Berapakah Nilai dari sin 75°, cos 75°, dan tan 75°?

Table of Contents

sin 75°

Untuk menghitung nilai dari sin 75°, kita bisa menggunakan rumus:

\(\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ)\)

Menggunakan identitas trigonometri untuk penjumlahan sudut:

\(\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\)

Jadi:

\(\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)\)

Kita tahu bahwa:

\(\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\) dan \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Sehingga:

\(\sin(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\)

\(\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

cos 75°

Untuk menghitung nilai dari cos 75°, kita bisa menggunakan rumus:

\(\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ)\)

Menggunakan identitas trigonometri untuk penjumlahan sudut:

\(\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)\)

Jadi:

\(\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)\)

Kita tahu bahwa:

\(\cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) dan \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\)

Sehingga:

\(\cos(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\)

\(\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)

tan 75°

Untuk menghitung nilai dari tan 75°, kita bisa menggunakan rumus:

\(\tan(75^\circ) = \frac{\sin(75^\circ)}{\cos(75^\circ)}\)

Dari hasil sebelumnya, kita punya:

\(\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\) dan \(\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)

Sehingga:

\(\tan(75^\circ) = \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}\)

Untuk menyederhanakan, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan \(\sqrt{6} + \sqrt{2}\):

\(\tan(75^\circ) = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})}\)

\(\tan(75^\circ) = \frac{6 + 2 + 2\sqrt{12}}{6 - 2} = \frac{8 + 2\sqrt{12}}{4} = 2 + \sqrt{3}\)