian 17202 oleh 100 adalah ....
ALTERNATIF PENYELESAIAN
φ(100) = 40

202 mod 40 ≡ 2 mod 40

\(\begin{aligned} 17^{202}\mod100&\equiv17^2\mod100\\ &\equiv289\mod100\\ &\equiv89\mod100 \end{aligned}\)
Jadi, sisa pembagian 17202 oleh 100 adalah 89.

No.

Tentukan bilangan asli terkecil yang merupakan kelipatan 84 yang angka-angkanya hanya 6 atau 7.
ALTERNATIF PENYELESAIAN
84 = 3 × 4 × 7

Agar habis dibagi 4, maka 2 digit terakhir adalah 76.
Agar habis dibagi 3, digit 7-nya dibutuhkan 2 buah lagi. Tapi bilangan 7776 tidak habis dibagi 7. Agar habis dibagi 7, maka kita cari 6⋅10n ≡ 1 mod 7, untuk 1 ≤ n ≤ 4, atau 3n ≡ − 1 mod 7.
3 ≡ −4 mod 7
32 = 9 ≡ 2 mod 7 ≡ −5 mod 7
33 = 27 ≡ 6 mod 7 ≡ −1 mod 7
Kita tempatkan digit 6 di tempat ribuan. Sehingga bilangan yang dicari adalah 76776.
Jadi, bilangan asli terkecil yang merupakan kelipatan 84 yang angka-angkanya hanya 6 atau 7 adalah 76776.

No.

Berapa sisa pembagian 112024 oleh 111
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\(\begin{aligned} 11^{2024}\mod111&\equiv\left(11^2\right)^{1012}\mod111\\ &\equiv121^{1012}\mod111\\ &\equiv10^{1012}\mod111\\ &\equiv10^{3n}\cdot10\mod111\\ &\equiv1000^{n}\cdot10\mod111\\ &\equiv1^{n}\cdot10\mod111\\ &\equiv10\mod111 \end{aligned}\)
Jadi, sisa pembagian 112024 oleh 111 adalah 10.

No.

Suatu barisan bilangan an didefinisikan sebagai berikut. \[a_n=\begin{cases}4,\text{ jika }n\text{ habis dibagi 2 atau 17}\\2,\text{ untuk }n\text{ lainnya}\end{cases}\] Nilai dari $\displaystyle\sum_{n=1}^{2024}a_n$ adalah ....
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Kita cari terlebih dahulu banyak bilangan dari 1 hingga 2024 yang habis dibagi 2 atau 17.
  • Habis dibagi 2

    $\left\lfloor\dfrac{2024}2\right\rfloor=1012$
  • Habis dibagi 17

    $\left\lfloor\dfrac{2024}{17}\right\rfloor=119$
  • Habis dibagi 2 dan 17

    alias habis dibagi 34.
    $\left\lfloor\dfrac{2024}{34}\right\rfloor=59$
1012 + 119 − 59 = 1072

Banyak bilangan yang tidak habis dibagi 2 atau 17,
2024 − 1072 = 952

\(\begin{aligned} \displaystyle\sum_{n=1}^{2024}a_n&=4\cdot1072+2\cdot952\\ &=4288+1904\\ &=\color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}6192}} \end{aligned}\)
Jadi, $\displaystyle\sum_{n=1}^{2024}a_n=6192$.

No.

Tentukanlah sisa dari
1 + 7 + 72 + ⋯ + 72404
jika dibagi 1000.
ALTERNATIF PENYELESAIAN
φ(1000) = 400
$\dfrac{2400}{400}=6$

\(\begin{aligned} 1+7+7^2+\cdots+7^{2404}&\equiv6\left(1+7+7^2+\cdots+7^{399}\right)+1+7+7^2+7^3+7^4\mod1000\\ &\equiv6\left(\dfrac{7^{400}-1}{7-1}\right)+1+7+49+343+2401\mod1000\\ &\equiv7^{400}-1+2801\mod1000\\ &\equiv1-1+801\mod1000\\ &\equiv \color{blue}\boxed{\boxed{\color{black}801\mod1000}} \end{aligned}\)
Jadi, sisa dari
1 + 7 + 72 + ⋯ + 72404
jika dibagi 1000 adalah 801.

No.

Berapakah digit kedua dari belakang dari 111112113?
ALTERNATIF PENYELESAIAN
φ(100) = 40
112 mod 40 ≡ 32 mod 40
φ(40) = 16
113 mod 16 ≡ 1 mod 16
\(\begin{aligned} 111^{112^{113}}\mod100&\equiv11^{32^1}\mod100\\ &\equiv11^{32}\mod100\\ &\equiv(10+1)^{32}\mod100\\ &\equiv\left(32\cdot10+1^{32}\right)\mod100\\ &\equiv(320+1)\mod100\\ &\equiv21\mod100 \end{aligned}\)
Jadi, digit kedua dari belakang dari 111112113 adalah 2.

No.

Berapakah sisa ketika 72025 dibagi 11?
  1. 1
  2. 4
  3. 5
  1. 7
  2. 10
ALTERNATIF PENYELESAIAN
7 dan 11 saling prima. Karena 2025 ≡ 5 mod 10 maka
\(\begin{aligned} 7^{2025}\mod11&\equiv7^5\mod11\\ &\equiv\left(7^2\right)\left(7^3\right)\mod11\\ &\equiv(49)(343)\mod11\\ &\equiv(5)(2)\mod11\\ &\equiv10\mod11 \end{aligned}\)
Jadi, sisa ketika 72025 dibagi 11 adalah 10.
JAWAB: E

Post a Comment