Penyisihan LMNas UGM SMA Ke-28

Table of Contents

Berikut ini adalah soal dan pembahasan Penyisihan LMNas UGM untuk SMA ke-28. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Matematika Idhamdaz.

Tipe:

STANDARSNBTHOTS

12

No. 1

Nilai dari

cos(56°)⋅cos(2⋅56°)⋅cos(2²⋅56°)⋯cos(2²³56°)

adalah ....

1. 2⁻²⁴
2. 2⁻²³
3. 2²⁴

4. 2²³
5. 2⁻²⁸

Penyisihan LMNas UGM ke-28

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}\sin 2a& =2\sin a\cos a\\ \cos a& ={\displaystyle \frac{\sin 2a}{2\sin a}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\cos \left(56°\right)\cdot \cos (2\cdot 56°)\cdot \cos (2^2\cdot 56°)\cdots \cos (2^{23}\cdot 56°)& ={\displaystyle \frac{\sin (2\cdot 56°)}{2\sin \left(56°\right)}}\cdot {\displaystyle \frac{\sin (2^2\cdot 56°)}{2\sin (2\cdot 56°)}}\cdot {\displaystyle \frac{\sin (2^3\cdot 56°)}{2\sin (2^2\cdot 56°)}}\cdots {\displaystyle \frac{\sin (2^{24}\cdot 56°)}{2\sin (2^{23}\cdot 56°)}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sin (2^{24}\cdot 56°)}{2^{24}\sin \left(56°\right)}}\end{array}$
Kita buktikan bahwa 2²⁴⋅56° = 56° + k⋅360°, atau 2²⁴⋅56 = 56 mod 360.
$\begin{array}{rl}{2}^{24}\cdot 56\mathrm{mod}360& \equiv 8(2^{24}\cdot 7\mathrm{mod}45)\mathrm{mod}360\\ & \equiv 8\left(7\mathrm{mod}45\right)\mathrm{mod}360& \text{color}red\varphi (45)=24\\ & \equiv 56\mathrm{mod}360\end{array}$

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\sin (2^{24}\cdot 56°)}{2^{24}\sin \left(56°\right)}}& ={\displaystyle \frac{\sin \left(56°\right)}{2^{24}\sin \left(56°\right)}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2^{24}}}\\ & =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black{2}^{-24}}}}}\end{array}$

Jadi, cos(56°)⋅cos(2⋅56°)⋅cos(2²⋅56°)⋯cos(2²³56°) = 2⁻²⁴.
JAWAB: A

---

No. 2

Banyaknya polinomial P(x) yang memenuhi P(28) = 28! dan xP(x − 1) = (x − 28)P(x) adalah ....

1. Tak hingga
2. 1
3. 0

4. 28
5. 27

Penyisihan LMNAS SMA Ke-28

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Untuk x = 28,
$\begin{array}{rl}28P(27)& =(28-28)P(28)\\ P(27)& =0\end{array}$

Karena $P(x-1)=\dfrac{x-28}xP(x)$, maka P(27) = P(26) = ⋯ = P(1) = P(0) = 0. Sehingga,
P(x) = ax (x − 1)(x − 2)⋯(x − 27)
Agar P(28) = 28!, maka a = 1.
Hanya ada 1 polinom.

Jadi, bBanyaknya polinomial P(x) yang memenuhi P(28) = 28! dan xP(x − 1) = (x − 28)P(x) adalah 1.
JAWAB: B

---

No. 3

Diberikan bilangan real x yang memenuhi $\left(x+\dfrac1x\right)^2=3$. Bentuk sederhana dari x²⁰¹⁷ + x⁶⁷ + x⁴⁴ + x³¹ + x²⁶ + x + 6 adalah ....

1. x
2. 6
3. x + x²

4. 0
5. 3

Penyisihan LMNAS Ke-28 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^2& =3\\ x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}+2& =3\\ x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}& =1\\ x^4+1& =x^2\\ x^4& =x^2-1\\ x^6& =x^4-x^2\\ x^6& =-1\end{array}$

$\begin{array}{rl}{x}^{2017}+x^{67}+x^{44}+x^{31}+x^{26}+x+6& ={\left(x^6\right)}^{336}\cdot x+{\left(x^6\right)}^{11}\cdot x+{\left(x^6\right)}^7\cdot x^2+{\left(x^6\right)}^5\cdot x+{\left(x^6\right)}^4\cdot x^2+x+6\\ & ={(-1)}^{336}\cdot x+{(-1)}^{11}\cdot x+{(-1)}^7\cdot x^2+{(-1)}^5\cdot x+{(-1)}^4\cdot x^2+x+6\\ & =x-x-x^2-x+x^2+x+6\\ & =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black6}}}}\end{array}$

Jadi, bentuk sederhana dari x²⁰¹⁷ + x⁶⁷ + x⁴⁴ + x³¹ + x²⁶ + x + 6 adalah 6.
JAWAB: B

---

No. 4

Banyak bilangan real t yang memenuhi persamaan sin⁴ t − cos⁴ t = 1 dengan −π ≤ t ≤ π adalah ....

1. 0
2. 4
3. 8

4. 2
5. 1

Penyisihan LMNAS Ke-28 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{\sin }^{4}t-{\cos }^{4}t& =1\\ ({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)({\sin }^{2}t-{\cos }^{2}t)& =1\\ {\sin }^{2}t-{\cos }^{2}t& =1\\ {\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t& =-1\\ \cos 2t& =-1\\ \cos 2t& =\cos \pi \end{array}$

• 2t = π + 2kπ
  $t=\dfrac{\pi}2+k\pi$
  
  k = −1 ⟶ $t=-\dfrac{\pi}2$ k = 0 ⟶ $t=\dfrac{\pi}2$
• 2t = −π + 2kπ
  $t=-\dfrac{\pi}2+k\pi$
  
  k = 0 ⟶ $t=-\dfrac{\pi}2$ k = 1 ⟶ $t=\dfrac{\pi}2$

Jadi,
JAWAB:

---

No. 5

Diberikan polinomial p(x) berderajat 2017 yang mempunyai akar-akar positif berbeda dan hasil kalinya 2017. Didefinisikan q(x) = p(x²) dan b₁, b₂, ..., b₄₀₃₄ adalah akar-akar q(x) dengan b₁ < b₂ < b₃ < ⋯ < b₄₀₃₄. Nilai dari b₁b₂⋯b₂₀₁₇ adalah ....

1. $\sqrt{2017}$
2. $-\sqrt{2017}$
3. 2017

4. −2017
5. $\dfrac{\sqrt{2017}}{2017}$

Penyisihan LMNAS Ke-28 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal k₁, k₂, ..., k₂₀₁₇ > 0 merupakan akar-akar dari p(x).
k₁k₂⋯k₂₀₁₇ = 2017

p(x) = a(x − k₁)(x − k₂)⋯(x − k₂₀₁₇)

$\begin{array}{rl}q(x)& =p\left(x^2\right)\\ & =a(x^2-k_1)(x^2-k_2)\cdots (x^2-k_{2017})\\ & =a(x+\sqrt{k_1})(x-\sqrt{k_1})(x+\sqrt{k_2})(x-\sqrt{k_2})\cdots (x+\sqrt{k_{2017}})(x-\sqrt{k_{2017}})\end{array}$
Akar-akar dari q(x) adalah
$-\sqrt{k_1},-\sqrt{k_2},...,-\sqrt{k_{2017}},\sqrt{k_1},\sqrt{k_2},...,\sqrt{k_{2017}}$

$\begin{array}{rl}{b}_1{b}_2\cdots b_{2017}& =(-\sqrt{k_1})(-\sqrt{k_2})\cdots (-\sqrt{k_{2017}})\\ & =-\sqrt{k_1{k}_2\cdots k_{2017}}\\ & =\text{color}blue\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \text{color}black-\sqrt{2017}}}}}\end{array}$

Jadi, $b_1b_2\cdots b_{2017}=-\sqrt{2017}$.
JAWAB: B

---

No. 6

Untuk setiap bilangan asli n didefinisikan S(n) yang merupakan jumlahan digit-digit n dan f(n) = n − S(n). Sisa pembagian dari $\underbrace{(f\circ f\circ f \circ \cdots \circ f)}_{sebanyak\ 2017}\left(2017^{2017}\right)$ oleh 9 adalah ....

1. 0
2. 1
3. 3

4. 6
5. 2

Penyisihan LMNAS ke-28 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Perhatikan bahwa
n mod 9 ≡ S(n) mod 9
n − S(n) mod 9 ≡ 0 mod 9
f(n) mod 9 ≡ 0 mod 9
$\underbrace{(f\circ f\circ f \circ \cdots \circ f)}_{sebanyak\ 2017}\left(2017^{2017}\right)\mod9\equiv0\mod9$

Jadi, sisa pembagian dari $\underbrace{(f\circ f\circ f \circ \cdots \circ f)}_{sebanyak\ 2017}\left(2017^{2017}\right)$ oleh 9 adalah 0.
JAWAB: A

---

No. 7

Diberikan bilangan bulat positif a, b, c, dan d yang memenuhi $$\begin{array}{rl}{\log }_{a}b& ={\displaystyle \frac{3}{2}}\\ {\log }_{c}d& ={\displaystyle \frac{5}{4}}\\ a-c& =9\end{array}$$ Misalkan X = b − d. Jumlahan dari digit-digit dari X adalah ....

1. 10
2. 12
3. 11

4. 9
5. 16

Penyisihan LMNAS Ke-28 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{\log }_{a}b& ={\displaystyle \frac{3}{2}}\\ a^3& =b^2=m^6\end{array}$
a = m², b = m³

$\begin{array}{rl}{\log }_{c}d& ={\displaystyle \frac{5}{4}}\\ c^5& =d^4=n^{20}\end{array}$
c = n⁴, d = n⁵

Related: loading

$\begin{array}{rl}a-c& =9\\ m^2-n^4& =9\\ (m+n^2)(m-n^2)& =9\cdot 1=3\cdot 3\end{array}$
Karena m + n² > m − n², maka
$\begin{array}{rl}m+n^2& =9\\ m-n^2& =1& +\\ 2m& =10\\ m& =5\end{array}$
Didapat, n = 2

b = 5³ = 125
d = 2⁵ = 32
125 − 32 = 93
9 + 3 = 12

Jadi, jumlahan dari digit-digit dari X adalah 12.
JAWAB: B

---

No. 8

Misalnya pasangan bilangan bulat (x, y) memenuhi

x³ + (x + 1)³ + ⋯ + (x + 7)³ = y³

dan m merupakan jumlahan semua nilai x dan y yang mungkin. Nilai dari m adalah ....

1. −6
2. 0
3. 1

4. −1
5. 6

Penyisihan LMNAS Ke-28 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{x}^3+(x+1{)}^3+\cdots +(x+7{)}^3& =y^3\\ 1^3+2^3+\cdots +(x+7{)}^3-{(1^3+2^3+\cdots +(x-1{)}^3)}^3& =y^3\\ (1+2+\cdots +x+7{)}^2-(1+2+\cdots +x-1{)}^2& =y^3\\ {\left({\displaystyle \frac{(x+7)(x+8)}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{x(x-1)}{2}}\right)}^2& =y^3\\ {\left({\displaystyle \frac{x^2+15x+56}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{x^2-x}{2}}\right)}^2& =y^3\\ ({\displaystyle \frac{x^2+15x+56}{2}}+{\displaystyle \frac{x^2-x}{2}})({\displaystyle \frac{x^2+15x+56}{2}}-{\displaystyle \frac{x^2-x}{2}})& =y^3\\ \left({\displaystyle \frac{2x^2+14x+56}{2}}\right)\left({\displaystyle \frac{16x+56}{2}}\right)& =y^3\\ (x^2+7x+28)(8x+28)& =y^3\\ 4(x^2+7x+28)(2x+7)& =y^3\end{array}$
Misal 2x + 7 = t, dan y = nt
$\begin{array}{rl}(t^2+63)t& =n^3{t}^3\\ t^2+63& =n^3{t}^2\\ (n^3-1)t^2& =63\end{array}$

• t² = 1
  t ∈ {−1,1}
  
  n³ = 64 ⟹ n = 4
  
  (x, y) ∈ {(−4, −4), (−3, 4)}
• t² = 9
  t ∈ {−3, 3}
  
  n³ = 8 ⟹ n = 2
  
  (x, y) ∈ {(−5, −6), (−2, 6)}

−4 − 4 − 3 + 4 − 5 − 6 − 2 + 6 = −14

Jadi, m = −14.
JAWAB: Tidak ada pilihan jawaban

---

No. 9

Diberikan bilangan real a, m ∈ (−2, 2) dengan am = − 1. Nilai minimum dari $$u={\displaystyle \frac{1}{1-a^2}}+{\displaystyle \frac{4}{4-m^2}}$$ adalah ....

1. $\sqrt2$
2. $-\sqrt2$
3. 2

4. $2\sqrt2$
5. 4

Penyisihan LMNAS Ke-28 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Ketika a mendekati 1 dari kanan, nilai u akan semakin kecil dan mendekati −∞. Kita ubah batasnya yaitu $a,m\in\left(-1,-\dfrac12\right)\cup\left(\dfrac12,1\right)$.

$\begin{array}{rl}4a^2+m^2& \ge 2\sqrt{4a^2{m}^2}\\ & \ge 4\end{array}$

$\begin{array}{rl}u& ={\displaystyle \frac{1}{1-a^2}}+{\displaystyle \frac{4}{4-m^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{4-m^2+4-4a^2}{4-4a^2-m^2+(am{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{8-4a^2-m^2}{5-4a^2-m^2}}\\ & =1+{\displaystyle \frac{3}{5-(4a^2+m^2)}}\\ & \ge 1+{\displaystyle \frac{3}{5-4}}=4\end{array}$

Jadi, nilai minimum dari $$u={\displaystyle \frac{1}{1-a^2}}+{\displaystyle \frac{4}{4-m^2}}$$ adalah 4.
JAWAB: E

---

No. 10

Misalkan m merupakan nilai terbesar dari z yang memenuhi x + y + z = 5 dan xy + xz + yz = 3. Jika m dapat dituliskan sebagai $m=\dfrac{p}q$ dengan p dan q merupakan bilangan bulat positif yang relatif prima, nilai dari p + q adalah ....

1. 11
2. 12
3. 17

4. 14
5. 16

Penyisihan LMNAS Ke-28 SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

x + y = 5 − z

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+z^2& =(x+y+z{)}^2-2(xy+xz+yz)\\ & =5^2-2(3)\\ & =19\\ x^2+y^2& =19-z^2\end{array}$

dengan CSI didapat,
$\begin{array}{rl}(x^2+y^2)(1^2+1^2)& \ge (x+y{)}^2\\ (19-z^2)\left(2\right)& \ge (5-z{)}^2\\ 38-2z^2& \ge 25-10z+z^2\\ 3z^2-10z-13& \le 0\\ (3z-13)(z+1)& \le 0\end{array}$
$-1\leq z\leq\dfrac{13}3$
p = 13, q = 3
13 + 3 = 16

Jadi, p + q = 16.
JAWAB: E

---

12