Berapakah Nilai dari sin 75°, cos 75°, dan tan 75°?

Table of Contents

sin 75°

Untuk menghitung nilai dari sin 75°, kita bisa menggunakan rumus:

$\sin ({75}^{\circ })=\sin ({45}^{\circ }+{30}^{\circ })$

Menggunakan identitas trigonometri untuk penjumlahan sudut:

$\sin (a+b)=\sin (a)\cos (b)+\cos (a)\sin (b)$

Jadi:

$\sin ({75}^{\circ })=\sin ({45}^{\circ })\cos ({30}^{\circ })+\cos ({45}^{\circ })\sin ({30}^{\circ })$

Kita tahu bahwa:

$\sin ({45}^{\circ })=\cos ({45}^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin ({30}^{\circ })=\frac{1}{2}$ dan $\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Sehingga:

$\sin ({75}^{\circ })=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$

$\sin ({75}^{\circ })=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

cos 75°

Untuk menghitung nilai dari cos 75°, kita bisa menggunakan rumus:

$\cos ({75}^{\circ })=\cos ({45}^{\circ }+{30}^{\circ })$

Menggunakan identitas trigonometri untuk penjumlahan sudut:

$\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)$

Jadi:

$\cos ({75}^{\circ })=\cos ({45}^{\circ })\cos ({30}^{\circ })-\sin ({45}^{\circ })\sin ({30}^{\circ })$

Kita tahu bahwa:

Related: loading

$\cos ({45}^{\circ })=\sin ({45}^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$ dan $\sin ({30}^{\circ })=\frac{1}{2}$

Sehingga:

$\cos ({75}^{\circ })=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$

$\cos ({75}^{\circ })=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

tan 75°

Untuk menghitung nilai dari tan 75°, kita bisa menggunakan rumus:

$\tan ({75}^{\circ })=\frac{\sin ({75}^{\circ })}{\cos ({75}^{\circ })}$

Dari hasil sebelumnya, kita punya:

$\sin ({75}^{\circ })=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ dan $\cos ({75}^{\circ })=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Sehingga:

$\tan ({75}^{\circ })=\frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$

Untuk menyederhanakan, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{6}+\sqrt{2}$:

$\tan ({75}^{\circ })=\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2}{)}^2}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}$

$\tan ({75}^{\circ })=\frac{6+2+2\sqrt{12}}{6-2}=\frac{8+2\sqrt{12}}{4}=2+\sqrt{3}$